5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案选择问题 学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦实际问题与一元一次方程中的方案选择问题，通过空调费用比较等生活实例导入，衔接方程解法前备知识，搭建从情境分析到费用建模再到方案优化的学习支架，引导学生掌握方案选择与分段计费的核心方法。 资料以真实生活情境为载体，设计“列表达式—求临界点—分段讨论”的解题流程，培养学生用数学眼光发现数量关系，通过推理与运算发展数学思维，借助代数式与方程模型提升数学语言表达能力，习题覆盖多领域实际问题，助力学生形成解决优化问题的结构化思维。

5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案选择问题 学案 班级：________ 姓名：________ 一、学习目标 1. 会寻找数量关系列方程，确定最优方案。 2. 掌握分段计费问题的分析方法。 3. 能用代数式表示各方案费用，通过比较确定最优方案。 二、知识梳理 1. 方案选择问题解题步骤 ①找出费用随哪个______变化；②用______表示各方案费用；③令费用______求临界点；④______讨论确定最优方案。 2. 分段计费问题 先判断变量属于哪个______，再按对应______列方程。 3. 变形比较法 将一个方案费用变形为另一个方案费用与______的和，通过差值______判断优劣。 三、课堂探究 探究：空调费用比较 两款空调信息如下表（电价0.5元/(kW·h)）： 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 设使用年数为t，1级空调综合费用=3000+t=______；3级空调综合费用=2600+t=______。 令两者相等：3000+320t=2600+400t，解得t=______。 当t______5时，选3级空调；当t______5时，选1级空调；当t______5时，两者相同。 巩固1：垃圾桶方案 方案一：4000元+300元/月；方案二：1000元+600元/月。设交费x个月。 M=______，N=______。令M=N，解得x=______。 当x______10时选方案二，当x______10时选方案一。 巩固2：分段水费 月用水量 单价/(元/m³) 单价说明 不超过22m³ a 免收生活污水处理费 超过22m³的部分 a+1.1 收取生活污水处理费1.1元/m³ （1）用水缴费23元，10a=23，a=______。 （2）缴费71元，=______<71，所以超过。 设用水，列方程：______=71，解得x=______。 四、巩固练习 练习1 甲复印店：不超过20页每页0.12元，超过部分每页0.09元。乙复印店：每页0.1元。复印多少页时两店收费相同？ 练习2 两种地铁月票：第一种200元含10次，第二种300元含20次，超出部分25元/次。每月乘超过10次，选哪种更省钱？ 练习3 某通讯公司有两种套餐：A套餐月租20元，通话0.2元/分钟；B套餐无月租，通话0.3元/分钟。每月通话多少分钟时两种套餐费用相同？选哪种更划算？ 练习4 某停车场收费规定：不超过2小时收费5元，超过2小时的部分每小时加收3元（不足1小时按1小时计）。某车主停车费为14元，他停了多少小时？ 练习5 甲乙两家旅行社组织同一旅游线路，甲旅行社报价每人300元，乙旅行社报价每人320元但5人以上（含5人）打八折。多少人时两家旅行社收费相同？ 练习6 某出租车收费标准：起步价10元（3km以内），超过3km的部分每千米2元。某乘客付费24元，他乘了多少千米？ 练习7 某网店有两种会员：A会员年费100元，购物打9折；B会员年费200元，购物打8折。一年购物金额多少元时两种会员费用相同？选哪种更划算？ 练习8 某市天然气收费分两档：年用气量不超过时单价2.5元/；超过的部分单价3.0元/。某家庭年用气费为850元，求该家庭年用气量。 练习9 商店有两种促销方案：方案一买一件打8折，方案二买二送一（即买3件付2件钱）。某商品单价50元，买多少件时两种方案花费相同？ 练习10 某手机流量套餐：A套餐月费30元含5GB，超出部分5元/GB；B套餐月费50元含10GB，超出部分3元/GB。每月用多少GB流量时两种套餐费用相同？选哪种更划算？ 五、归纳总结 1. 方案选择问题 解题步骤：列费用表达式→求临界点→分段讨论。 2. 分段计费问题 先判断区间，再按对应规则列方程。 3. 易错点提醒 ⚠ 易错提示：易错提醒：①求临界点时要正确列方程；②分段讨论时注意不等号方向；③分段计费问题必须先判断区间；④注意"不超过""超过"等关键词的含义。 六、参考答案 知识梳理参考答案 1. 变量、代数式、相等、分段。2. 区间、计费规则。3. 差值式、正负。 课堂探究参考答案 探究：3000+320t，2600+400t，t=5。 巩固1：M=300x+4000，N=600x+1000，x=10。 巩固2：a=2.3，50.6，50.6+3.4(x-22)=71，x=28。 巩固练习参考答案 练习1：设x页，x>20。+(x-20)×0.09=0.1x，解得x=60。 练习2：10<x<20时，200+25(x-10)=300，x=14。低于14次选第一种，超过14次选第二种。 练习3：20+0.2x=0.3x，x=200。通话200分钟时相同，低于200分钟选B，高于200分钟选A。 练习4：5+3(x-2)=14，x=5，停了5小时。 练习5：300x=x，300x=256x，x=0，无解。重新分析：5人时甲1500元，乙1280元；10人时甲3000元，乙2560元，乙始终更便宜。实际应为人均比较。 练习6：10+2(x-3)=24，x=10，乘了10千米。 练习7：100+0.9x=200+0.8x，0.1x=100，x=1000。购物1000元时相同，低于1000元选B，高于1000元选A。 练习8：=750<850，超过。750+3.0(x-300)=850，x=333.。 练习9：方案一：×n；方案二：买3件付2件钱，即×()。当n=3时方案一120元，方案二100元；当n=6时方案一240元，方案二200元。设买n件：×n=×，40n=，120n=100n，n=0。方案二始终更便宜。 练习10：30+5(x-5)=50+3(x-10)，30+5x-25=50+3x-30，5+5x=20+3x，2x=15，x=7.5。低于7.5GB选A，高于7.5GB选B。 学科网（北京）股份有限公司 $