18.4 整数指数幂-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“18.4 整数指数幂”，核心内容包括负整数指数幂的概念、整数指数幂运算性质的推广及用科学记数法表示绝对值小于1的数。课堂导入先复习正整数指数幂运算性质，通过“思考指数能否为负整数”和“做一做a³÷a⁵”引导学生自主发现负指数幂的意义，搭建新旧知识衔接的学习支架。 这份资料以问题驱动学习，通过“运算性质能否推广到任意整数”的探究培养学生推理意识，结合纳米体积计算等实例渗透应用意识，习题从基础练习到综合应用层次分明，助力学生提升抽象能力与运算能力，适合教师引导学生自主构建知识体系。

18.4 整数指数幂 复习巩固 当n是正整数时，an=a·a·…·a 正整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an=am+n (m，n是正整数)； (2) (am)n=amn (m，n是正整数)； (3) (ab)n=anbn (n是正整数)； (4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是正整数且m＞n)； (5) (n是正整数). 此外，当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算). 思考 am 中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 做一做，你发现了什么？a3÷a5=？ · 一般地，当 n 是正整数时，(a≠0).这就是说，a-n (a≠0)是 an 的倒数. 例如：，. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数. 你现在能说出当 m 分别为正整数、0、负整数时，am 各表示什么意思吗？ 思考 引入负整数指数和0指数后，am·an = am+n(m，n是正整数)这条性质能否推广到m，n任意整数的情形？ ，即. ，即. ，即. 归纳 am·an = am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an=am+n (m，n是整数)； (2) (am)n=amn (m，n是整数)； (3) (ab)n=anbn (n是整数)； (4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是整数)； (5) (n是整数). (6) 当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算). 例9 计算： (1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) a-2b2·(a2b-2)-3 解：(1) a-2÷a5=a-2-5=a-7= (2) (3) (a-1b2)3=a-3b6= (4) a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8= 当m，n为整数时，am÷an=am-n，am·a-n=am+(-n)=am-n，因此am÷an=am·a-n，即同底数幂的除法am÷an可转化为同底数幂的乘法am·a-n.特别地，=a÷b=a·b-1，所以=(a·b-1)n，即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b-1)n. · 这样，整数指数幂的运算性质可以归结为： (1) am·an=am+n (m，n是整数)； (2) (am)n=amn (m，n是整数)； (3) (ab)n=anbn (n是整数). 练习1 1.计算： (1) 30 =___，3-2 =___；(2) (-3)0 =___，(-3)-2 =___；(3) b0 =___，b-2 =___(b≠0). 2.计算： (1) x2y-3(x-1y)3 (2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 用科学记数法表示绝对值小于1的数 探究 a0=1(a≠0)，(a≠0，n是正整数) 100=____，10-1=____，10-2=_____，10-3=______，10-4=_______. 一般地, (n是正整数) 因此，0.000…01=____.(n等于第一个非0数前面所有0的个数) 尝试：我们已经知道一些较大的数适合用科学记数法表示，例如：65300000=6.53×107. 你能利用10的负整数指数幂，将以下较小的数表示成类似形式吗？ 0.01=_____；0.000001=_____； 0.0000257=2.57×________=__________； 0.000000125=1.25×__________=__________. · 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数. 这种形式更便于比较数的大小，例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8，前者是后者的103倍。 类似的：-0.0000000135=-1.35×10-8. 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.00016；_________ (2) -0.00000562；___________ (3) 0.0000000102；__________ (4) 某种细胞的直径约为百万分之一米；_________ (5) 某种新型高速计算机的存储器完成一次存储时间大约为十亿分之一秒. _________ 思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是____；如果有m个0时，10的指数是_______. 例10 纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物休放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1nm3的物休(物体之间的间隙忽略不计)？ 解：1mm=10-3m，1nm=10-9m. (10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018. 1mm3的空间可以放1018个1nm3的物休. 1018是一个非常巨大的数字，它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍. 练习2 1.用科学记数法表示下列数： 0.000000001=________， 0.0012=_________， 0.000000345=___________， 0.0000000108=___________. 2.计算： (1) (2×10-6)×(3.2×103) (2) (2×10-6)2÷(10-4)3 作业1 1．下列计算正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．若，，，，则（ ）． A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 3．下面是一名同学所做6道练习题：①；②；③；④；⑤；⑥，他做对的题个数是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．用科学记数法表示0.008 13是（ ）． A． B． C． D． 5．纳米是一种长度单位，1nm＝m，已知某种植物花粉的直径约为35 000 nm，那么用科学记数法表示这种花粉直径为（ ）． A．m B．m C．m D．m 6．若有意义，则y的取值范围是________． 7．（1），则x＝________；（2），则x＝________． 8．计算：（1）x2y-2·（x-2y）3； （2）； （3）． 9．已知，求整数a的值． 答案 练习1 2、解：(1)原式=x2y-3·x-3y3=x-1y0= (2)原式=(a-2b-4c6)÷(a-6b3)=a4b-7c6= 练习2 2、解：(1)原式=2×3.2×(10-6×103)=6.4×10-3 (2)原式=4×10-12÷10-12=4 作业1 1．A． 2．B． 3．C． 4．A． 5．C．6．且．7．（1），（2）． 8．（1）x2y-2·(x-2y)3=x2y-2·(x-6y3)=x2·x-6·y-2·y3=x-4y=； （2）； （3）． 9．当时，或，此时＝4，1，满足题意； 当时，或，时，，，满足题意；时，，，不符合题意； 当时，，，满足题意．综上，整数a的值为，，0，2． 学科网（北京）股份有限公司 $