26.4 实际问题与二次函数 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层递进，覆盖二次函数实际应用全流程，通过问题情境深化模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择/填空）|面积/利润函数关系式建立、最值计算|聚焦单一知识点，如矩形面积公式应用、二次函数配方| |提升层（解答题）|综合应用步骤（列解析式-求最值-检验）|结合喷泉、拱桥等情境，强化几何直观与推理能力| |拓展层（综合实践）|探究性问题与跨情境迁移|通过阅读理解（周长与面积关系）、整数售价利润优化，发展创新意识与应用意识|

新人教版九年级上册 第章 二次函数 实际问题与二次函数 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 二次函数解决实际问题的步骤：设变量→列解析式→确定自变量取值范围→配方求最值→检验并作答。 · 面积最值问题：用周长（或定长线段）表示矩形相邻两边，列出 关于一边长的二次函数再配方。 · 抛物线形实物问题：合理建立坐标系（常以顶点或底部中点为原点），设解析式，用已知点求待定系数。 · 利润问题：总利润（售价进价）销量，销量随售价变化时得到二次函数。 · 求出的最值点必须落在自变量的实际取值范围内，否则需在端点处取最值。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．用长 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长），垂直于墙的一边长为 ，则菜园面积 （）与 （）之间的函数关系式为（　　） ．　　． ．　　． ．二次函数 的最大值是（　　） ．　　．　　．　　． ．矩形周长为，一边长为 ，面积 ，当 时 的最大值为（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，一座抛物线形拱桥的跨度 为 ，拱高 为 ，以顶点 为原点、对称轴为 轴建立坐标系，则拱桥所在抛物线的解析式为（　　） ．　　． ．　　． ．某商品进价为每件元，售价为每件元时，每周可售出件；售价每上涨元，每周少售出件。设售价为每件 元（），每周利润 （元）与 之间的函数关系式为（　　） ． ． ． ． ．抛物线形拱桥以顶点为原点建系后解析式为 ，当水面宽为 时（水面关于 轴对称），水面到拱顶的距离为（　　） ． 　　． 　　． 　　． ．如图，用长 的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃（墙足够长），垂直于墙的两边各长 ，则花圃面积 （）与 （）之间的函数关系式为（　　） ．　　． ．　　． ．某商品利润 （元）与售价 （元）之间的函数关系式为 ，则当售价为（　　）元时利润最大。 ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．矩形周长为，一边长为 ，则面积 与 的函数关系式为 ，当 时，面积最大，最大面积为。 ．二次函数 的最小值为。 ．如图，某喷泉的水流轨迹近似为抛物线 （以喷头 为原点，水流向一侧喷出， 为水平距离， 为高度，单位：），则水流达到的最大高度为 ，水流落地点距喷头的水平距离为 。 ．某商品进价为每件元，售价为每件元时，每天可售出件；售价每上涨元，每天少售出件。设售价为每件 元（），每天利润 （元）与 之间的函数关系式为。 ．抛物线形拱桥以顶点为原点建系后解析式为 （跨度 、拱高 ），当水面宽为 时，水面到拱顶的距离为 。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）用长为 的篱笆围成一个矩形菜园（不靠墙），设矩形的一边长为 。 写出菜园面积 （）与 之间的函数关系式及自变量取值范围； 当 取何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ ．（本题分）如图，某广场喷泉的水流轨迹近似为抛物线 （以喷头 为原点， 为水平距离， 为高度，单位：，水流向一侧喷出）。 求水流达到的最大高度； 求水流落地点距喷头的水平距离； 若以喷头为圆心修建一个圆形水池，要使水流恰好落在水池内（含边缘），水池半径至少是多少米？ ．（本题分）某商品进价为每件元，售价为每件元时，每月可售出件；售价每上涨元，每月少售出件。设售价为每件 元（）。 写出每月利润 （元）与 之间的函数关系式； 当售价为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ ．（本题分）如图，一座抛物线形拱桥的跨度 为 ，拱高（顶点 到水面 的距离）为 ，建立如图所示的平面直角坐标系（ 为原点，对称轴为 轴）。 求该抛物线的解析式； 当水面宽为 时，水面到拱顶的距离是多少？ 一艘宽 、水面以上部分高 的小船，能否从桥洞中央通过？请通过计算说明理由。 ．（本题分）如图，用长为 的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃，垂直于墙的两边各长 （墙足够长，靠墙的一边不用栅栏）。 写出花圃面积 （）与 之间的函数关系式及自变量取值范围； 当 取何值时， 最大？最大面积是多少？ 若墙的可用长度只有 ，则 中的结论还成立吗？请说明理由，并求出此时的最大面积。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读理解】阅读材料，回答问题。 材料：周长一定的矩形，什么时候面积最大？设矩形周长为 ，一边长为 ，则另一边为 ，面积 。配方：。由于 ，所以 ，当且仅当 时取等号，此时另一边也是 ，矩形成为正方形。这就是说：周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 问题： 周长为的矩形，面积最大值是多少？此时矩形的边长是多少？ 周长为 的矩形面积最大值为 ，请直接写出周长为的矩形面积最大值； 材料中"当且仅当 时取等号"这句话说明了配方法中哪个部分的取值特点？ ．（本题分）【综合与实践】某文具店销售一种水性笔，进价为每支元。当售价为每支元时，每天可售出支；售价每上涨元，每天少售出支。设售价为每支 元（ 为整数，）。 写出每天利润 （元）与 之间的函数关系式； 当售价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？ 若要求每天的利润不低于元，且售价尽量低，售价应定为多少元？ 新人教版九年级上册 第章 二次函数 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．； ． ．； ．（即 ） ． 三、解答题 ． ； 时 最大，最大面积 【分析】周长，邻边为；配方求最值。 【详解】解：矩形邻边长为 ， 故 。 解：。 当 时， 取最大值， 即当矩形为边长 的正方形时，菜园面积最大为 。 【评分标准】关系式正确得分，取值范围正确得分（共分）；配方正确得分，结论正确得分（共分）。 ． ； ； 【分析】配方求最大值；令解方程；水池半径须不小于落点到圆心的距离。 【详解】解：。 当 时，水流达到最大高度 。 解：令 ，得 ，即 ， （喷头处）或 。 水流落地点距喷头的水平距离为 。 解：落地点到喷头（圆心）的距离为 ， 故水池半径至少为 时，水流恰好落在水池内（含边缘）。 【评分标准】配方正确得分，最大高度正确得分（共分）；列出方程得分，解出得分（共分）；结论正确并说明理由得分（共分）。 ． ； 时利润最大，最大利润元 【分析】销量；利润每件利润销量；配方求最值。 【详解】解：销量为 件， 。 解： 。 当 时（满足 ）， 取最大值。 即售价元时利润最大，最大利润元。 【评分标准】表示销量正确得分，关系式正确得分（共分）；配方正确得分，结论正确得分（共分）。 ． ； ； 能通过：船边缘 处桥洞高度为 【分析】在抛物线上，设 代入；水面宽即，求；比较船边缘处桥洞高度与船高。 【详解】解：设 。由跨度、拱高，点 在抛物线上， 代入得 。 解析式为 。 解：水面宽 ，即 ，此时 。 水面到拱顶（原点）的距离为 。 解：船宽 ，居中行驶时船边缘对应 ， 该处桥面高度：，即桥洞高 。 小船能从桥洞中央通过。 【评分标准】设出解析式得分，求出及解析式得分（共分）；正确得分；求出船边缘对应桥洞高度得分，比较并得出结论得分（共分）。 ． ； 时 最大为 ； 不成立：底边 得 ，故 ； 在 时取最大值 【分析】三边用栅栏：两边各，底为；配方；墙长限制范围，最值点不在范围内时在端点取最值。 【详解】解：靠墙一边长为 ， 。 解：。 当 时（，需墙长）， 最大为 。 解：不成立。墙长只有 ，需 ，即 ， 故自变量范围为 ，不包含 。 随 在 , 上（对称轴右侧）增大而减小， 时 取最大值：（）。 【评分标准】关系式正确得分，取值范围正确得分（共分）；配方及结论正确得分（共分）；指出不成立并给出新的取值范围得分，求出最大值得分（共分）。 四、综合与实践 ． 最大面积，边长均为（正方形）； ； 完全平方式 ，当且仅当其等于（即）时 取到最大值 【分析】代入材料结论；非负式的性质。 【详解】解：，最大面积 ， 此时 ，矩形为边长的正方形。 解：，最大面积 。 解：说明配方后得到的完全平方式 具有非负性（）， 当且仅当它取（即 ）时， 达到最大值。 【评分标准】最大面积正确得分，边长正确得分（共分）；正确得分；答出"非负性完全平方式取"得分。 ． ； 不是整数，比较 与 ：均为元； （利润元，不低于元且售价最低） 【分析】销量；配方求顶点；顶点不在整数上时比较两侧整数点。 【详解】解：销量为 支， （ 为整数，）。 解：。 顶点 不是整数。比较邻近整数： 时 ； 时 。 售价定为元或元时利润最大，最大利润元。 解：由 ，利润不低于元即 ，结合对称性只有 和 。 售价尽量低，取 。 售价应定为每支元。 【评分标准】表示销量正确得分，关系式正确得分（共分）；配方正确得分，比较整数点得分，结论正确得分（共分）；正确得分。 学科网（北京）股份有限公司 $