精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

龙东十校联盟高三学年度开学考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 2或 7. 在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 与函数的单调区间一定相同 B. 若有两个零点，则的取值范围为 C. 的图象关于直线对称 D. 存在实数使的定义域和值域都为 11. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足，则_________ 13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______ 其中. 14. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求的解析式； （2）已知，求的值. 16. 已知不等式的解集为，集合，， （1）求集合； （2）解关于的不等式 17. 已知函数， （1）求的值域. （2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围. 18. 在中，内角所对边分别为， （1）若，求的值. （2）若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 19. 设函数 （1）求的单调性. （2）求证：当时，. （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙东十校联盟高三学年度开学考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的运算性质求解． 【详解】表示函数的定义域，， 则， 故选：C 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式直接求解. 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 4. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】，求导得：， 所以曲线在处的切线的斜率， 故选：A. 5. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立； 再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解. 【详解】由，得，解得， 而. 故选：B. 7. 在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 8. 若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，当在区间上有变号零点时满足题意，进而分离参数得，令，利用导数求出的值域，从而可得结果. 【详解】因为函数在区间上有极值点， 所以在区间上有变号零点， 因为，所以分离得：. 令，， 由，得或（舍去）， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 于是， 又， 所以，即. 故选： D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的图象按各选项给定的变换求出解析式即可得解. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 故选：BD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 与函数的单调区间一定相同 B. 若有两个零点，则的取值范围为 C. 的图象关于直线对称 D. 存在实数使的定义域和值域都为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两个函数定义域特征判断A；利用零点定义求出范围判断B；利用轴对称特征判断C；利用对数型复合函数的定义域、值域都为R分别求出范围判断D. 【详解】对于A，由，得不等式的解集为的定义域， 而的定义域为R，因此两者的单调区间不一定相同，A错误； 对于B，由，得， 有两个零点，当且仅当方程有两个不等的实数根， 因此，解得，B正确； 对于C，，由，得的图象关于直线对称，C正确； 对于D，的定义域为，当且仅当； 的值域为，当且仅当， 因此不存在实数使的定义域和值域都为，D错误. 故选：BC 11. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用为减函数，在上为增函数即可比较幂的大小判断A，对于B，利用在上为增函数，可得，化简即可判断B；对于C，构造函数，判断其单调性，得出时，排除C项，或者通过举反例说明排除C项；对于D，利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D. 【详解】对于A，因，为减函数，在上为增函数，故，故A正确； 对于B，因，则在上为增函数，又故， 因，则，故得，即B正确； 对于C，法一：设，由可得， 当时，，当时，，故在上递减，在 上递增，所以当时， ，即，可得，故C错误； 法二：举反例：取，则，故C错误； 对于D，由C，当时，可得， 因，则，可得，同理可得，故，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足，则_________ 【答案】2 【解析】 【分析】令，代入计算即可． 【详解】令，所以． 故答案为：2 13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______ 其中. 【答案】, 【解析】 【分析】可以求出，从而由余弦定理可以得到，由余弦的二倍角公式即可化简得. 【详解】如图， ； 在中， 由余弦定理得，由，知， 故答案为：． 14. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解 【详解】，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求的解析式； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图像最值得到的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期，从而得到，将已知点坐标代入解析式，求得，即得到函数解析式； （2）代入（1）中函数解析式得到等式，结合取值范围得到的取值范围，由同角三角函数求得，然后利用和差角公式求得的值. 【小问1详解】 由最值可确定， 周期 又， 所以 【小问2详解】 ， ∵，∴ ，又 ∴ ∴ 16. 已知不等式的解集为，集合，， （1）求集合； （2）解关于的不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过解分式不等式可得结果； （2）由题意求出集合B，结合不等式的解集可得，从而代入解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 则或， 解得或 所以. 【小问2详解】 因为，，所以 ， 又因为，所以， 所以不等式的解集为， 从而是方程的两根，且， 由，得， 又，所以，即， 解得. 所以不等式的解集为. 17. 已知函数， （1）求的值域. （2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式的性质求解； （2）依题意得，，再求出函数的最小值进行求解． 【小问1详解】 ∵ ， 当时，取最小值， 当时，，∴的值域为. 【小问2详解】 由题意知，由（1）得， ，， 设，则化为， 当时，，∴， 当时，，∴， 所以的取值范围为. 18. 在中，内角所对边分别为， （1）若，求的值. （2）若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理代入数据即可求解； （2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得： 所以的值； 【小问2详解】 （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 19. 设函数 （1）求的单调性. （2）求证：当时，. （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在和上单调递增； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数单调性即可； （2）构造新函数，利用导函数证明其单调性，从而证得不等式成立； （3）构造新函数，将原问题转化为函数在内有零点，分类讨论：当时，通过放缩法证得函数，没有零点，不合题意；当时，通过多次求导证明函数单调性，结合零点存在性定理求得在上有唯一零点，从而可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，的定义域为，且， 设，则， 当时，，在上递增，则，即，所以在上递增； 当时，，在上递减，则，即，所以在上递增. 所以，在和上单调递增. 【小问2详解】 当时，. 令，则， 设，则， 时，，即在上为增函数， 所以，故在上为增函数， 所以，即成立， 故原不等式得证. 【小问3详解】 令， “函数在上有零点”等价于“函数在上有零点”， 设，则， 所以在上为增函数，因而，即. 故由，可得， 当时， ， 由（2）知，时，， 此时，函数在上没有零点，不合题意，故舍去. 当时，，求导得：， 设，则， 当时，恒成立，所以单调递增； 当时，设，则， 因为，，所以，单调递增， 又，，因此在上存在唯一的零点， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增， 又，，， 因此在上存在唯一的零点，且， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 又，，， 所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点. 所以，当时，函数在上有零点. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $