3.2.1 单调性与最大(小)值专题训练【14大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以单调性概念为核心，构建从定义证明到综合应用的完整训练体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与证明|4题|证明题为主|从单调性定义出发，强化代数推理能力| |单调区间与图像|8题|选择/填空题|结合图像直观与代数分析，建立形数联系| |复合函数单调性|4题|选择/填空题|内外层函数单调性判定，培养数学运算素养| |单调性应用|12题|参数/最值问题|从性质到应用，构建“概念-性质-参数-最值”逻辑链| |不等式综合|16题|比较/解不等式/恒成立|运用单调性转化问题，发展逻辑推理能力| |分段函数|14题|值域/参数问题|整合分段函数性质，提升综合应用能力|

3.2.1 单调性与最大(小)值 14大考点汇总 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 考点02 求函数的单调区间 考点03 根据图像判断函数单调性 考点04 复合函数的单调性 考点05 根据函数的单调性求参数值 考点06 利用函数单调性求最值或值域 考点07 根据函数的最值求参数 考点08 比较函数值的大小 考点09 根据函数的单调性解不等式 考点10 函数不等式恒成立问题 考点11 函数不等式能成立(有解)问题 考点12 解分段函数不等式 考点13 分段函数的值域或最值 考点14 根据分段函数的值 域(最值)求参数 题型专练 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 3．（25-26高一上·山西·期中）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【答案】(1) (2) 任取，令， 则， 因为，所以，， 从而，即， 故在上单调递减. 【分析】（1）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由单调性的定义即可证明. 【详解】（1）因为恒成立，所以的定义域为， ， 令，，则， 故的解析式为，. （2）略 4．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【答案】(1)，； (2) 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 【分析】（1）将点代入解析式求得，求得解析式，得解； （2）利用函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）略 考点02 求函数的单调区间 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【详解】函数，则，解得或， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 6．（25-26高一上·广西来宾·期中）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 7．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 考点03 根据图像判断函数单调性 9．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 11．（2026高一·全国·专题练习）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，因为，，则， 结合图形可知，函数不是偶函数，A错； 对于B选项，当时，， 故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，C错； 对于D选项，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以函数在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 12．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 考点04 复合函数的单调性 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的增区间是______． 【答案】 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 15．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 16．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 考点05 根据函数的单调性求参数值 17．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 18．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 19．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，当时，单调递增，又因为是单调函数，所以在上单调递增，据此列出关于的不等式组求解即可. 【详解】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B 20．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解． 【详解】由对任意，都有， 所以在上单调递减， 所以， 解得，也即． 故选：D． 21．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合图象以及单调性求得的取值范围. 【详解】由，解得或. 所以， 画出的大致图象如下图所示， 依题意，函数在上单调递增， 则或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 22．（25-26高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 考点06 利用函数单调性求最值或值域 23．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 【答案】， 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． 24．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，则， 所以函数的最小值不为2，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故D正确. 25．（2026高三下·全国·专题练习）已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数在上的最大值，再按分类讨论，进而求出的范围. 【详解】，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 当时，，因此， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，， 对任意的正实数，当时，恒成立， 由总存在，使得，得， 所以实数的取值范围为. 26．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 考点07 根据函数的最值求参数 27．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 28．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可. 【详解】因为，且， 当时，则在单调递增， 可得，则； 当时，则在单调递增，在单调递减， 可得，则； 当时，因为， （i）当时，可得，则； （ii）当时，可得，则； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 29．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 30．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 考点08 比较函数值的大小 31．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 32．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 33．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 34．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 考点09 根据函数的单调性解不等式 35．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可. 【详解】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 36．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 37．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 38．（25-26高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 考点10 函数不等式恒成立问题 39．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 40．（25-26高一上·河南三门峡·期末）已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据，都是真命题求得对应的的取值范围，再求交集即可. 【详解】对于命题，的否定为，， 因为命题为真命题，则，恒成立，故只需， 因为在单调递减，故在的最小值为，所以； 因为命题是真命题，则，即，解得或， 综上，，都是真命题，实数的取值范围是或. 故选：A 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为为假命题，则其否定为真命题，分离参数得在上恒成立，利用对勾函数的性质求最值即可. 【详解】因为为假命题，所以对恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 根据对勾函数的性质知，函数在区间[1，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以. 故选：C 42．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】设，得到，令，得到，求得，得到函数，且在上单调递增，求得，结合恒成立，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 设，则且， 令，可得，所以，即， 可得为该方程唯一解，所以，且在上单调递增， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点11 函数不等式能成立(有解)问题 43．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 44．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 (2) 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； （2）由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. 45．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 46．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】能成立问题转化为，结合对勾函数图像性质讨论与，列不等式求解即可. 【详解】由题意，只需， 由对勾函数图像性质可得在单调递增，在单调递减， ，， 当时，，， 不符合题意； 当时，，， 则， 解得， 故答案为：. 考点12 解分段函数不等式 47．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式即可. 【详解】当时，单调递减，； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 即，解得或，所以； 当且，即时，， 故不等式的解为； 当且，即时，， 不等式恒成立，所以不等式的解为； 当且，即时，， 不等式成立，所以不等式的解为； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 48．（25-26高一上·安徽淮南·期中）表示与中的较大者，设，则函数的最小值为______，不等式的解集为______. 【答案】 0 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求值域后可得其最小值；令，分类讨论解得或，即或，然后根据得，进而分类讨论解不等式即可. 【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0. 令，则不等式变为， 由上面分析，当时，，所以，又，所以； 当时，，显然不成立； 当时，，所以，又，所以； 故或，又，所以， 当时，，所以，又，所以； 当时，，所以，所以； 当时，，所以，又，所以； 综上，不等式的解集为. 故答案为：0； 49．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】 ， 当时,,则在时,单调递增； 当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增； 又在处,， ,是定义域为单调增函数， ， ，即 ， 解得:， 故不等式的解集为:. 故选：B. 50．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 考点13 分段函数的值域或最值 51．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 52．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 53．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 54．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 考点14 根据分段函数的值 域(最值)求参数 55．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 56．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分三种情况，分析函数的单调性及值域，即可得实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 57．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，三种情况，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】解：①若.当时，； 当时，. 依题意需，解得（舍去）. ②若.当时，； 当时， 此时，则. ③若.当时，；当时，. 则需，解得. 当时，，当时，，则有最小值1. 综上，或. 故答案为：. 58．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值 14大考点汇总 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 考点02 求函数的单调区间 考点03 根据图像判断函数单调性 考点04 复合函数的单调性 考点05 根据函数的单调性求参数值 考点06 利用函数单调性求最值或值域 考点07 根据函数的最值求参数 考点08 比较函数值的大小 考点09 根据函数的单调性解不等式 考点10 函数不等式恒成立问题 考点11 函数不等式能成立(有解)问题 考点12 解分段函数不等式 考点13 分段函数的值域或最值 考点14 根据分段函数的值 域(最值)求参数 题型专练 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 3．（25-26高一上·山西·期中）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 4．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 考点02 求函数的单调区间 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 6．（25-26高一上·广西来宾·期中）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 考点03 根据图像判断函数单调性 9．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 11．（2026高一·全国·专题练习）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 12．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 考点04 复合函数的单调性 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的增区间是______． 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 15．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 考点05 根据函数的单调性求参数值 17．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 18．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 19．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 22．（25-26高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 考点06 利用函数单调性求最值或值域 23．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 24．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 25．（2026高三下·全国·专题练习）已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 考点07 根据函数的最值求参数 27．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 28．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 29．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 30．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 考点08 比较函数值的大小 31．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 考点09 根据函数的单调性解不等式 35．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点10 函数不等式恒成立问题 39．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 40．（25-26高一上·河南三门峡·期末）已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________． 考点11 函数不等式能成立(有解)问题 43．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 44．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 45．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 46．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 考点12 解分段函数不等式 47．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 48．（25-26高一上·安徽淮南·期中）表示与中的较大者，设，则函数的最小值为______，不等式的解集为______. 49．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点13 分段函数的值域或最值 51．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 52．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 53．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 54．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点14 根据分段函数的值 域(最值)求参数 55．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 56．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 57．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 58．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $