18.5 分式方程-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“分式方程”，涵盖概念、解法及应用。通过两块试验田产量问题导入，引导学生从实际情境抽象出分式方程，衔接整式方程知识，以“观察-思考-讨论-验根”为支架，逐步掌握去分母转化整式方程、检验增根等步骤。 资料以实际问题驱动学习，培养学生用数学眼光发现数量关系，通过去分母转化与验根推理，发展运算能力与推理意识，实际应用例题与分层习题设计，助力学生用数学语言表达现实问题，提升模型意识与应用能力。

18.5 分式方程 列方程 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量. 解：设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，那么第二块试验田每公顷的产量是_________kg. 根据题意，可得方程： 观察 ，方程有什么共同特点？ · 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数. 思考 如何解分式方程： 上述分式方程中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v) 解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6 检验：将v=6代入原方程中，左边==右边，因此v=6是原分式方程的解. 由此可知，江水的流速为6km/h. 将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？ · 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母. 解：方程两边乘x(x+3000)，得 9000(x+3000)=15000x 解得 x=4500 检验：将x=4500代入原方程中，左边=2=右边，因此x=4500是原分式方程的解. 两块试验田每公顷的产量分别是4500kg、7500kg. 练习1 (1) (2) 讨论 分式方程 为去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程 x+5=10，解得 x=5 x=5是原分式方程的解吗？ 将x=5代入原分式方程检验，得分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解. 思考 为什么①去分母后所得整式方程的解v=6就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？ 方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v) ≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 在这里，我们把x=5称它为方程②的增根. 验根 增根：在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的使分母值为零的根. 产生的原因：分式方程两边同乘以一个零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是分式方程的根. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 例1 解方程 解：方程两边乘x(x-3)，得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0 所以，原分式方程的解为x=9. 例2 解方程 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 归纳：解分式方程的一般步骤如下： 练习2 解方程： (1) (2) (3) (4) 检测1 1．下列关于x的方程是分式方程的为（ ）． A．－3＝ B．＝3－x C． D． 2．解分式方程，下列四步中，错误的一步是（ ）． A．方程两边分式的最简公分母是x2－1 B．方程两边同乘（x2－1），得整式方程2（x－1）＋3（x＋1）＝6 C．解这个整式方程得x＝1 D．原方程的解为x＝1 3．若分式方程＝2的解是2，则a的值是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若分式方程有增根，则增根一定是（ ）． A．x＝0 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0或x＝2 5．解下列分式方程： （1）； （2）＝8． 6．甲、乙两个火车站相距1 280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度． 列分式方程解决实际问题 例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的____，乙队半个月完成总工程的____，两队半个月完成总工程的_______. 问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 方程两边同乘6x，得 2x+x+3=6x，解得 x=1 检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完在任务的，可知乙队施工速度快. 例4 某次列车平均提速 v km/h. 用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母 v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h，那么提速前列车行驶 s km所用时间为_____h，提速后列车运行(s+50)km所用时间为________h. 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量) 根据行驶时间的等量关系可以列出方程. 解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，根据行驶时间的等量关系，得 方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50) 解得 x= 检验：由于 v，s 都是正数，得x=时x(x+v)≠0. 所以，原分式方程的解为x=. 答：提速前列车的平均速度为km/h. 练习3 1.八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度. 2.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 作业1 1．已知一艘汽船在顺流中航行46 km和逆流中航行34 km共用去的时间，正好等于它在静水中航行80 km用去的时间，并且水流速度是2 km/h，求汽船在静水中的速度．若设汽船在静水中的速度为xkm/h，所列方程正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，他读了一半时，发现平均每天多读21页，才能在借期内读完，他读完前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2 400 m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程________． 4．为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？ 检测2 1．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．2011年暑假期间，某中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名其他社团的同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x人，则所列方程为（ ）． A．＝3 B．＝3 C＝3 D．＝3 3．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程__________． 4．徒骇河风景区建设是今年我市重点工程之一．某工程公司承担了一段河底清淤任务，需清淤4万方，清淤1万方后，该公司为提高施工进度，又新增一批工程机械参与施工，工效提高到原来的2倍，共用25天完成任务，问该工程公司新增工程机械后，每天清淤多少方？ 5．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； （3）若甲、乙两队共同工作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由． 答案 练习1 解：(1)方程两边乘x(x-2)，得 5(x-2)=7x 解得 x=-5 检验：将x=-5代入原方程中，左边=-1=右边，因此x=-5是原分式方程的解. (2)方程两边乘(x+3)(x-1)，得 2(x-1)=x+3 解得 x=5 检验：将x=5代入原方程中，左边==右边，因此x=5是原分式方程的解. 练习2 解：(1)方程两边乘2x(x+3)，得 x+3=4x 解得 x=1 检验：当x=1时，2x(x+3)≠0 所以，原分式方程的解为x=1. 解：(2)方程两边乘3(x+1)，得 3x=2x+3(x+1) 解得 x=-1.5 检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0 所以，原分式方程的解为x=-1.5. 解：(3)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 解：(4)方程两边乘x(x+1)(x-1)，得 5(x-1)-(x+1)=0 解得 x=1.5 检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0 所以，原分式方程的解为x=1.5. 检测1 1．D．点拨：分母中含未知数的方程是分式方程，选项A中的分母不含未知数，选项B、C中的分母含有字母，但不是未知数x，故选D． 2．D．点拨：解分式方程时要检验，当x＝1时，最简公分母x2－1＝0，所以原分式方程无解，故选D． 3．D．点拨：去分母，得ax＝2（x＋2），把x＝2代入，得a＝4，故选D． 4．D．点拨：增根是使最简公分母为零的未知数的值，此方程的最简公分母为x（x－2），故x＝0或x＝2． 5．解：（1）去分母，得3x（x－2）＋2（x＋2）＝3（x＋2）（x－2）， 去括号，得3x2－6x＋2x＋4＝3x2－12，整理，得－4x＝－16，解得x＝4． 经检验x＝4是原方程的解，所以原方程的解为x＝4． （2）方程两边同乘x－7，得x－8＋1＝8（x－7），解这个方程，得x＝7． 检验，当x＝7时，x－7＝0．所以x＝7是原方程的增根，所以原方程无解． 6．解：设列车提速前的速度为x千米/时，则提速后的速度为3.2x千米/时． 根据题意，得＝11． 解得，x＝80． 经检验，x＝80是所列方程的解，也符合实际意义． 所以80×3.2＝256（千米/时）． 答：列车提速后的速度为256千米/时． 练习3 1.解：设骑车学生的速度为 x km/h，则汽车的速度为2x km/h，根据题意，得 方程两边同乘6x，得 60-30=2x 解得 x=15 检验：x=15时6x≠0，所以，原分式方程的解为x=15. 答：骑车学生的速度为15km/h. 2.解：设乙每小时做零件 x 个，则甲每小时做零件(x +6)个，根据题意，得 方程两边同乘x(x+6)，得 90x=60(x+6) 解得 x=12 检验：x=12时x(x+6)≠0， 所以，原分式方程的解为x=12. 答：甲、乙每小时分别做零件18个、12个. 作业1 1．B． 2．C．3．． 4．设原计划有x人参加植树活动，则实际有1.5x人参加植树活动，根据题意，得 ． 去分母，得 ． 解之得 ． 经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合实际意义． 所以． 答：实际有45人参加了植树活动． 检测2 1．C．2．B． 3．＝30（或＝30）． 4．解：设公司新增工程机械后每天清淤x万方，由题意，得＝25，解得x＝．经检验x＝是原方程的根，也符合题意． 万方=2000方 答：公司新增工程机械后，每天清淤2000方． 5．解：设规定日期为x天，由题意，得＝1． 解之，得x＝6．经检验，x＝6是原方程的根． 显然，方案（2）不符合要求； 方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）； 方案（3）：1.2×3＋0.5×6＝6.6（万元）． 因为7.2＞6.6， 所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款． 学科网（北京）股份有限公司 $