精品解析：江苏南京外国语学校2026-2027学年度高三年级第一学期期初数学试题

南京外国语学校 2026－2027学年度高三年级第一学期期初 数学试题 注意事项：本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 4. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的70%分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数在上的值域为 D. 若，则 10. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 在区间上单调递减 B. C. 在区间上的值域为 D. 若函数，且，则在上单调递减 11. 已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为7 D. 为完全平方数 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 设函数，则______. 13. 在中，，，，则的面积为________． 14. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若在区间内存在零点，求的取值范围. 16. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 17. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． （1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率； （2）求第局为乙、丙对打的概率； 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校 2026－2027学年度高三年级第一学期期初 数学试题 注意事项：本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 2. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案. 【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由， 取，此时等比数列的通项公式为： ， 随着的逐渐增大，增大， 则等比数列是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项， 则等比数列的通项公式为： ， 从而得出数列是递减数列，但是，所以必要性不成立， 故“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】因为，所以， 可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为， 右焦点到其渐近线的距离为. 故选：B. 4. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的70%分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由百分位数定位数据求出指数，再将三项式中含的两项捆绑为整体，化归为二项式展开，逐层确定系数. 【详解】数据，1，3，4，5，7，10，11，共 8 个，已按从小到大排列. 由，故这组数据的 70% 分位数为第 6 个数，即. 将视为整体，原式改写为. 其展开式的通项为. 要得到项，需.此时. 在的展开式中，项为. 故展开式中的系数为. 5. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，即可求得点M的轨迹 【详解】解：根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 设的中点为， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据题目条件可得，所以和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段， 故选：B 6. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量模的运算结合二次函数顶点式即可求的最小值. 【详解】由题意得， 则， 代入，得， 所以当时，取最小值. 7. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用单调性求出在上的值域，再结合方程恒有解列式求解. 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 8. 已知正实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解. 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数在上的值域为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，根据为等边三角形确定最高点的纵坐标，再利用长度是函数半个周期，结合周期公式求；选项B，根据以及的长度，确定的坐标，再利用三角函数的零点性质，结合题干求出的解析式，进而求出的单调递增区间，再判断给定区间是否为递增区间的子集；选项C，先求出给定区间内的范围，再结合正弦函数的取值范围得到的值域；选项D，先由得到的值，再利用二倍角的余弦公式转化求解对应三角函数值. 【详解】选项A，设，则，即，， 正弦函数最高点的纵坐标为振幅，且在线段的中垂线上， 因此的横坐标为，即. 由，且，可知为等边三角形，边长. ，解得. 因此，，，，即. 由得，故A正确. 选项B，将代入，得， 由，解得，则. 由，可得函数的递增区间为. 当时，递增区间为，而属于相邻的递减区间， 因此并非全为递增区间，故B错误. 选项C，当时，，此时， 因此的值域为（时取到最大值），故C错误. 选项D，由，得，即. ，故D正确. 10. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 在区间上单调递减 B. C. 在区间上的值域为 D. 若函数，且，则在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：对求导，判断导数在区间上的符号，结合时、、的取值范围分析导数正负；选项B：利用在区间上单调，代入表达式变形即可得到与的大小关系；选项C：结合单调性判断函数的取值范围即可；选项D：令 ，则，求导得，故单调递增，再由得，因此 ，进而判断单调性. 【详解】选项A，由得 当时，，，且 ， 因此，所以， 在区间上单调递减，A正确. 选项B，因为且  在  上单调递减， 所以，即， 因此  不成立，B错误. 选项C，由A知，在区间上单调递减. 当时， 又 因此，在区间上的值域为，C正确. 选项D，由题设.令 则，两边求导，得 又因为 ，所以 故 由 C 可知，当时， 因此， 在区间上单调递增. 由条件，得， 即， 所以. 由于  单调递增，且在时取值为0， 所以当时，有 因此， 在区间上单调递减，D正确. 11. 已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为7 D. 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据韦达定理推导数列的递推关系，并求出即可；选项B，将的表达式代入，利用韦达定理化简得到通式后判断；选项C，计算前若干项的个位数字，找到周期，再根据周期取余得到对应个位数字；选项D，利用的表达式，结合的幂次的变形推导其结构，再代入判断是否为完全平方数. 【详解】由于是方程的根，则有： 两边同乘，可得递推关系：， 则，即 等式两侧同除以2，可得 故数列的递推公式：， ，. 选项A：，A正确. 选项B：化简，结合展开得： ，B错误. 选项C：依次计算可得：，，， ，， ， 经过计算，从往后，可得个位数循环节为：，即周期为6， 所以，余数为，对应个位数字为，C正确. 选项D：由 代入得： ，可得，是完全平方数，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 设函数，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解. 【详解】中，且 （1），（2）， （2）-（1）得，． 由正弦定理， ． . 14. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论单调性； （2）结合函数单调性和零点存在定理求的取值范围. 【小问1详解】 ，. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 16. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【16题详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【17题详解】 因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 17. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． （1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率； （2）求第局为乙、丙对打的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； (2)第局有甲参与的概率为，列出，   通过配凑出是等比数列，代入公式求解即可. 【小问1详解】 记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件，记某选手获胜为“√”，失利为“×”，轮空为“○”，则前五局甲恰好参与四局对应前四局的以下四类情况： ①×○√√，第五局一定参与，概率为， ②√×○√，第五局一定参与，概率为， ③√√×○，第五局一定参与，概率为， ④√√√×，第五局一定轮空，概率为， 故所求概率为. 【小问2详解】 记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为， 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为， 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与， 所以， 即，又因为，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以第局乙、丙对打，即没有甲参与的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明:由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角； （3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得. ， 则，， 所以，解得，即. 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量为，则，​ 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故， 三棱锥体积. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 【答案】（1）的单调递减区间是；单调递增区间是； （2） （3）由（2），， 又，可知， 因为函数在区间上单调递减，故， 令，， ，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， ，， 设 ， 故单调递增，， 即单调递减，，即， 所以得证； 综上，． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调区间即可； （2）先构造函数，再求出导函数分和时，讨论函数单调性计算求解参数； （3）先由（2），再构造，再构造结合导数求出单调性即可证明；. 【小问1详解】 函数的定义域为，所以， 因为，所以． 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是； 【小问2详解】 当时，，即， 设， 则， 令，则． 当时，，所以存在，使得当时，单调递增， 故当时，，即，不符合题意； 当时，，且当时，． 令， 则当时，因为，所以， 故当时，单调递减，此时， 所以当时，单调递减，即当时，，即 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $