5.3 实际问题与一元一次方程-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元一次方程”，涵盖配套工程、销售盈亏、球赛积分、电话计费四类问题。通过课前热身题衔接方程概念，为复杂实际问题提供学习支架，构建从基础到应用的知识脉络。 以生活实际问题为切入点，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过例题多设元方法培养推理意识，分层练习与检测强化模型意识，助力学生用数学语言解决实际问题，提升运算能力与应用能力。

5.3 实际问题与一元一次方程 知识框架： · 配套和工程问题 · 销售盈亏问题 · 球赛积分问题 · 电话计费问题 一、配套和工程问题 课前热身 1.一个三角形的三边长度的比是3:4:5，最短的边比最长边短4，则三边各是多少？ 解：设最短边为3x，则最长边为____，根据题意，列得方程____________. 2.铅笔每支1元，钢笔每支8元. 小明买回铅笔钢笔共8支，用了22元. 问小明买了铅笔钢笔各多少支？ 解：设小明买了x支铅笔，则买了_____支钢笔，根据题意，列得方程______________. 3.甲队有32人，乙队有40人，现在从乙队抽调 x 人到甲队，使得甲队的人数是乙队人数的2倍，根据题意，列得方程_________________. 配套问题 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据. 分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套. 解：设应安排x名工人生产螺钉，(22-x)名工人生产螺母.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程 2000(22-x)=2×1200x 解方程，得 5(22-x)=6x 110-5x=6x 11x=110 x=10 22-x=12 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母. 如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？ 解：设应安排x名工人生产螺母，(22-x)名工人生产螺钉.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程 2×1200(22-x)=2000x 解方程，得 6(22-x)=5x 132-6x=5x -11x=-132 x=12 22-x=10 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母. 工程问题 做某件工作，甲单独做要8时才能完成，乙单独做要12时才能完成，问： ①甲做1时完成全部工作量的几分之几？_______. ②乙做1时完成全部工作量的几分之几？_______. ③甲、乙合做1时完成全部工作量的几分之几？_______. ④甲做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______. ⑤甲、乙合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______. ⑥甲先做2时完成全部工作量的几分之几？_______；乙后做3时完成全部工作量的几分之几？_______；甲、乙再合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______；三次共完成全部工作量的几分之几？______________；结果完成了工作，则可列出方程：________________. 工作量＝工作效率×工作时间(常常把总工作量看作1) 例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成. 现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题. 分析：这里可以把总工作量看作1；工作量=人均效率×人数×时间. 人均效率(一人做1h完成工作量)为( ) x人１h完成的工作量( ) x人４h完成的工作量( ) 增加２人后再做８h，完成工作量为(　　　　 　 ) 这两个工作量之和为( ). 解：设安排x人先做4h. 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程 解方程，得 4x+8(x+2)=40 4x+8x+16=40 12x=24 x=2 答：应安排2人先做4h. 归纳 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础. 练习1 1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件. 现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 作业1 1．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程是（　　）． A． B． C． D． 2．某车间共有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．如果每天生产的螺栓和螺母要按1∶2配套，应分别安排多少工人生产螺栓？多少人生产螺母？ 检测1 1．球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3∶5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（ ）． A．3x=32－x B．3x=5(32－x) C．5x=3(32－x) D．6x=32－x 2．两根同样长的蜡烛，粗蜡烛可燃烧4 h，细蜡烛可燃烧3 h，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，求停电的时间． 3．汽车从甲地到乙地，用去油箱中汽油的，由乙地到丙地用去剩下汽油的，油箱中还剩下6升． （1）求油箱中原有汽油多少升？ （2）若甲、乙两地相距22千米，则乙、丙两地相距多少千米？ （3）若丁地距丙地为10千米，问汽车在不加油的情况下，能否去丁地然后再沿原路返回到达甲地？ 2、 销售问题 销售海报 根据自己的理解说出它们的意思吗？ 成本价：购进商品时的价格(有时也叫进价). 售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价). 标价：在销售时标出的价(有时称定价). 打折：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打8折即按标价的80%出售. 利润：在销售商品的过程中的纯收入. 即：利润=售价-成本价 利润率(盈利率)：利润占进价的百分率. 即：利润率=×100% 预备练习 (1)原价100元的商品打8折后价格为______元； (2)原价100元的商品提价40%后的价格为_____元； (3)进价80元的商品以100元卖出，利润率是________； (4)原价x元的商品打8折后价格为________元； (5)原价x元的商品提价40%后的价格为_______元； (6)原价10元的商品提价p%后的价格为__________元. 想一想 1.如果一件商品的进价是40元，售价是60元，那么商品的利润是多少？ 利润=60-40=20(元) 2.如果一件商品的进价是40元，售价是20元，那么商品的利润是多少？ 利润=20-40=-20(元)，即亏损20元. 3.假设一件商品的进价是40元，(1)如果卖出后盈利25%，那么商品的利润应怎样求？(2)如果卖出后亏损25%，商品的利润又怎样求？ 利润=进价×利润率 (1) 商品的利润是40×25%=10(元) (2) 商品的利润是40×(-25%)=-10(元)，即亏损10元. 探究1 销售中的盈亏 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 问题1：你估计盈亏情况是怎样的？ 盈利、亏损、不盈不亏 问题2：销售的盈亏决定于什么？ 总售价 ？ 总成本(两件衣服的成本之和) 120＞总成本 盈利；120＞总成本 亏损；120＝总成本 不盈不亏 问题3：两件衣服的成本各是多少元？ 盈利的一件 解：设盈利25%的那件衣服进价是x元. 根据题意，得 x+0.25x=60 解方程，得 x=48 亏损的一件 解：设亏损25%的那件衣服进价是y元. 根据题意，得 y-0.25y=60 解方程，得 y=80 两件衣服的进价是x＋y＝48＋80＝128元，而两件衣服的售价是60＋60＝120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元. 练习2 1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同. 其中，每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价. 作业2 1．下面四个关系中，错误的是（　　）． A．　B． C．商品售价＝商品进价×（1＋利润率）　D．商品利润＝商品利润率×商品进价 2．某种商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润率为15.2%，这种商品每件标价是多少？ 3．某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价，并让利40元销售，仍可获利10％（相对进价），则这种商品进货每件多少元？ 4．甲种商品每件的进价是400元，现按标价560元的8折出售，乙种商品每件的进价是600元，现按标价1 100元的6折出售，相比较哪种商品的利润率高一些？ 检测2 1．某商品按进价的100%加价后出售，经过一段时间，商家为了减少库存，决定5折销售，这时每件商品（　　）． A．赚50%　　　B．赔50%　　　C．赔25%　　　D．不赔不赚 2．张先生将一万元人民币存入银行，年利率为2.25%．那么他存一年后可得本息和为（　　）． A．10 180元　　B．10 225元　　C．180元　　　D．225元 3．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次买卖中，该商人（　　）　　　　　　　　　　． 4．某种商品按标价的八折出售，可获利20%，若按原价出售，可获利（　　）　　　　　． 5．某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，一个赢利60%，另一个亏本20%．在这次买卖中，你觉得这家商店是亏了还是赚了，为什么？ 三、球赛积分问题 篮球赛场 探究2 球赛积分表问题 问题1：你能从表格中了解到哪些信息？ 问题2：你能从表格中看出负一场积多少分吗？ 观察积分榜，从最下面一行可以看出：负一场积1分. 问题3：你能进一步算出胜一场积多少分吗？ 解：设胜一场积x分，根据表中第一行，得 10x＋1×4＝24 解得 x＝2 所以，胜一场积2分. 结论：负一场积1分，胜一场积2分. 问题4：用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系. 解：如果一个队胜m场，则负_______场，胜场积分为___，负场积分为_______. 总积分为：2m＋(14－m)＝m＋14 问题5：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一个队胜了x场，则负了(14－x)场.根据题意，得 2x＝14－x 解方程，得 x＝ 想一想，x表示什么量？它可以是分数吗？ x(所胜的场数)的值必须是整数，所以x＝不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断. 练习3 3.下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同. 请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表. 作业3 1．一份数学试卷共有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得分为76分，则他做对的题数为（ ）． A．16道 B．17道 C．18道 D．19道 2．某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？ 检测3 1．足球比赛的积分规则是：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，中超联赛中一个队踢了14场，负了5场，共积19分，那么这个队胜了__________场(　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 2．甲、乙、丙三人乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（ ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 3．一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，北京国安队所负场数是所胜场数的，结果共积14分，求国安队共平了多少场？ 4．我校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校参加全市中学生篮球比赛情况，她从领队韦老师那里了解到校队共参加了16场比赛，积分28分．按规定赢一场得2分，输一场得1分．可是小谭忘记了输赢各多少场了，请你根据上面提供的信息分别求出输、赢各多少场？ 四、电话计费问题 套餐广告 探究3 电话计费问题 下表中有两种移动电话计费方式. 问题1 你了解表格中这些数字的含义吗？ 月使用费固定收；主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费. 问题2 你认为选择哪种计费方式更省钱呢？ 计费方式一 计费方式二“与主叫时间相关” 问题3 设一个月内用移动电话主叫为 t min( t 是正整数).根据上表，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费. 问题4 观察以上列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？ 列方程：58+0.25(t-150)=88 解得 t=270 因此，当t=270min时，按两种方式计费相等，都是88元. 问题5 那么当t大于150且小于270和t大于270且小于350时，两种方式计费哪种更省钱呢？ 如果t大于150且小于270时，按方式一的计费少于按方式二的计费(88元)；如果t大于270且小于350时，按方式一的计费多于按方式二的计费(88元). 问题6 当t大于350时，两种方式计费哪种更省钱呢？ 当t大于350时，58+0.25(t-150)可变形为108+0.25(t-350)即按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费0.25(t-350)，按方式二的计费为 88 元加上超过350min部分的超时费0.19(t-350)，显然按方式二的计费少. 问题7 综合以上的分析，可以发现： _______________时，选择方式一省钱；_______________时，选择方式二省钱. 选一些具体数字，通过计算验证你的发现是否正确. 练习4 用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？(复印的页数不为零) 作业4 1．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表． 每月用水量 单价 不超过6 m3部分 2元/ m3 超过6 m3不超过10 m3部分 4元/ m3 超过10 m3部分 8元/ m3 注：水费按月结算 若某户居民1月份用水8 m3，则应收水费：2×6＋4×（8－6）＝20（元） （1）若该户居民2月份用水12.5 m3，则应收水费 元． （2）若该户居民3、4月份共用水15 m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少？ 2．新华中学七（1）班准备外出进行野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案，甲车每天租金180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际行程每千米加收2.5元． （1）当行程为多少千米时，两种方案的费用一样？ （2）若实际路程为100千米，为了节省费用，你认为租用哪辆车合算？ 检测4 1．某公司在2011年2月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数)．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数/件 200 180 月工资/元 1 800 1 700 （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2 000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 2．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元．” 小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？ 3．现有甲、乙两家商店出售茶瓶和茶杯，茶瓶每只价格为20元，茶杯每只5元．已知甲店制定的优惠方法是买一只茶瓶送一只茶杯；乙店按总价的92%付款．某单位办公室需购茶瓶4只，茶杯若干只(不少于4只)． （1）当需购买40只茶杯时，若让你去办这件事，你将打算去哪家商店购买，为什么？ （2）当购买茶杯多少只时，两种优惠方法的效果是一样的？ 答案 练习1 1、解：设应用x m3钢材做A部件，(6-x)m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器40x套.根据题意，得 3×40x=240(6-x) 解方程，得 x=4 6-x=6-4=2，40x=160 答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套. 2、解：设两队同时施工x天可以铺好.根据题意，得 解方程，得 2x+x=24 x=8 答：两队同时施工8天可以铺好这条管线. 作业1 1．D． 2．解：设安排x人生产螺栓，则有（28－x）人生产螺母．根据题意，得 18（28－x）＝12x·2， 504－18x＝24x， 504＝42x， 12＝x， x＝12，28－12＝16（人）． 答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母才行． 检测1 1．C． 2．解：设停电时间为x h，则根据题意列方程，得1－x=2． 解这个方程，得．答：停电时间为h． 3．解：（1）设油箱中原有汽油x升，则可得x－x－(x－x)×＝6，解得x＝10． （2）设乙、丙两地相距y千米，则可得∶22=∶y，解得y=13.2． （3）∵总路程为(22＋13.2＋10)×2＝90.4千米，汽油总共有10升，又2.5升行驶了22千米，∴10升能行驶88千米，不能沿原路返回． 练习2 解：设小书包的进价为x元. 根据题意，得 30%x=20%(x+10) 解方程，得 3x=2(x+10) 3x=2x+20 x=20 x+10=30 答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元. 作业2 1．B． 2．解：设这种商品每件标价是x元．根据题意，列方程得： 0.9x＝250×（1＋15.2％）． 解方程得：x＝320．　 答：这种商品每件标价是320元． 3．解：设这种商品进货每件x元．根据题意，列方程得： 900×0.9－40＝x×（1＋10％）． 解方程得：x＝700．　 答：这种商品进货每件是700元． 4．甲种商品的利润是：560×0.8－400＝48．利润率是：． 乙种商品的利润是：1100×0.6－600＝60．利润率是：． 所以甲种商品的利润率比较高． 检测2 1．D．　　　2．B．3．赔了16元．　　4．50%　． 5．这家商店赚了．理由如下： 设盈利的计算器进价为x元，亏本的计算器进价为y元，则由题意，得 ， 解方程，得，． 因为，，所以这家商店赚了8元． 练习3 解：由上表中七、八年级的数据可得每次文艺活动时间为12.5-10.5=2h，设科技活动的时间为x h，根据表中七年级的数据列得4×2+3x=12.5，解得x=1.5，即每次科技活动的时间为1.5h. 由于活动次数是整数，所以只能2×2+2×1.5=7h. 作业3 1．A．2．设胜利x场，则平（7－x）场，依题意，得：3x＋（7－x）＝17． 解得：x＝5．答：该班共胜了5场比赛． 检测3 1．C．2．C． 3．解：设国安队共平了x场，那么胜了场，根据题意，得 ×3＋x＝14．解得x＝8.答：国安队共平了8场． 4．解：设球队赢了x场，则输了(16－x)场，由题意， 可得2x＋(16－x)×1＝28，解得x＝12，答：球队赢了12场，输了4场． 练习4 解：设复印页数为x，根据题意，列表得 (1)当x小于20时，0.12x大于0.1x恒成立，图书馆价格便宜； (2)当x等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜； (3)当x大于20时，根据题意，得 2.4+0.09(x-20)＝0.1x 解得 x＝60 所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；当x大于60时，誊印社价格便宜. 综上所述： 当x小于60页时，图书馆价格便宜； 当x等于60页时，两处收费相同； 当x大于60页时，誊印社价格便宜. 作业4 1．（1）48． （2）解：设该用户3月份用水x m3，则4月份用水为（15－x）m3． 讨论：①当0＜x＜6，6＜15－x≤10 时， 2x＋6×2＋4（15－x－6）＝44， 2x＋12＋36－4x＝44， 　 2x＝4， x＝2． 与6＜15－x≤10矛盾，舍去． ②当0＜x＜6，10＜15－x 时， 2x＋6×2＋4×4＋8×（15－x－10）＝44， 2x＋12＋16＋40－8x＝44， 6x＝24， x＝4， 15－x＝11＞10， 所以3月份为4立方米，4 月份为11立方米， ③当6＜x＜10，6＜15－x＜10 时， 4×（x＋15－x）＝44，无解． 答：3 月份为4立方米，4月份为11立方米． 2．（1）设行程为x千米时，两种方案的费用一样，依题得： 180＋2x＝140＋2.5x． 解得x＝80． 答：当形成为80千米，两种方案费用一样． （2）当行程为100千米时， 租甲车的费用为：180＋2×100＝380（元）． 租乙车的费用为：140＋2.5×100＝390（元）． 答：租甲车合算． 检测4 1．解：（1）设职工的月基本保障工资为x元，则销售每件产品的奖励金额为元． 由题意列方程得： x＋×200＝1 800，解得x＝800． 所以销售每件产品的奖励金额为＝＝5(元)． 答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额为5元． （2）设该公司职工丙六月份销售y件产品． 由题意得800＋5y＝2 000． 解得y＝240． 答：该公司职工丙六月份至少销售240件产品，才能使工资不低于2 000元． 2．解：（1）设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，则客运公司60座客车每辆每天的租金是(x＋200)元． 由题意，列方程得2x＋4(x＋200)＝5 000， 解得x＝700． 所以客运公司60座客车每辆每天的租金是x＋200＝700＋200＝900（元）． 答：客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元． （2）共需租金5×900＋700＝5 200元． 答：九年级师生到该公司租车一天，共需租金5 200元． 3．解：（1）当购买40只茶杯时， 则甲商店需付：4×20＋5(40－4)＝260(元)． 则乙商店需付：(4×20＋5×40)×92%＝257.6(元)． 因此应去乙商店买． （2）设购买茶杯x只，由题意列方程，得4×20＋(x－4)×5＝(4×20＋5x)×92%， 即5x＋60＝73.6＋4.6x， 解得x＝34． 所以当购买茶杯34只时，两种优惠方法的效果是一样的． 学科网（北京）股份有限公司 $