精品解析：湖北宜昌市某重点中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025—2026年高一12月月考 数学试卷 考试时间：120分钟　　满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则的解是（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 10. 已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知函数，则_______. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 16. 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 17. 设 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式 18. 已知函数. （1）求证：它在区间上是严格增函数； （2）若，试比较与的大小（请说明理由）； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合； （3）若，且，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年高一12月月考 数学试卷 考试时间：120分钟　　满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个集合的关系，即可求交集. 【详解】，，则是整数中的偶数， 所以集合中的元素都是集合的元素，但集合中的元素有不是集合的元素， 所以集合是集合的真子集， 所以. 故选：C 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对A，是偶函数，当，， 所以在上单调递减，故A错误； 对B，，所以为非偶函数，故B错误； 对C，，所以为偶函数，当， 为减函数，其在上单调递增，故C正确； 对D，，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 3. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B 5. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 6. 已知函数，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的定义域，进而求出的定义域. 【详解】令，则，即 解得，即的定义域为． 所以对于函数，应有，解得， 故的定义域为． 故选：C. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案. 【详解】， ， ， ，即， 解得或， 又，所以使成立的m的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则的解是（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】讨论的取值，然后得到对应方程，并求解即可得结果. 【详解】因为， 所以，当时，，即， 当时，，即， 故选：AC. 10. 已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】运用指数、对数运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知函数，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式解得集合，再求，； （2）由题可得，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由题意可得或，当时，， 故；，故． 【小问2详解】 因为，所以， 又，则或，解得或， 即的取值范围为或. 16. 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】（1）万套时，每万套的最低成本为12万元； （2）该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【小问1详解】 由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； 【小问2详解】 由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 17. 设 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式 【答案】（1） （2）4 （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 18. 已知函数. （1）求证：它在区间上是严格增函数； （2）若，试比较与的大小（请说明理由）； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 设、是上任意给定的两个实数，且， 则， ∵，函数在上是严格增函数，∴， 又，故，即. 因此，函数在区间上是严格增函数. （2） ∵，∴. ∵函数在区间上是严格增函数， ∴，∴， 又函数在上是严格增函数，且， ∴； （3）. 【解析】 【分析】(1)用定义法证明即可； (2)不等式构造为f(a)＜f(b)形式，根据单调性得到a与b的大小关系，根据a与b的关系即可求出b－a＋1的范围，即可判断大小； (3)不等式参变分离，构造新函数，将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 即， ， ， ， ， 故的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合； （3）若，且，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，换元后结合二次函数知识可得值域； （2）先求出的解（用换元法），，这样问题转化为或恰有三个解，结合二次函数性质得方程有两个等根．由此可得的值； （3）设，转化为方程的两根满足，根据韦达定理得到关于的关系式，即可求得的范围. 【小问1详解】 易知的定义域为，设， 则， 所以的值域为； 【小问2详解】 设，由（1）可知，， 令，解得， 所以或，解得或， 因为恰有三个解，所以或恰有三个解， 即恰有一解，所以，解得， 所以的取值集合为； 【小问3详解】 设，，因为，所以，即， 则的两根为， 整理得， ， 所以，， 若，则成立； 若，则； 又，所以，即； 则， 所以 综上可得， 【点睛】本题考察了函数中常用的换元法，转化法与化归思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $