第14章、全等三角形·共顶点等角模型 典例解析导学案2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“共顶点等角模型（手拉手模型）”，通过“手拉手”比喻直观引入模型定义，结合双等腰、等顶角核心条件，以SAS全等证明为基础，构建从全等三角形判定到模型应用的学习支架。 资料亮点在于典例从基础到综合的梯度设计，变式训练强化模型本质理解，错误提醒规范推理过程，助力学生提升几何直观与推理能力，培养模型观念和应用意识，提升数学思维品质。

第14章、全等三角形·共顶点等角模型 典例解析导学案 适用年级：八年级（培优） 对应教材：人教版八年级上册第十四章《全等三角形》 课时：1课时 一、模型引入 1. 模型定义 两个顶角相等的等腰三角形，如果顶角有公共的顶点，则把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”（也称“共顶点等角模型”）。 💡 为什么叫“手拉手”？ 两个等腰三角形共用一个顶点，像两个人手拉手站在一起。公共顶点是“头”，两条相等的腰是“手臂”，连接底角顶点的线段就是“拉手线”。 2. 核心条件 如图，在△ABC和△ADE中： · 共顶点：A为公共顶点 · 双等腰：AB = AC，AD = AE · 等顶角：∠BAC = ∠DAE 3. 核心结论 △ABD ≌ △ACE（SAS） 证明思路： ∵ ∠BAC = ∠DAE ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD 即 ∠BAD = ∠CAE 在△ABD和△ACE中： · AB = AC（已知） · ∠BAD = ∠CAE（已证） · AD = AE（已知） ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS） 二、典例解析 【典例1】基础型——等边三角形手拉手（2026八上·邵阳期末） 题目：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B、A、E在一条直线上，连接BD、CE交于点F。 （1）求证：BD = CE； （2）求∠BFC的度数。 【思路分析】 · 识别模型：两个等边三角形共顶点A → 手拉手模型 · 等边三角形 → AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60° · 先证全等 → 再导角 【规范解答】 （1）证明： ∵ △ABC和△ADE均为等边三角形（已知） ∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°（等边三角形性质） ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD 即 ∠BAD = ∠CAE 在△ABD和△ACE中： AB = AC（等边△ABC） ∠BAD = ∠CAE AD = AE （等边△ADE） ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS） ∴ BD = CE（全等三角形对应边相等） （2）解： 由△ABD ≌ △ACE，得∠ABD = ∠ACE。 设∠ABD = ∠ACE = α。 在△BCF中： ∠FBC = ∠ABC − ∠ABD = 60° − α ∠BCF = ∠ACB + ∠ACE = 60° + α ∴ ∠BFC = 180° − (60° − α) − (60° + α) = 60° 答：BD = CE，∠BFC = 60°。 【典例2】提高型——等腰直角三角形手拉手（2026八上·德惠期末） 题目：如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，AB = AC，AD = AE，连接BD、CE交于点P。请判断BD和CE的数量关系与位置关系，并说明理由。 【思路分析】 · 识别模型：两个等腰Rt△共顶点A · 先证△ABD ≌ △ACE · 利用全等导角判断位置关系 【规范解答】 解： 先证△ABD ≌ △ACE（SAS，过程同典例1）。 ∴ BD = CE（数量关系：相等） 设∠ABD = ∠ACE = α。 在△BCP中： ∠PBC = ∠ABC − ∠ABD = 45° − α ∠BCP = ∠ACB + ∠ACE = 45° + α ∴ ∠BPC = 180° − (45° − α) − (45° + α) = 90° ∴ BD⊥CE（位置关系：垂直） 答：BD = CE，且BD⊥CE。 📌 结论速记：等腰直角三角形手拉手 → 拉手线相等且垂直。 【典例3】综合型——含中点的拓展（2025-2026八上期中·四区联考） 题目：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点M为BD的中点，点N为CE的中点，连接AM、AN。求证：AM = AN。 【思路分析】 · 由典例1得△ABD ≌ △ACE → BD = CE，∠ABD = ∠ACE · M、N为中点 → BM = CN · 构造△ABM和△ACN证全等 【规范解答】 证明： 由典例1可知：△ABD ≌ △ACE（SAS） ∴ BD = CE，∠ABD = ∠ACE（全等三角形对应边、对应角相等） ∵ M为BD中点，N为CE中点 ∴ BM = 1/2BD，CN = 1/2CE ∴ BM = CN 在△ABM和△ACN中： AB = AC （等边△ABC） ∠ABM = ∠ACN （已证） BM = CN（已证） ∴ △ABM ≌ △ACN（SAS） ∴ AM = AN（全等三角形对应边相等） 三、举一反三·变式训练 【变式1】图形旋转——结论不变 题目：将等边△ADE绕点A旋转到任意位置，点D落到点B位置，点E落到点C位置（如图），连接BD、CE交于点F。请问：BD = CE是否仍然成立？请说明理由。 分析：旋转不改变三角形的边和角，AB = AC、AD = AE、∠BAC = ∠DAE = 60°始终成立，因此△ABD ≌ △ACE始终成立，BD = CE仍然成立。 结论：手拉手模型的结论与图形位置无关，只取决于“共顶点、双等腰、等顶角”三个条件。 【变式2】正方形背景 题目：如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG、CE交于点O。 （1）求证：BG = CE； （2）求∠BOC的度数。 提示：本题中“手拉手”的公共顶点是A。两个等腰三角形分别是△ABG（AB = AG）和△AEC（AE = AC），∠BAG = ∠EAC = 90° + ∠BAC。证△ABG ≌ △AEC（SAS），得BG = CE，导角得∠BOC = 90°。 【变式3】逆向构造 题目：如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连接DC、BE交于点F。 （1）求证：DC = BE； （2）求∠DFE的度数。 分析：公共顶点为A，△ADC和△ABE满足手拉手条件（AD = AB，AC = AE，∠DAC = ∠BAE），证△ADC ≌ △ABE（SAS），得DC = BE，导角得∠DFE = 60°。 四、模型核心总结 1. 识别“手拉手”的“三步法” 步骤 操作 关键 ①找 找两个等腰三角形是否有公共顶点 顶点重合 ②验 验证两组腰是否分别相等 AB = AC，AD = AE ③看 看顶角是否相等 ∠BAC = ∠DAE 三个条件齐全 → 手拉手模型成立 → △ABD ≌ △ACE（SAS） 2. 经典结论速记 图形特征 拉手线关系 两个等边三角形手拉手 BD = CE，夹角为60° 两个等腰直角三角形手拉手 BD = CE，且BD⊥CE 两个任意顶角相等的等腰三角形手拉手 BD = CE（对应边相等） 3. 常见错误提醒 错误 正确做法 ❌ 看见两个三角形就盲目用SAS ✅ 先确认“共顶点、双等腰、等顶角”三条件 ❌ 导角时用错对应角 ✅ 全等后明确标注对应顶点：A↔A，B↔C，D↔E ❌ 旋转图形后认为结论不成立 ✅ 旋转不改变边角，结论始终成立 五、课后巩固 1. 【基础】如图，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌ ______。 2. 【中档】如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，CA = CB，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = 90°。若AE = 7，BE = 2，求DE的长。 3. 【提高】如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，M为BD中点，N为CE中点。若AB = 6，AD = 4，求△AMN的周长。 参考答案 题号 答案 1、△ACE 2、 5（提示：△ACD ≌ △BCE，得AD = BE = 2，DE = AE − AD = 5） 3、 18（提示：由典例3得AM = AN，且∠MAN = 60°，△AMN为等边三角形） 学科网（北京）股份有限公司 $