5.3 实际问题与一元一次方程-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.3 实际问题与一元一次方程

 

知识框架：

         配套和工程问题

         销售盈亏问题

         球赛积分问题

         电话计费问题

 

 

一、配套和工程问题

课前热身

1.一个三角形的三边长度的比是3:4:5，最短的边比最长边短4，则三边各是多少？
解：设最短边为3x，则最长边为____，根据题意，列得方程____________.
2.铅笔每支1元，钢笔每支8元. 小明买回铅笔钢笔共8支，用了22元. 问小明买了铅笔钢笔各多少支？
解：设小明买了x支铅笔，则买了_____支钢笔，根据题意，列得方程______________.
3.甲队有32人，乙队有40人，现在从乙队抽调 x 人到甲队，使得甲队的人数是乙队人数的2倍，根据题意，列得方程_________________.

配套问题

例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据.

分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.

解：设应安排x名工人生产螺钉，(22-x)名工人生产螺母.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程

                        2000(22-x)=2×1200x

解方程，得 5(22-x)=6x

            110-5x=6x

               11x=110

                 x=10

              22-x=12

答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.

如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？

解：设应安排x名工人生产螺母，(22-x)名工人生产螺钉.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程

                         2×1200(22-x)=2000x

解方程，得   6(22-x)=5x

              132-6x=5x

                -11x=-132

                   x=12

                22-x=10

答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.

工程问题

做某件工作，甲单独做要8时才能完成，乙单独做要12时才能完成，问：
①甲做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
②乙做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
③甲、乙合做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
④甲做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______.
⑤甲、乙合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______.

⑥甲先做2时完成全部工作量的几分之几？_______；乙后做3时完成全部工作量的几分之几？_______；甲、乙再合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______；三次共完成全部工作量的几分之几？______________；结果完成了工作，则可列出方程：________________.

工作量＝工作效率×工作时间(常常把总工作量看作1)

例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成. 现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.

分析：这里可以把总工作量看作1；工作量=人均效率×人数×时间.

人均效率(一人做1h完成工作量)为(         )

x人１h完成的工作量(             )

x人４h完成的工作量(             )

增加２人后再做８h，完成工作量为(　　　　  　       )

这两个工作量之和为(   ).

解：设安排x人先做4h. 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程

        

解方程，得 4x+8(x+2)=40

            4x+8x+16=40

                 12x=24

                   x=2

答：应安排2人先做4h.

归纳

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

 

 

 

 

 

这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.

 

练习1

1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件. 现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？

2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？

 

 

 

 

 

作业1

1．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程是（　　）．

A．   B．  C．  D．

2．某车间共有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．如果每天生产的螺栓和螺母要按1∶2配套，应分别安排多少工人生产螺栓？多少人生产螺母？

 

 

 

 

 

检测1

1．球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3∶5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（      ）．

A．3x=32－x        B．3x=5(32－x)         C．5x=3(32－x)           D．6x=32－x

2．两根同样长的蜡烛，粗蜡烛可燃烧4 h，细蜡烛可燃烧3 h，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，求停电的时间．

 

 

 

3．汽车从甲地到乙地，用去油箱中汽油的，由乙地到丙地用去剩下汽油的，油箱中还剩下6升．

（1）求油箱中原有汽油多少升？

（2）若甲、乙两地相距22千米，则乙、丙两地相距多少千米？

（3）若丁地距丙地为10千米，问汽车在不加油的情况下，能否去丁地然后再沿原路返回到达甲地？

 

 

 

 

 

 

 

二、销售问题