5.2 解一元一次方程1--合并同类项与移项-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“解一元一次方程——合并同类项与移项”，通过“学校购计算机”“分图书”等生活问题导入，衔接整式运算知识，搭建从具体情境到方程变形的学习支架，引导学生掌握合并同类项与移项的方法。 以问题驱动学习，例题涵盖数列、环保等实际情境，练习与检测分层设计，结合“思考”环节深化对变形原理的理解，培养学生抽象能力、运算能力和模型意识，助力用数学思维解决问题，提升自主学习效率。

5.2 解一元一次方程--合并同类项与移项 一、合并同类项 问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍. 前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机x台. 可以表示出：去年购买计算机_____台，今年购买计算机_____台. 根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列得方程 x+2x+4x=140 把含有x的项合并同类项，得 7x=140 下面的框图表示了解这个方程的流程： x+2x+4x=140 合并同类项 7x=140 系数化为1 x=20 由上可知，前年这个学校购买了20台计算机. 回顾本题列方程的过程，可以发现：“总量=各部分量的和”是一个基本的相等关系. 思考 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ “合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式. 例1 解下列方程： (1) 2x－x=6－8 (2) 7x－2.5x＋3x－1.5x=－15×4－6×3 解：(1) 合并同类项，得 -x=-2. 系数化为1，得 x=4. (2) 合并同类项，得 6x=-78. 系数化为1，得 x=-13. 例2 有一列数，按一定的规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…. 其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与-3的乘积. 如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是-3x，9x. 解：设所求三个数分别是x，-3x，9x. 由三个数的和是-1701，得 x-3x+9x=-1701 合并同类项，得 7x=-1701 系数化为1，得 x=-243 所以 -3x=729，9x=-2187. 答：这三个数是-243，729，-2187. 练习1 1.解下列方程： (1) 5x-2x=9； (2) ； (3) -3x+0.5x=10； (4) 7x-4.5x=2.5×3-5. 2.某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元. 前年的产值是多少？ 检测1 1．下列一元一次方程的同类项合并，正确的是(　　)． A．已知x＋7x－6x＝2－5，则－2x＝－3 B．已知0.5x＋0.9x＋0.1＝0.4＋0.9x，则1.5x＝1.3 C．已知25x＋4x＝6－3，则29x＝3 D．已知5x＋9x＝4x＋7，则18x＝7 2．如果关于x的方程7x－4x＝3a＋6b的解为x＝1，则a与b应满足的关系式为(　　)． A．a＋2b＝－1 B．a－2b＝1 C．3a＋6b＝11 D．a＋2b＝1 3．如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽．设每块地砖的宽为x cm，根据题意，列出的方程为(　　)． A．x＋x＝80 B．x＋2x＝80 C．x＋3x＝80 D．3x＝80 4．方程＝的解为__________． 5．若商店将商品提价40%，然后再打出“九折酬宾”的广告，结果每个商品仍可获利195元，则商品的进价为________元． 6．解方程：（1）11x－2x＝9；　（2）－4＋16＝ 7．某地今年第一季茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的10倍．茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响，第一季茶青产量为198.6 kg，比去年同期减少了87.4 kg，但销售收入却比去年同期增加了8 500元．求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元？ 二、移项 问题2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本. 这个班有多少学生？ 这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？ 解：设这个班有x名学生. 每人分3本，共分出_____本，加上剩余的20本，这批书共___________本. 每人分4本，需要_____本，减去缺的25本，这批书共____________本. 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程 3x+20=4x-25 思考 方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25)，怎样才能使它向x=a(常数)的形式转化呢？ 3x+20=4 x-25 3 x-4 x+20=4 x-4 x-25 3 x-4 x+20=-25 3 x-4 x+20-20=-25-20 3 x-4 x=-25-20 比较下面的两个方程，你发现了什么？ · 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 由上可知，这个班有45名学生. 思考 上面解方程中“移项”起了什么作用？ 通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式. 解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”. 早在一千多年前，数学家阿尔-花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了. 例3 解下列方程： (1) 3x+7=32-2x (2) x-3=x+1 解：(1) 移项，得 3x+2x=32-7 合并同类项，得 5x=25 系数化为1，得 x=5 (2) 移项，得 x-x=1+3 合并同类项，得 -x=4 系数化为1，得 x=-8 例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？ 解：设新、旧工艺的废水排量分别为2x t，5x t.根据废水排量与环保限制最大量之间的关系得 5x-200=2x+100 移项，得 5x-2x=100+200 合并同类项，得 3x=300 系数化为1，得 x=100 所以 2x=200，5x=500. 答：新、旧工艺的废水排量分别为200 t和500 t. 练习2 1.解下列方程： (1) 6x-7=4x-5； (2) x-6=x. 2.王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg，李丽平均每小时采摘7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25 kg给了李丽，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？ 检测2 1．判断下列移项是否正确，正确的在题后的括号里打“√”，错误的打“×”． （1）从得到； （ ） （2）从得到． （ ） 2．下列方程的变形是移项的是（ ）． （A）由得 （B）由得 （C）由得 （D）由得 3．解下列方程： （1）3x＋3－2x＝7； （2）； （3）5x－2－7x＝8； （4）． 4．解下列方程： （1）； （2）． 5．如果m＝3x－2，n＝－2x＋3，当x为何值时m＝n？ 6．小明买来甲、乙两种树苗，开始时，甲种树苗高50厘米，乙种树苗高30厘米，已知甲种树苗每周长高4厘米，乙种树苗每周长高6厘米，问多少周后，两种树苗一样高？ 7．在一次选举中，共有5219张选票投给四位候选人，结果获胜者比他的对手分别多得22张、30张、73张选票．那么获胜者所得的票数是多少？ 8．小明每天早上7：50从家出发，到距家1000米的学校上学，每天的行走速度为80米/分．一天小明从家出发5分后，爸爸以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时距离学校有多远？ 答案 练习1 1、(1) 合并同类项，得 3x=9 系数化为1，得 x=3 (2) 合并同类项，得 2x=7 系数化为1，得 (3) 合并同类项，得 -2.5x=10 系数化为1，得 x=-4 (4) 合并同类项，得 2.5x=2.5 系数化为1，得 x=1 2、解：设前年的产值为x万元，则去年的产值为1.5x万元，今年的产值为3x万元. 列方程 x+1.5x+3x=550 合并同类项，得 5.5x=550 系数化为1，得 x=100 答：前年的产值为100万元. 检测1 1．C．　 2．D．　 3．C．4．x＝．　5．750．　 6．解：（1）合并同类项，得9x＝9，系数化为1，得x＝1． （2）合并同类项，得＝12，系数化为1，得y＝24． 7．解：设去年第一季茶青每千克的价格为x元， 则今年第一季茶青每千克的价格为10x元， 依题意，得(198.6＋87.4)x＋8 500＝198.6×10x，解得x＝5． 198.6×10×5＝9 930(元)． 答：茶农叶亮亮今年第一季茶青的总收入为9 930元． 练习2 1、解：(1) 移项，得 6x-4x=-5+7 合并同类项，得 2x=2 系数化为1，得 x=1 (2) 移项，得 x-x=6 合并同类项，得 -x=6 系数化为1，得 x=-24 2、解：设她们采摘用了x小时. 列方程 8x-0.25=7x+0.25 移项，得 8x-7x=0.25+0.25 合并同类项，得 x=0.5 答：她们采摘用了0.5小时. 检测2 1．（1）×；（2）√；2．D． 3．（1）x＝4；（2）x＝4；（3）x＝－5；（4）．4．（1）；（2）． 5．x＝1． 6．设周后两种树苗一样高，列方程得，解得．即10周后两种树苗一样高． 7．设获胜者所得的票数为，则，． 8．（1）设爸爸追上小明时，用了x分，由题意得180x＝80x＋80×5，解得x＝4． 所以爸爸追上小明用时4分钟． （2）180×4＝720（米），1000－720＝280（米）．所以追上小明时，距离学校还有280米． 学科网（北京）股份有限公司 $