精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026-2027学年高三上学期8月阶段验收数学试卷

哈三中2026—2027学年度上学期 高三学年8月阶段验收数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得，所以. 又因为，所以. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 5. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中，由，，得该数列公差， 因此，所以. 故选：C 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，分析可知函数为增函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可得恒成立，换元令，结合函数最值运算求解. 【详解】令，函数的定义域为，为增函数， 且， 所以函数为奇函数， 所以若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 即， 令， 则恒成立， 因为在区间上的最大值为， 所以的取值范围是. 8. 已知函数，，若（），则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以有唯一解，即，即， 可得，所以， 令，则， 令，则， 令，解得，所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合差角公式、二倍角公式、辅助角公式、诱导公式对各选项逐一计算验证即可. 【详解】选项A：根据正弦差角公式得，故A错误. 选项B：根据余弦二倍角公式得，故B正确. 选项C：利用辅助角公式可得，故C正确. 选项D：利用诱导公式与正弦二倍角公式得 ，故D正确. 10. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 11. 已知函数（，），且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为偶函数，则 B. 若的一个对称中心为，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简，由相邻对称轴距离求出周期，得到，求出，A 选项，利用偶函数相位特征，求出；B 选项，把对称中心坐标代入相位条件；C选项，换元处理零点问题，锁定相位取值范围；D 选项，换元转化单调区间，利用正弦函数增区间列不等式，求出的最大值. 【详解】, 由图象的相邻两条对称轴距离为，得， 且，所以，所以， 选项 A：若为偶函数，则，即， 因为，取，，A 正确； 选项 B：因为，即， 则，即， 且，取，，B 错误； 选项 C：因为，则，区间长度为， 若在区间内有三个零点，则，即， 且，取，，C正确； 选项 D：若在区间上单调递增， 因为，令，所以， 又因为单调递增区间： 则， 可得，解得， 且，取，得，所以最大可取，D 正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若扇形的半径为1，周长为4，则扇形的面积为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据扇形周长和半径，算出它的弧长，再用扇形面积公式即可算出该扇形的面积． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为，可得 半径，周长为， ， 因此，扇形的面积为 故答案为：1 【点睛】本题给出扇形周长和半径，求扇形的面积，着重考查了扇形的性质和扇形面积公式等知识，属于基础题． 13. 若函数在处取得极大值，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数在处取得极大值， 又，所以， 解得或，当时，令 解得或，解得， 即在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，，同理可得在处取得极大值. 14. 已知函数，则函数的单调增区间为_________；若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系即可求得函数的增区间； 对进行变形，得到，利用导数分析函数（且）的单调性与极值，数形结合判断直线与函数的图象有三个不同的交点时的取值范围即可. 【详解】已知，定义域为，则. 令，因为，，所以，解得. 所以函数的单调增区间为. ，定义域为. 令，因为不是方程的解，所以. 令（且），则. 令，则，解得，列表如下： 0 0 增 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，极大值为，极小值为. 作出函数的图象如下： 由图可知，当时，函数与函数的图象有三个不同的交点， 因此实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．将答案填在答题卡相应的位置上． 15. 已知，． （1）求和的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对原等式两边平方可得，可判断，，结合同角的平方关系即可求解； （2）由（1）可得，结合两角和的正切关系即可求解. 【小问1详解】 由两边平方可得：，解得： 因为，，所以， 由，解得： 【小问2详解】 由于， ， 解得： 16. 已知数列的前项积为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入原等式化简即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上， 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像的最高点确定振幅，利用周期性确定，再代入特殊点坐标结合的范围求出初相； （2）根据三角函数图像变换规律求出的解析式，将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值问题. 【小问1详解】 由函数的图像可知，函数的最大值为2， 因为，所以．观察图像，函数在处取得最大值，在处经过平衡位置且单调递增 所以，解得.因为且，所以, 此时将点代入函数解析式，得， 所以，解得. 因为，令，得． 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍， 得到函数的图像. 再将其图像向左平移个单位，得到函数的图像， 则 因为，所以． 由余弦函数的性质可知，当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． 又因为，，且， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 若对任意的，都有恒成立，则，即． 所以实数的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）双曲线的渐近线方程为，记，. 设点，由在上得，即. 过点与平行的直线方程为，与交于点， 联立，解得. 同理得，过点与平行的直线与的交点. 平行四边形的面积，其中为点到直线的距离， ， ， ∴ ，为定值，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标，结合的关系求解，即可得到双曲线方程. （2）求出双曲线渐近线方程，设点坐标，写出两条平行线方程，求解交点坐标后计算平行四边形面积，结合点在双曲线上的约束化简得到定值. （3）利用导数写出抛物线切线方程，得到切点弦的方程，结合韦达定理求出弦长与点到直线的距离，写出面积表达式后结合双曲线方程转化为二次函数最值问题求解. 【小问1详解】 由题意 ，且， ∴ ， ∴ 的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，抛物线即，导数， ∴ 过点的切线方程为，结合化简得. ∵ 点在切线上， ∴ ，同理， 即，∴直线的方程为， ∴ 是方程的两个实根， ∴ 即，且，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ 点在上，∴ ，代入得. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ ， ∴ . 【点睛】方法归纳： 1.定值问题需先引入变量构建表达式，再结合题目给定的约束关系消去变量得到固定结果； 2. 抛物线切点弦相关的面积问题，可通过切线方程归纳切点弦公式，结合韦达定理简化运算，最终转化为函数最值问题求解. 19. 已知函数． （1）求在处切线方程； （2）若，，求证： （ⅰ），； （ⅱ），当时，． 【答案】（1） （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 要证，需证， 需证，需证， 又，所以只需证，需证， 令，求导得， 因为在单调递减，且，， 所以存在，使得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 又，， 所以对恒成立，即对恒成立， 所以，； （ⅱ）因为，所以为奇函数， 同理可得为奇函数，所以为偶函数， 又 ， 所以函数是周期为的周期函数， 所以只需证，即可， 又函数为偶函数，故只需证，即可. 当，由，得，得， 又由（ⅰ）知对恒成立，所以对恒成立， 所以，因为，又，所以， 所以，所以，所以， 即，，所以，当时， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）（ⅰ）分析可得需证对均成立，令，求导，可证明；（ⅱ）由题意可证明为偶函数且是周期为的周期函数，从而只需证明只需证，即可，结合（ⅰ）可证得结论. 【小问1详解】 由，得，所以，又， 所以在处切线方程为， 即在处切线方程为； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026—2027学年度上学期 高三学年8月阶段验收数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若（），则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 11. 已知函数（，），且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为偶函数，则 B. 若的一个对称中心为，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若扇形的半径为1，周长为4，则扇形的面积为_____. 13. 若函数在处取得极大值，则_________． 14. 已知函数，则函数的单调增区间为_________；若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．将答案填在答题卡相应的位置上． 15. 已知，． （1）求和的值； （2）若，求的值． 16. 已知数列的前项积为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 19. 已知函数． （1）求在处切线方程； （2）若，，求证： （ⅰ），； （ⅱ），当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $