5.2 解一元一次方程1--合并同类项与移项-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.2 解一元一次方程--合并同类项与移项

 

一、合并同类项

问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍. 前年这个学校购买了多少台计算机？

    设前年购买计算机x台. 可以表示出：去年购买计算机_____台，今年购买计算机_____台. 根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列得方程

    x+2x+4x=140

把含有x的项合并同类项，得 7x=140

下面的框图表示了解这个方程的流程：

 

 

           合并同类项

 

 

           系数化为1

 

 

由上可知，前年这个学校购买了20台计算机.

回顾本题列方程的过程，可以发现：“总量=各部分量的和”是一个基本的相等关系.

思考

上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？

“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式.

 

例1 解下列方程：

(1) 2x－x=6－8                 (2) 7x－2.5x＋3x－1.5x=－15×4－6×3

解：(1) 合并同类项，得 -x=-2.

系数化为1，得 x=4.

(2) 合并同类项，得 6x=-78.

系数化为1，得 x=-13.

例2 有一列数，按一定的规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…. 其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？

分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与-3的乘积. 如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是-3x，9x.

解：设所求三个数分别是x，-3x，9x.

由三个数的和是-1701，得 x-3x+9x=-1701

合并同类项，得 7x=-1701

系数化为1，得 x=-243

所以  -3x=729，9x=-2187.

答：这三个数是-243，729，-2187.

练习1

1.解下列方程：

(1) 5x-2x=9；                       (2) ； 

 

 

 

 

(3) -3x+0.5x=10；                   (4)  7x-4.5x=2.5×3-5.

 

 

 

 

 

2.某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元. 前年的产值是多少？

 

 

 

 

 

检测1

1．下列一元一次方程的同类项合并，正确的是(　　)．

A．已知x＋7x－6x＝2－5，则－2x＝－3  B．已知0.5x＋0.9x＋0.1＝0.4＋0.9x，则1.5x＝1.3

C．已知25x＋4x＝6－3，则29x＝3      D．已知5x＋9x＝4x＋7，则18x＝7

2．如果关于x的方程7x－4x＝3a＋6b的解为x＝1，则a与b应满足的关系式为(　　)．

A．a＋2b＝－1    B．a－2b＝1   C．3a＋6b＝11                 D．a＋2b＝1

3．如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽．设每块地砖的宽为x cm，根据题意，列出的方程为(　　)．

A．x＋x＝80    B．x＋2x＝80  

C．x＋3x＝80    D．3x＝80

4．方程＝的解为__________．

5．若商店将商品提价40%，然后再打出“九折酬宾”的广告，结果每个商品仍可获利195元，则商品的进价为________元．

6．解方程：（1）11x－2x＝9；　（2）－4＋16＝

 

 

 

 

7．某地今年第一季茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的10倍．茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响，第一季茶青产量为198.6 kg，比去年同期减少了87.4

kg，但销售收入却比去年同期增加了8 500元．求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元？

二、移项

问题2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本. 这个班有多少学生？

    这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？

解：设这个班有x名学生.

每人分3本，共分出_____本，加上剩余的20本，这批书共___________本.

每人分4本，需要_____本，减去缺的25本，这批书共____________本.

这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程

    3x+20=4x-25

思考

    方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25)，怎样才能使它向x=a(常数)的形式转化呢？

           3x+20=4 x-25

       3 x-4 x+20=4 x-4 x-25

       3 x-4 x+20=-25

    3 x-4 x+20-20=-25-20

          3 x-4 x=-25-20

比较下面的两个方程，你发现了什么？

    

         像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

由上可知，这个班有45名学生.

思考

上面解方程中“移项”起了什么作用？

通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式.

    解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”. 早在一千多年前，数学家阿尔-花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了.

例3 解下列方程：

(1) 3x+7=32-2x                     (2) x-3=x+1

解：(1) 移项，得 3x+2x=32-7

合并同类项，得 5x=25

系数化为1，得 x=5

(2) 移项，得 x-x=1+3