精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高一下学期期末质检热身模拟考试数学试题

2024级高一下学期期末质检热身考 数学试题 2025.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算得到，然后根据复数虚部的概念求解即可． 【详解】由，得，所以复数的虚部为. 故选：B． 2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，； 所以原图形的面积为． 故选：D 3. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，即可表示出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以，又，所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、，结合已知即可求. 【详解】∵， ∴. 故选：C 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将化简可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得，从而可判定的形状. 【详解】由，得， 整理得，故， 又，由正弦定理与余弦定理得，化简得， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 6. 如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD中点，连接ON､OC，则且， 所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 7. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量垂直求出，从而结合数量积坐标公式及投影向量的公式求解即可. 【详解】因为向量，，所以，解得， 则，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C 8. 如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面. ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又， 平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于x的方程的复数解为，，则（ ） A. B. 与互为共轭复数 C. 若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答. 【详解】因为，因此不妨令方程的复数解， 对于A，，A错误； 对于B，与互为共轭复数，B正确； 对于C，，由，得， 则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误； 对于D，设，由，得，显然有，由选项A知， 因此，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由图可知， 设函数的最小正周期为，则，，，则， 由得，解得， 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B正确； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度， 得的图象，C错误； 对于D选项，由得， 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 11. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据三角降幂公式将条件化成即可判断；对于B，在A得到后，利用正弦定理与内角关系化简得到，即可判断；对于C，将已得式利用余弦定理即可化简得到；对于D，利用，将化成，借助于基本不等式，求得其最值即可判断. 【详解】对于A，由可得， 因，代入得：，则，角为钝角，故A错误； 对于B， 由A得，利用正弦定理，， 又， 代入上式，可得， 即，显然两边同时除以， 可得，因，则成立，故B正确； 对于C，由A项已得，由余弦定理，， 化简得：，即，故C正确； 对于D，因， 由B项得，代入可得：， 因，，由， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298 3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181 【答案】04 【解析】 【分析】根据随机数表法进行抽样即可. 【详解】从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右依次选取两个数字中，小于20的编号依次为08，14，02，14，12，04，02，00，13， 去除重复项，且属于总体的对应的数值为08，14，02，12，04，13， 则第5个个体编号为04． 故答案为：04 13. 如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度______米． 【答案】204 【解析】 【分析】设米，根据余弦定理列方程求解． 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 14. 已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别得，的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，从而得解. 【详解】因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形， 所以，则， 设的外接圆的半径分别为， 则在等边中，， 在中，， 所以， 则，， 设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面， 则， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 【点睛】结论点睛：在三棱锥中， （1）若，，两两垂直，可以把三棱锥的外接球半径问题转化成长方体的外接球问题，利用长方体的外接球直径就是长方体的体对角线可得：（其中为三棱锥外接球半径，分别为的长）. （2）若平面，则先求外接圆半径，那么有. （3）若平面平面，且三棱锥确定有外接球，则（其中分别为和的外接圆半径）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数为65；总方差为37. 【解析】 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； 【小问3详解】 成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为方程在上有解，以为整体，结合正弦函数图象运算求解. 【小问1详解】 对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，则， ∴函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，即，则， ∵在存在零点，则方程在上有解， 若时，则，可得， ∴，得 故实数的取值范围是． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，垂足为A，，点M是PD的中点. （1）求证：平面ACM； （2）求证：平面PAC； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，记与交点为，连接．证明，然后证明面． （2）证明，，然后证明面． （3）通过，然后求解即可． 【详解】证明：（1）连接，，记与的交点为，连接． 点，分别是，的中点， ． 又面，面， 面 （2）面，， 底面是正方形， ， 又，面，面 面 （3），且， 【点睛】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，属于中档题． 18. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上. （1）若点是上靠近的四等分点，设，求的值； （2）若，，当时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理即可得出结果； （2）设，取基底向量表示，再利用向量数量积即可计算作答. 【小问1详解】 ∵， ∵是边的中点，点是上靠近的四等分点， ∴， 在矩形中，，， ∴， 即，， 则. 【小问2详解】 设，则， ， ， 又， ∴， 解得， ∴的长为. 19. 如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求点，之间的距离； （2）设， ①求出的面积关于的表达式； ②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积． 【答案】（1） （2）①， ；②当时， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再在中，根据余弦定理可得，进而可得与，再根据结合正弦定理求解即可； （2）①在与中分别根据正弦定理可得和，进而求得关于的表达式即可； ②由①，可得当时分母最大，面积最小. 【小问1详解】 ∵，，，，∴，， ∴由余弦定理，，， ∴． 在中． 小问2详解】 ①∵，∴， 在中，， 在中，， ∴， 又中边上的高为， ∴，． ②当，时，最小且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一下学期期末质检热身考 数学试题 2025.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则复数虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 3. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于x的方程的复数解为，，则（ ） A. B. 与互为共轭复数 C. 若，则满足复数z在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是3 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11. 若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C一定锐角 B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298 3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181 13. 如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度______米． 14. 已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，垂足为A，，点M是PD的中点. （1）求证：平面ACM； （2）求证：平面PAC； （3）求四面体的体积. 18. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上. （1）若点是上靠近的四等分点，设，求的值； （2）若，，当时，求的长. 19. 如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求点，之间的距离； （2）设， ①求出的面积关于的表达式； ②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $