2.2平方根与立方根知识梳理与题型突破（九大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册“平方根与立方根”同步练，以九大题型构建“概念理解-规律探究-综合应用”三阶分层，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|平方根/算术平方根/立方根定义及性质|含定义辨析（如16的算术平方根）、性质应用（绝对值与算术平方根非负性），夯实概念理解| |规律应用层|小数点移动规律、方程求解|通过小数点移动规律题（如已知√a求√100a）、解方程（如8x³+125=0），发展推理意识与运算能力| |综合实践层|跨知识点综合、实际问题|结合正方体体积计算、雷雨持续时间模型等实际情境，培养模型意识与应用能力，衔接阶段测评需求|

2.2平方根与立方根知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（九大题型） 知识梳理： 知识点一、平方根和算术平方根的定义 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点五、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 特别说明：：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点六、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点七、立方根的性质 特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点八、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型突破： 题型一：平方根与算术平方根 1.下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】B 2．的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】D 3.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是±3 B．﹣a2一定没有平方根 C．16的平方根是4 D．4是16的一个平方根 【答案】D 4.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3 【答案】C． 5．的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 6.已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 题型二：算术平方根的性质 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【答案】A 3．若|x+2|0，则yx的值为　 　． 【答案】． 4.若实数，满足，则的值是 ． 【答案】1 5.如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 题型三：算术平方根的估算 1.若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 2．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 3．估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 4．若，且、为连续正整数，则= 【答案】 5.在两个连续整数a和b之间，ab，那么b﹣a的值为　　 ． 【答案】1 题型四： 立方根的概念 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 2.有下列说法 ①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③±4；④﹣0.081的立方根是﹣0.9；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9，其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A． 3．的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 4．的值是 ． 【答案】 5．的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 题型五：利用平方根与立方根的定义解方程 1．若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 【答案】C 2.已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 【答案】D 3．方程8x3+125＝0的根是 ． 【答案】- 4．方程 的解＝ ． 【答案】 5．求的值 (1)； (2)． 【答案】（1）解：， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 题型六：平方根与立方根的规律探究问题 1.若，，则（   ） A．632.9 B．293.8 C．2938 D．6329 【答案】B 2.已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 【答案】A 3．若，，则的值为 ． 【答案】 4．已知， ，那么 ． 【答案】0.04147 5．已知1.038，2.237，4.820，则　 　． 【答案】﹣22.37． 6.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）≈1.414，≈14.14，≈141.4… ≈0.1732，≈1.732，≈17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　　位，其算术平方根的小数点向 　 移 动 位； （2）已知≈2.236，≈7.071，则≈　 　，≈　 　； （3）＝1，＝10，＝100… 小数点变化的规律是：　 　； （4）已知＝2.154，＝4.642，则＝　 　，﹣＝　 　． 【答案】（1）2，右，1 （2） 0.7071，23.26； （3） 一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位； （4）21.54，﹣0.4642． 【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知， 被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：2，右，1； （2）由（1）的规律可得，≈0.7071，≈23.26， 故答案为：0.7071，23.26； （3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位， 故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位； （4）由（3）的结论得， ＝＝×10＝21.54， ﹣＝﹣＝﹣＝﹣0.4642， 故答案为：21.54，﹣0.4642． 题型七：平方根与立方根的综合运用 1．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根． 【答案】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8． ∴b＝4，a＝16． ∴2a+b＝32+4＝36． ∴2a+b的算术平方根是6． 2． 已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根． 【答案】解：∵x+1的平方根是±2， ∴x+1＝4， ∴x＝3， ∵2x+y﹣2的立方根是2， ∴2x+y﹣2＝8， 把x的值代入解得： y＝4， ∴x2+y2＝25， ∴x2+y2的算术平方根为5． 3.已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，求： （1）x、y的值； （2）x2+y2的平方根． 【答案】解：（1）由于y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根， 所以有y＝23＝8，2x﹣y＝4， 解得x＝6，y＝8， （2）当x＝6，y＝8，x2+y2＝100， 所以x2+y2的平方根为±±10． 4.已知：2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，b﹣7的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求a﹣b的算术平方根． 【答案】解：（1）由题意可知：（2a﹣7）+（a+1）＝0， ∴3a﹣6＝0， ∴a＝2， ∵b﹣7的立方根为﹣2 ∴b﹣7＝（﹣2）3， ∴b＝﹣1； （2）由（1）可知：a＝2，b＝﹣1， ∴a﹣b＝2﹣（﹣1）＝3， ∴a+b的算术平方根是． 5.已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值； （2）求3a+10b+c的平方根． 【答案】解：（1）根据题意可知， 3a+21＝27，解得a＝2， 4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3， c＝0， 所以a＝2，b＝3，c＝0； （2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36， 36的平方根为±6． 所以3a+10b+c的平方根为±6． 题型八：平方根立方根的实际应用 1.小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【答案】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3-33=189， ∴a3=189+27=216， a3=216=63 ∴a=6cm 2.某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径. (1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间? (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)? 【答案】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9. 答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h. (2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7. 答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km. 3.小明打算用一块面积为400cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为300cm2的长方形的桌面，使它的长和宽的比为3：2，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】解：可设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm， 根据边长与面积的关系得： 3x•2x＝300， 6x2＝300， x＝±＝， 因为边长不能为负数，所以x＝5， 故长方形纸片的长为 3x＝15 cm，宽为 2x＝10cm， 因为50＞49，所以5＞7， 所以 15＞21．即长方形纸片的长应该大于21cm， 因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm．这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长． 答：不能做到． 4.如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 5．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积． 【答案】175cm2 【详解】解：大正方体的边长为＝5cm， 小正方体的棱长是cm， 长方体的长是10cm，宽是cm，高是5cm， 长方体的表面积是（10×+10×5+×5）×2＝175cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2平方根与立方根知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（九大题型） 知识梳理： 知识点一、平方根和算术平方根的定义 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点五、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 特别说明：：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点六、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点七、立方根的性质 特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点八、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型突破： 题型一：平方根与算术平方根 1.下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 2．的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 3.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是±3 B．﹣a2一定没有平方根 C．16的平方根是4 D．4是16的一个平方根 4.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3 5．的算术平方根是 ；的平方根是 ． 6.已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 题型二：算术平方根的性质 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 3．若|x+2|0，则yx的值为　 　． 4.若实数，满足，则的值是 ． 5.如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 题型三：算术平方根的估算 1.若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 2．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．若，且、为连续正整数，则= 5.在两个连续整数a和b之间，ab，那么b﹣a的值为　　 ． 题型四： 立方根的概念 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 2.有下列说法 ①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③±4；④﹣0.081的立方根是﹣0.9；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9，其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 3．的平方根是 ，的立方根是 ． 4．的值是 ． 5．的立方根是 ；的立方根是 ． 题型五：利用平方根与立方根的定义解方程 1．若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 2.已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 3．方程8x3+125＝0的根是 ． 4．方程 的解＝ ． 5．求的值 (1)； (2)． 题型六：平方根与立方根的规律探究问题 1.若，，则（   ） A．632.9 B．293.8 C．2938 D．6329 2.已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 3．若，，则的值为 ． 4．已知， ，那么 ． 5．已知1.038，2.237，4.820，则　 　． 6.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）≈1.414，≈14.14，≈141.4… ≈0.1732，≈1.732，≈17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　　位，其算术平方根的小数点向 　 移 动 位； （2）已知≈2.236，≈7.071，则≈　 　，≈　 　； （3）＝1，＝10，＝100… 小数点变化的规律是：　 　； （4）已知＝2.154，＝4.642，则＝　 　，﹣＝　 　． 题型七：平方根与立方根的综合运用 1．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根． 2.已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根． 3.已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，求： （1）x、y的值； （2）x2+y2的平方根． 4.已知：2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，b﹣7的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求a﹣b的算术平方根． 5.已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值； （2）求3a+10b+c的平方根． 题型八：平方根立方根的实际应用 1.小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 2.某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径. (1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间? (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)? 3.小明打算用一块面积为400cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为300cm2的长方形的桌面，使它的长和宽的比为3：2，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 4.如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 5．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $