精品解析：黑龙江省九师联盟校2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和集合的运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再结合复数的几何意义即可得结论. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 3. 若向量，，，则实数（ ） A B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 由，得，. 故选：B. 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 5. 某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据，，，，，，，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（ ） A. 平均分 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、极差、标准差、中位数的概念和运算法则，采用赋值法逐一分析判断选项正误． 【详解】选项A：若7个数据为，原平均分为， 去掉最高和最低分后平均分为， ，平均分不一定相同，故A错误； 选项B：若7个数据为，原极差为，去掉最高和最低分后极差为， ，极差不一定相同，故B错误； 选项C： 若7个数据为，则原数据平均数为， 标准差为 ， 去掉最高和最低分后平均数为， 标准差为 ， 标准差不一定相同，故C错误； 选项D：设，则原始数据的中位数为， ，，，，的中位数也为， 去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是中位数，故D正确． 故选：D． 6. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则（ ） A. 441 B. 361 C. 121 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出数列与数列的项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的特征后得出结果. 【详解】由题意，数列的项是奇数， 由数列的项是数列和数列的公共项，得数列的项为奇数的平方， 即， 如，，， 所以. 故选：B. 7. 若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式，正弦函数的周期公式和对称中心确定，再代入可得. 【详解】，则， 由，得， 因为的图象关于点对称，所以，， 解得，， 又，所以， . 故选：A. 8. 设函数，令，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将整理为，求出的定义域为，根据偶函数的定义得到是偶函数，构造函数，利用导数法求出的单调性，利用复合函数的单调性得到在上单调递增，由是偶函数，得，再由对数换底公式和运算性质求出，，，计算，利用基本不等式得到，从而得到，继而得到，由在上单调递增得到. 【详解】，的定义域为， ，是偶函数， 令，， 当时，，在上单调递增， 在上单调递增， 在上单调递增， 由偶函数，得， 再由对数换底公式和运算性质， 得，， ，， 所以，所以，又在上单调递增， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理即可判断；对于B，直线与的位置关系不确定，从而不一定能确定，即可判断B；对于C，根据直线与平面平行的性质定理，及平面与平面垂直的判定定理即可判断；对于D，根据平面与平面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理知A正确； 对于B，除非加上，可以推出，其他情况容易举反例，故B错误； 对于C，因为，过作平面，则易得，因为，所以， 又，所以，故C正确； 对于D，直线，相交时符合平面与平面平行的判定定理，否则结论不成立，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极值都大于0 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接求导计算判断A；分别求解函数的极值判断B；结合函数的单调性求解判断C；根据函数的单调性，结合判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 令得， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处有极大值，在处有极小值，故B错误； 因为在上单调递增，，所以，故C正确； 当时，由幂函数的性质，知， 因为在上单调递减，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 伽利略说：大自然这本书是用数学语言写成的.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的结论中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的递推公式可得到累加后即可判断A选项；取特殊值代入即可排除B选项；根据斐波那契数列的递推公式可得到，累加后即可得到C选项；将看成，然后再利用递推公式即可判断D选项. 【详解】因为，， 所以，，，…，，， 累加得，故A正确； 因为，故B错误； 因为，，…，， 将以上各式相加，得，故C正确； 因为，所以 ， 故D正确。 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_________ . 【答案】6 【解析】 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：∵ ∴，（当且仅当，取“=”） 故答案为：6. 13. 碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量的函数关系可以是________. 【答案】 【解析】 【分析】设出碳14含量每年的衰减率为，结合生物体内最初碳14的含量，列出式子求解即可. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，则. 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，弦的中点为，进而根据直线的方程求得，再根据直线与双曲线右支交于两点求得，最后再求解点的横坐标的取值范围即可. 【详解】设，，弦的中点为， 由题意，得，则， 设， 联立方程得， 所以且，，， 因为直线和的右支交于两点， 所以，解得， 因为，， 直线的方程为， 令，得， 又，所以，，即点的横坐标的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将利用两角和差的正余弦公式，经过整理得到，由得到，从而得到，由 的范围得到的大小. （2）由的面积利用三角形面积公式得到，计算解得，由余弦定理，得，计算得到，由代入数值计算出的值，从而得到的周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 因为，所以，，又已知，所以. 【小问2详解】 因为面积为，所以，解得， 由余弦定理，得，所以， 所以， 所以的周长为. 16. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. （1）求线段的长度； （2）已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质和定义求出直线方程，联立直线和抛物线，结合韦达定理求出，最后根据抛物线焦点弦长公式求出； （2）设直线方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理及斜率公式求出斜率之积． 【小问1详解】 抛物线焦点为， ， 直线的斜率为1， 的方程为, 设，， 联立直线与抛物线，得， ，， 由抛物线的定义得，． 【小问2详解】 设，，，直线，的斜率分别为，， 联立方程得， ， ，， ，在上，，， ，， ，即直线，的斜率之积为． 17. 如图，在正三棱台中，，. （1）求正三棱台的体积； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据几何体特征，设上、下底面的中心分别为，，连接，，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，是三棱台的高，结合几何体特征，可求得，再结合几何体体积公式即可求解； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，结合线面角的向量法求解公式即可求解. 【小问1详解】 设上、下底面的中心分别为，，连接，，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，是三棱台的高， 因为，都是正三角形，且， 所以，， 由勾股定理，得， 所以正三棱台体积. 【小问2详解】 如图，以为原点，为轴正方向，过作的平行线与交于点， 为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则即 取，得，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若有2个极值点，求的取值范围； （3）若有2个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2） 函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点，从而将问题转化为与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解； （3）令，从而将问题转化为直线与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解， 【小问1详解】 当时，，，，所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点， 而，令，所以， 设，只需与的图象有2个交点，， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，. 又时，且， 所以当时，函数有2个极值点. 【小问3详解】 ，1不是的零点， 令，则， 所以，令，欲使函数有2个零点，只需直线与的图象有2个交点，， 当或时，，在和上单调递增； 当或时，，在和上单调递减，且， 的极大值为，的极小值为， 又当时，且，当且时，，当且时，，当时，，所以当或时，直线与的图象有2个交点， 即有2个零点时，的取值范围是. 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）组采用赛制二更有利于胜出，答案见解析 【解析】 【分析】（1） 利用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，从而求得数学期望； （2） 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：，利用相互独立事件的概率公式求解即可； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，可得，利用二项分布的概率公式求出组获得冠军的概率； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，则组取得胜利概率为， 两个概率作差比较大小即可得到结论. 【小问1详解】 由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 【小问2详解】 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：， 所以竞赛小组能进入决赛的概率为 【小问3详解】 按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则，组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 若向量，，，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 5. 某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据，，，，，，，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（ ） A. 平均分 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数 6. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则（ ） A. 441 B. 361 C. 121 D. 100 7. 若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. 8. 设函数，令，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极值都大于0 C. D. 若，则 11. 伽利略说：大自然这本书是用数学语言写成的.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的结论中，正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_________ . 13. 碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量的函数关系可以是________. 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. （1）求角大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. （1）求线段的长度； （2）已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 17. 如图，在正三棱台中，，. （1）求正三棱台的体积； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若有2个极值点，求取值范围； （3）若有2个零点，求的取值范围. 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $