江苏省南京市中华中学2026届高三上学期8月学情调研数学试题

中华中学2026届南京市高三学情调研模拟考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 3. 从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A. 若，则为实数 B. 若，则 C. D. 10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)． 13. 已知函数（）在区间有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 16. 如图，在三棱锥中，，，点在上，且，. （1）若为线段的中点，求证：直线平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若. （1）求证：数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）令，设数列{bn}的前n项和为，若，求n的最小值. 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若，其中，证明：． 中华中学2026届南京市高三学情调研模拟考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分． 【15题答案】 【答案】（1）76.5 （2）的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 【16题答案】 【答案】（1）证明：取中点，在平面中，过点作，连接， 因为为线段的中点，所以， 又因为，，，所以， 由上可得，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以直线平面   （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析， （2）3 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【19题答案】 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为 （2） （3）证明:因为，其中， 则，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， 令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $