专题04 一元二次方程的解法及根与系数的关系 专项练习 -2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 系统整合一元二次方程解法（直接开平方法等6种）及根的判别式、根与系数关系，通过十大题型30道题构建“解法-应用-拓展”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法体系|1-18题（每法3题）|直接开平方法抓平方形式，配方法“补项变完全平方式”，因式分解法找公因式/十字相乘，公式法套求根公式，换元法设元降次|从基础解法（直接开平方法→配方法→公式法）到技巧解法（因式分解法、换元法），形成解法选择梯度| |根的性质|19-30题（每点3题）|判别式判断根的情况“Δ=b²-4ac”，根与系数关系“x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a”，分式方程转化整式方程验根|从根的存在性（判别式）到数量关系（根与系数），结合分式方程应用，实现知识纵向延伸|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 一元二次方程的解法及根与系数的关系 （十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 2 知识点三配方法的应用 2 知识点四因式分解法解一元二次方程 3 知识点五公式法解一元二次方程 3 知识点六换元法解一元二次方程 4 知识点七根据判别式判断一元二次方程根的情况 4 知识点八根据一元二次方程根的情况求参数 5 知识点九解分式方程（化为一元二次） 5 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 5 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 3．利用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 知识点二配方法解一元二次方程 4．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 6．解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 知识点三配方法的应用 7．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 8．∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 9．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 知识点四因式分解法解一元二次方程 10．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 11．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 12．解方程： （1）； （2） 知识点五公式法解一元二次方程 13．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 14．一元二次方程的根的判别式的值为________． 15．计算： （1）计算∶； （2）解方程∶． 知识点六换元法解一元二次方程 16．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 17．已知，则方程的解集是_______； 18．解下列方程： （1）； （2）． 知识点七根据判别式判断一元二次方程根的情况 19．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 20．设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________． 21．已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 知识点八根据一元二次方程根的情况求参数 22．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 24．已知关于的方程． （1）当取什么值时，原方程没有实数根； （2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 知识点九解分式方程（化为一元二次） 25．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 26．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 27．已知关于的方程无解，求的取值范围． 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 28．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 29．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 30．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 一元二次方程的解法及根与系数的关系 （十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 3 知识点三配方法的应用 4 知识点四因式分解法解一元二次方程 6 知识点五公式法解一元二次方程 8 知识点六换元法解一元二次方程 9 知识点七根据判别式判断一元二次方程根的情况 11 知识点八根据一元二次方程根的情况求参数 13 知识点九解分式方程（化为一元二次） 15 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 17 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【解答】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【解答】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 3．利用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解答】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 知识点二配方法解一元二次方程 4．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【解答】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 5．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【解答】解：， ， ， ∴． 6．解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1）， （2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【解答】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 知识点三配方法的应用 7．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【解答】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 8．∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【解答】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 9．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1）； （2）当时，多项式有最大值，最大值是5． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是5． 【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． 知识点四因式分解法解一元二次方程 10．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【解答】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 11．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【解答】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 12．解方程： （1）； （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解答】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 知识点五公式法解一元二次方程 13．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【解答】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 14．一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【解答】解：一元二次方程中，，，， 则． 15．计算： （1）计算∶； （2）解方程∶． 【答案】（1） （2）， 【解答】（1）解： ； （2）解： 其中，，， ∴ ∴ ∴，． 知识点六换元法解一元二次方程 16．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【解答】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 17．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【解答】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 18．解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 知识点七根据判别式判断一元二次方程根的情况 19．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【解答】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 20．设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】将化简为，令，可得可取每一个非零实数，再将原式变形为，根据题意可得，即可求得的取值范围． 【解答】解：， 令，则， 其判别式，可知可取每一个非零实数， ，则， 判别式， 根据题意可得中，， 即， 可得或， 所以的取值范围是或． 21．已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】（1）时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 （2）这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【解答】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 知识点八根据一元二次方程根的情况求参数 22．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【解答】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 23．若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【解答】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 24．已知关于的方程． （1）当取什么值时，原方程没有实数根； （2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】（1） （2）时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【解答】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 知识点九解分式方程（化为一元二次） 25．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 26．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【解答】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 27．已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题先分解分式分母，将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解分两种情况：一是整式方程无实根，原方程无解；二是整式方程的所有实根都是原分式方程的增根，原方程无解，分别计算得到m的取值范围． 【解答】解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 28．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【解答】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 29．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 30．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $