25.1一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过黄金分割雕像、无盖方盒制作、排球邀请赛三个实际问题导入，引导学生从具体情境抽象方程，对比一元一次方程发现未知数最高次数为2的特征，搭建新旧知识联系的学习支架。 其特色在于以真实问题驱动数学建模，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过对比辨析强化对“a≠0”的理解，发展数学思维的推理意识。分层练习结合结构化小结，帮助学生系统掌握知识，教师使用可提升教学效率，学生能体会数学与生活的联系。

25.1 一元二次方程的概念 人教版 九年级数学 上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 2 1. 了解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 3. 能正确指出二次项、一次项、常数项及对应系数 4. 能将非标准形式化为一元二次方程的一般形式 5. 经历从实际问题中抽象出方程的过程，体会数学建模思想 重点与难点 3 教学重点 一元二次方程的概念 及一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 教学难点 从实际问题中建立方程 及对 a≠0 限制条件的理解 情境引入：雕像与黄金分割 4 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。 设雕像全身长 5 m，腰部以下 BC = x m 则腰部以上 AC = (5 - x) m 等量关系：AC : BC = BC : 5 即 BC² = 5AC，代入得 x² = 5(5 - x) 整理得： x² + 5x - 25 = 0 ① 观察与思考 5 方程 ① 与我们学过的一元一次方程有什么不同？ x² + 5x - 25 = 0 只含有一个未知数 x 未知数 x 的最高次数是 2 → 这样的方程叫作一元二次方程 实际问题1：制作无盖方盒 6 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。在四角各切去一个同样大小的正方形，将四周折起制作无盖方盒。若底面积为3600cm²，各角应切去边长为多少的正方形？ 设切去正方形边长为 x cm 盒底长 = (100 - 2x) cm，宽 = (50 - 2x) cm 由底面积 = 3600，列方程： (100 - 2x)(50 - 2x) = 3600 展开整理得：x² - 75x + 350 = 0 ② 实际问题2：排球邀请赛 7 组织排球邀请赛，赛制为单循环（每两支球队之间比赛1场）。计划7天，每天4场，应邀请多少支球队？ 设邀请 x 支球队，每队与其他 (x-1) 队各赛1场 每场比赛被两支球队各算一次 → 需除以2 总场数 =x(x - 1) 由 7×4 = 28 场，列方程： x(x - 1) = 28 整理得：x² - x - 56 = 0 ③ 三个方程的共同点 8 ① x² + 5x - 25 = 0 ② x² - 75x + 350 = 0 ③ x² - x - 56 = 0 思考：这三个方程有什么共同点？ 只含有一个未知数 含有未知数的式子都是整式 未知数的最高次数是 2 一元二次方程的定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 20 一般形式 10 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ax² —— 二次项，a 为二次项系数 bx —— 一次项，b 为一次项系数 c —— 常数项 关键问题：为什么规定 a ≠ 0？ 11 如果 a = 0，方程会变成什么？ a = 0 → 方程变为 bx + c = 0 bx + c = 0 是一元一次方程（最高次数为1） 不再是“二次”方程 因此 a ≠ 0 是保证方程为一元二次方程的前提 注意：b 和 c 可以为 0 一元二次方程的解（根） 12 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 如：方程 x² - x - 56 = 0 当 x = 8 时：64 - 8 - 56 = 0 ∴ x = 8 是方程的根 例题讲解 13 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得 3x² - 3x = 5x + 10 移项，合并同类项，得一般形式： 3x² - 8x - 10 = 0 二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10 化一般形式的步骤 14 1 Step 1 去括号 2 Step 2 移项（所有项移到左边） 3 Step 3 合并同类项 4 Step 4 确认右边为 0 注意：系数要连同符号一起写出 基础练习：化一般形式 15 把下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x² - 1 = 4x (2) 4x² = 81 (3) 4x(x + 2) = 25 (4) (3x - 2)(x + 1) = 5x - 2 基础练习：参考答案 16 (1) 5x² - 4x - 1 = 0，a=5, b=-4, c=-1 (2) 4x² - 81 = 0，a=4, b=0, c=-81 (3) 4x² + 8x - 25 = 0，a=4, b=8, c=-25 (4) 3x² - 4x - 4 = 0，a=3, b=-4, c=-4 提高练习：列方程 17 根据下列问题，列出一元二次方程并化为一般形式： (1) 4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长 设边长为 x，则 4x² = 25 → 4x² - 25 = 0 (2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 设长为 x，则 x(x - 2) = 100 → x² - 2x - 100 = 0 拓展练习：字母系数讨论 18 已知关于 x 的方程 (m² - 4)x² + (m - 2)x + 3 = 0 (1) 当 m 为何值时，它是一元二次方程？ 需 m² - 4 ≠ 0，即 m ≠ ±2 (2) 当 m 为何值时，它是一元一次方程？ 需 m² - 4 = 0 且 m - 2 ≠ 0 即 m = -2 课堂小结 19 一元二次方程的三个特征 ① 一个未知数 ② 整式 ③ 最高次数为2 一般形式 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 建模过程 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化简 课后作业 必做 教材第3页 练习第1题、第2题 选做 已知 (k-1)x² + (k+1)x - 3 = 0， 当 k 为何值时为一元二次方程？一元一次方程？ 答案：(1)∵ ±1 (2)如果方程是一元一次方程，则 -1=0且k+1≠0,∴k=1. $