26.4 课时1 最值问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“实际问题与二次函数最值”为核心，通过基础巩固、实际应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念理解到模型构建的知识巩固路径，培养数学抽象、运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|自变量范围、配方法、对称轴公式|以选择填空为主，如矩形篱笆问题（题2）直接应用概念，强化运算能力| |提升层|实际意义解释、约束条件|结合利润（题15）、面积（题13）情境，需检验解的合理性，发展应用意识| |综合层|几何图形结合|如矩形窗框面积（题21）、动点问题（题24），综合多知识点，培养几何直观与推理能力|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.4实际问题与二次函数 课时1最值问题 课时目标 1. 能结合实际问题确定自变量的取值范围，理解最值在顶点或端点处取得，掌握配方法 和对称轴公式求最值的方法。 2.能解释最值在实际问题中的意义（如最大利润、最小成本），会检验解的合理性并规 范作答。 3. 能解决含约束条件（如边长限制、周长固定）的最值问题，并能将几何图形面积问题 转化为二次函数最值问题。 课时目录 知识点01：实际问题中自变量取值范围的确定 知识点02：用配方法求二次函数最值 知识点03：用对称轴公式求最值 知识点04：最值在实际问题中的解释 1/14 知识点05：含约束条件的最值问题 知识点06：最值问题与几何图形结合 知识点01：实际问题中自变量取值范围的确定 在实际问题中，自变量的取值必须满足现实条件，不能仅由解析式决定。 常见限制： 几何图形中，边长必须大于0（如矩形长x>0,宽y>0): 受资源限制（如篱笆总长固定，则一边长x需满足0<x<2总长）： 结果需为整数（如商品件数）。 确定范围后，最值需在该范围内求解。 1.(2026浙江·模拟预测)若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点.若二次函数 y=-2x+Cc为常数)在1≤x≤2的图象上有且仅有一-个二倍点，则c的取值范围是（) A.c=4 B.c≥-5 C.-5≤c≤4 D.c24 2.(25-26九年级上·安徽准北期中)某农户用一段长度为20m的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可 超出)，再用总长4m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）.设矩形垂直于旧围墙的一边 长为m,菜园的面积为m ，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是() A.y=-2r2+40x(10<x<20) B.y=-2r2+40x(0≤x<20) c.y=-x+40x(10<x<20) D.y=-2r+40x(0≤x≤20) 3.(24-25九年级上·北京阶段检测)如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一 边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆.设矩形垂直于的一边为x米，面积为y平方米.写出y 与x的函数关系式一，自变量x的取值范围是 教学楼 4.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯阶段检测)把一根长为10m的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长 2/14 为cm,面积为cm ,则y与x的函数关系式为 (写出自变量取值范围). 知识点02：用配方法求二次函数最值 对于二次函数y=ar+br+c(a≠0)，通过配方化为顶点式y=a(x-)'+k: 若a>0,抛物线开口向上，当x=h时，y有最小值k;若h在自变量取值范围内，则最小 值为k,否则在端点处取得最小值。 若a<O,抛物线开口向下，当x=h时，y有最大值k:同理需检验h是否在范围内。 示例：求y=一x2+4x+5(0≤x≤3)的最值。 配方得y=一(x一2)+9，顶点(2,9)在范围内，故x=2时y最大值=9：x=0时y=5,x=3时y =8,最小值为5。 5.(2026甘肃兰州中考真思)已知二次函数y=-x+6xr+1 下列结论正确的是 (填序 号) ①函数图象与'轴的交点坐标是(0，) ②函数图象的对称轴是直线=3； ③当x>3时，'随x的增大而增大；④当x=3时，函数的最大值是10. 6.(25-26八年级下·江苏南通·期末)若关于x的方程ax2+bx+3=0(a>0)的两根之差为2，令 t=14a-b2 则的最大值为 7.(2026四川内江中考真题)在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的 动点，且D0=2a ,则P的最小值为 A D 8.(2026河南平顶山三模)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍， 3/14 那么称该点为“=倍点”，如L,2),（24,（5,22)都是二倍点” ()下列函数图象上只有一个“二倍点”的是一（填序号)： 2 ①y=-x+1:②y=:③y=x2+x+1 Q加知次玉经-++”(，尚为宿黄)的阴我与线= 只有一个交点，且该交点是 “二倍点” ①求二次函数的表达式. ②是否存在一个常数t,使得当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值恰好等于1+4？若存在，请直接写出 t的值；若不存在，请说明理由. 知识点03：用对称轴公式求晶最值 b x=- 利用对称轴公式2a求最值： b X=- 计算对称轴2a; 判断a的符号： (1)若a>0,则2a时 级小值=4ae-h 4a; 若a<0,则2a时e大做=aC- b X=一 (2) 4a 检验对称轴是否在自变量取值范围内，若不在，则最值在离对称轴较近的端点处取得。 该方法与配方法本质相同，但计算更简便。 9(2026陕西渭南二模)二次函数'=+r+-26 (0,8) (b为常数)的图象经过点 ,且对称轴在y轴 左侧，则该二次函数的最小值为() A.4 B.-4 C.7 D.-7 10.(2026江苏宿迁·二模)在平面直角坐标系中，二次函 y=X+mx+m-m(m为常数)的图象经过 点06 ,其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为 4/14 Ⅱ，(2026浙江模拟预测)已知二次函数'=r+4+30 (a为常数且a≠0、 (1)求该二次函数图像的对称轴：若该函数图像经过点 1,-2 ,求a的值： (2)若a>0,当-3≤x≤1时，该函数的最大值为8，求a的值； )在(2)的条件下，设点M(,）和点N(5, 和点 都在该二次函数的图像上，且，在 4 1-1≤x≤3-21（其中0≤1<3）的范围内，求以-的最大值. 12.(2026山东东若三模)如图，在平面直角坐标系中，二次西数”=-+6伽-C的图象与产轴交于点 43,0)和点BL0),与'”销交于点C. A (1)求这个二次函数的表达式： 2)二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点， 求△MCD面积的最大值： 3)点P、点Q分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行 四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 知识点04：最值在实际问题中的解程 最值结果需结合问题背景解释 几何问题：最大面积、最小周长： 经济问题：最大利润、最低成本、最高收入： 运动问题：最大高度、最远距离。 注意：求得的最值可能是小数，需根据题意保留合适精度（如面积保留两位小数）。若结 5/14 果为负数，需判断是否符合实际（如利润为负表示亏损）。 13.(25-26九年级上山东潍坊期末)如图，有一块矩形空地ABCD,学校规划在其内部的一块四边形空 地EFGH上种草坪，其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上，且 AE=AF=CG=CH,己知AD=30m,AB=50m,则草坪面积最大为(). D A.600m2 B.800m2 C.1000m2 D.1200m2 14.(25-26九年级上天津滨海新区阶段检测)如图，从长为2、宽为1的矩形ABCD的较短边AD上找 一点E,过点E剪下两个正方形，它们的边长分别是AE,DE,设AE=x,剪下的两个正方形的面 积之和为y,则当y最小时，x为( D C B 1 3 √2-1 A.2 B.2 C.2 D.2 15.(2026广东佛山~模拟预测)某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每 件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10 件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润Ψ最 大为元 16.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每 天销售量'（千克）与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元， 且不高于80元 6/14 y(千克) 150- 100- 30 80x(元/千克) (I)求出y与x之间的函数关系式： (2)如果该超市销售这种商品每天获得3900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ 3)小滨说：“该超市每天的利润最大为6400元”；小江说：“该超市每天的利润最大为6000元”. 你认为谁说得对？请说明理由. 知识点05：含约束条件的最值问题 约束条件通常表现为多个限制（如“用20m篱笆围矩形，一边靠墙，墙长6m”): 先根据约束条件列出函数解析式，并明确自变量范围（如0<x≤6，且20一2x>0): 求出对称轴，判断顶点是否在约束范围内： 若顶点在范围内，则顶点处取得最值；若不在，则在约束区间的端点处取得最值。 示例：墙长6m,篱笆20n围矩形，设垂直于墙的边长为x,则面积S=x(20一2x)=一2x2+ 20x,由20-2x≤6得x≥7，又x>0,故7≤x<10。 对称轴x=5不在范围内，在x=7时S最大，为7×6=42m。 17.(2026山西吕梁一模)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式 与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即S=√P(p-Q(D-b(p-d ,其中a,b. c表示三角形的三条边长，p=a+b+C 2.现有某社区计划用一段长为16m的篱笆围成一个三角形的绿 化区域，已知这个三角形的一条边长为6m,则围成的三角形绿化区域面积最大为， m2. 18.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)某投资公司调查发现，投资A产品所获利润片（万元）与投资 金额”（万元）之间的关系如图'所示，投资B产品所获利润”（万元）与投资金额”（万元）之间的 关系如图2所示 7/14 2 3 2 12345 图1 图2 ①)分别求出片、”与”之间的函数解析式 (②)若公司计划4B两种产品共投资10万元，请你设计一种投资方案，使所获总利润最大，并求出最 大利润： (3)在(2)的条件下，为确保A产品投资金额不高于4万元，则此时总利润最大为 万元 19.(25-26九年级上·江苏宿迁期末)某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克，据市场 预测，该种水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=60+2x,但保存这批水果 平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天。 ()若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为元/千克，获得的总利润 为元： (②)设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元)与保存时间x (天)之间的函数关系式： )求批发商经营这批水果所能获得的最大利润， 20.(2025·河北石家庄·二模)为保障中学生每天运动一小时，学校开展了丰富多彩的体育活动.其中一 项活动为跳长绳，在跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线.甲乙两同学负责甩绳， 他们之间的水平距离OD为6m,摇绳位置到地面的距离均为lm,当绳子甩到最高处时，最高点C距 离地面2.5m,以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (I)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式： (2)身高为1.70m的小明参加跳长绳，当绳子甩到最高处时，绳子刚好甩过他的头顶上方0.3m,求小明 站的位置与点O的水平距离； 3)学校要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人.某班挑选出身高都为 1.60m的10个同学参加跳绳.跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全， 人与人之间距离至少为0.5m,那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛 (绳子超过头顶)，求左边第一位同学站的位置与点O的水平距离的取值范围. 8/14 知识点06：最值问题与几何图形结合 常见几何最值模型： 矩形面积：周长固定时，正方形面积最大： 三角形面积：底固定时，高最大则面积最大： 图形拼接：如用矩形铁皮做无盖盒子，求最大容积。 解题步骤： 设关键线段长为x: 用x表示相关线段（如宽、高）； 列出面积/体积函数： 确定x的范围（如线段长为正、不超过总长）； 求最值并检验。 示例：用长12cm的铁丝围矩形，设一边长为x,则面积S=x(6一x)=一x2+6x,对称轴x= 3,在0<x<6内，故x=3时S最大值=9c(此时为正方形)。 21.(2025天津和平一模)如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米， 且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y 关于x的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形ABCD的最大面积为8平方米；②y与x之间的函 数关系式为少=-x+4 4,③当=4时，矩形MBCD 的面积最大；④“的值为12.其中正确的结论的 个数是() D E H 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 22。(25-26九年级上山东济南期中)如图，直线=-2x-2与抛物线y=-2x2+1513 1 2x-2交于A、B两 点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标是 9/14 23.(2526九年级上黑龙江佳木斯期末)如图，抛物线y=+x+c交x轴于点 ,0)C3,0),交y 轴于点B. A (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标. 24.(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)某小区业委员会决定把长80m,宽60m的矩形空地建成花园小 广场.如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于 36m,不大于44m.预计划活动区造价60元/m2.绿化区造价50元/m2.设绿化区域较长直角边为 xm m 60m 80m (1)用含x的代数式表示出口区的宽度为 m,绿化区总造价为 元，活动区总造 价为 元 (2)如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程.若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能， 请说明理由？ (3)业委员决定在(2)设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化.在实际施工 中，每天比原计划多绿化11m,结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m, 10/14 课时训练 一、选择题 1.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩 弹簧.己知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度 (cm/s)与弹簧被压缩的长 1 度cm)之间的函数关系式为=一4+x+3,则这个过程中，小球速度的最大值为《) 4 777777777T777757777 A.3.5cm/s B 4cm/s C.4.5cm/s D.5cm/s 2.(25-26九年级上·四川德阳·阶段检测)对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.己知垂美四边形 ABCD的对角线AC、BD满足AC+BD=12,则四边形ABCD的面积最大值是() A.12 B.18 C.20 D.24 3.(25-26九年级上·天津滨海新区·期中)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长为l8m.设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm2,其中AD≥AB, -18米 墙 A D 菜园 有下列结论： ①AB的长可以是14m: ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为l60m; ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162m. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 11/14 4.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，在平面直角坐标系中，点 A(2,4) 在攒物线'=r(a≠0)上。 过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧于点B,点C,D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C, D作x轴的垂线交抛物线于点E,F,则四边形CDFE的周长的最大值为() A.8 B.10 C.25+2 D.85-8 二、填空题 5.(25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm, 动点P从点A开始沿边AB向B以lCm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向 C以2cm/sf P,O .A,B 的速度移动（不与点C重合）·如果分别从同时出发，那么经过_秒，四边 形APQC的面积最小. Q 6,(2026山东德州中考真题）》某水果店单件水果售价片（元）与销售月份满足一次函数关系 y=-2x+21 ，单件水果进价片（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示， 抛物线顶点为63 3》并且经过B,12),则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 元. 12/14 (3,12) (6,3) 7.(25-26九年级上：陕西安康期中)信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产 之一.己知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元罐时，每天可销售60罐，为了促进销售， 商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低 于进价)，则商家降价能获得的最大利润为一元. 8.(25-26九年级上·河北沧州阶段检测)某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售.已知每盒咸鸭蛋进价 为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大 三、解答题 9.(25-26九年级上·陕西安康·期中)在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体 足够长)，在墙角区域用28m长的篱笆围成一个矩形花园.设AB=m. B 0。 D (1)若围成花园的面积为192m2,求x的值. (2)已知在点O处有一棵树，且与墙体AD的距离为6m,与墙体CD的距离为15m,如果在围建花园时， 要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 10.(2026四川雅安·一模)综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷 你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费. 【项目成果】请解答任务1，任务2. 【项目实施】 13/14 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该 款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月 平均增长率. (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销 售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架. ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 14/14 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 课时1最值问题 ▌课时目标 1. 能结合实际问题确定自变量的取值范围，理解最值在顶点或端点处取得，掌握配方法和对称轴公式求最值的方法。 2. 能解释最值在实际问题中的意义（如最大利润、最小成本），会检验解的合理性并规范作答。 3. 能解决含约束条件（如边长限制、周长固定）的最值问题，并能将几何图形面积问题转化为二次函数最值问题。 ▌课时目录 知识点01：实际问题中自变量取值范围的确定 知识点02：用配方法求二次函数最值 知识点03：用对称轴公式求最值 知识点04：最值在实际问题中的解释 知识点05：含约束条件的最值问题 知识点06：最值问题与几何图形结合 ▌知识点01：实际问题中自变量取值范围的确定 在实际问题中，自变量的取值必须满足现实条件，不能仅由解析式决定。 常见限制： 1. 几何图形中，边长必须大于0（如矩形长x＞0，宽y＞0）； 2. 受资源限制（如篱笆总长固定，则一边长x需满足0＜x＜总长）； 3. 结果需为整数（如商品件数）。 确定范围后，最值需在该范围内求解。 1．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数解析式得出其对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时的和抛物线过点时的，最终确定c的取值范围为． 【详解】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点， 如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以． 2．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式______，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可； 【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∴， 解得：； 故答案为：， 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． ▌知识点02：用配方法求二次函数最值 对于二次函数，通过配方化为顶点式： 1. 若a＞0，抛物线开口向上，当x＝h时，y有最小值k；若h在自变量取值范围内，则最小值为k，否则在端点处取得最小值。 2. 若a＜0，抛物线开口向下，当x＝h时，y有最大值k；同理需检验h是否在范围内。 示例：求y＝－x2＋4x＋5（0≤x≤3）的最值。 配方得y＝－(x－2)2＋9，顶点(2,9)在范围内，故x＝2时y最大值＝9；x＝0时y＝5，x＝3时y＝8，最小值为5。 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设关于的方程的两根为，，利用根与系数的关系得出，，结合两根之差为的条件，推导出关于的表达式，代入得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求的最大值即可． 【详解】设关于的方程的两根为，， 由根与系数的关系可得，， 由题意得， 两边平方得， ， ， 整理得， 将代入，得， 是关于的二次函数，二次项系数，开口向下，顶点处取得最大值， 当时，， 的最大值为． 7．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 8．（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． ▌知识点03：用对称轴公式求最值 利用对称轴公式求最值： 1. 计算对称轴； 2. 判断a的符号： (1) 若a＞0，则时； (2) 若a＜0，则时； 3. 检验对称轴是否在自变量取值范围内，若不在，则最值在离对称轴较近的端点处取得。 该方法与配方法本质相同，但计算更简便。 9．（2026·陕西渭南·二模）二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 10．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可． 【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值． 二次函数图象经过点， 将代入解析式得：， 整理得， 解得或． 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为， ， 解得， 因此舍去，得． 将代入二次函数解析式得：， 配方得， 因此该二次函数的最小值为． 11．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（a为常数且） (1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； (2)若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； (3)在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 【答案】(1) 对称轴为直线， (2) (3) 的最大值为 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可； （3）根据增减性，将转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当该函数图像经过点时，则，解得； （2）解：由（1）知抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为， 解得； （3）解：由（2）可知，，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴在对称轴的右侧， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为， ∴的最大值， 设， 则该函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为， 故的最大值为. 12．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)的最大值为． (3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【分析】（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式； （2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出， 要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积； （3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，交于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴要使的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到 最大值； ∴， 整理得：， 由得，， 求得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： ∵点在对称轴上， ∴设点； ∵点在二次函数图象上， ∴设， ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴点； 综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． ▌知识点04：最值在实际问题中的解释 最值结果需结合问题背景解释 1. 几何问题：最大面积、最小周长； 2. 经济问题：最大利润、最低成本、最高收入； 3. 运动问题：最大高度、最远距离。 注意：求得的最值可能是小数，需根据题意保留合适精度（如面积保留两位小数）。若结果为负数，需判断是否符合实际（如利润为负表示亏损）。 13．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一块矩形空地，学校规划在其内部的一块四边形空地上种草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，，则草坪面积最大为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，根据矩形的性质结合图形列出草坪面积的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴种草的面积， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 所以，当，有最大值，最大值为 故选：B． 14．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，从长为2、宽为1的矩形的较短边上找一点E，过点E剪下两个正方形，它们的边长分别是，，设，剪下的两个正方形的面积之和为y，则当y最小时，x为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练使用配方法是解题的关键． 用含的式子表示，运用配方法求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴两个正方形的面积之和为， ∴当时，有最小值． 故选：A ． 15．（2026·广东佛山·模拟预测）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (3)小滨说：“该超市每天的利润最大为元”；小江说：“该超市每天的利润最大为元”．你认为谁说得对？请说明理由． 【答案】(1) (2)该商品的销售单价为元 (3) 小江说的是正确的，理由如下： 设该超市的每日利润为元， ， 且对称轴为， 时取得最大值6000， 该超市每天的利润最大为元， 小江说的是正确的． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元二次方程的求解以及二次函数的最值问题，结合实际销售的取值范围分析是解题关键． （1）通过图像上的两点坐标，利用待定系数法求出销量与单价的一次函数关系式； （2）根据“利润（单价成本）销量”列出方程，求解后结合单价的取值范围确定有效解； （3）构建利润的二次函数表达式，结合二次函数的性质与单价的取值范围，判断利润的最大值． 【详解】（1）解：设函数关系式为 将点、代入得： 解得：， 函数的表达式为； （2）解：由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：该商品的销售单价为元． （3）略 ▌知识点05：含约束条件的最值问题 约束条件通常表现为多个限制（如“用20m篱笆围矩形，一边靠墙，墙长6m”）： 1. 先根据约束条件列出函数解析式，并明确自变量范围（如0＜x≤6，且20－2x＞0）； 2. 求出对称轴，判断顶点是否在约束范围内； 3. 若顶点在范围内，则顶点处取得最值；若不在，则在约束区间的端点处取得最值。 示例：墙长6m，篱笆20m围矩形，设垂直于墙的边长为x，则面积S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x，由20－2x≤6得x≥7，又x＞0，故7≤x＜10。 对称轴x＝5不在范围内，在x＝7时S最大，为7×6＝42m²。 17．（2026·山西吕梁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 【答案】12 【分析】根据题意得，不妨取，则，再利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：根据题意，，则， 不妨取，则，， 三角形的面积， ，解得, 设， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值， 此时，面积S取最大值为． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某投资公司调查发现，投资产品所获利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，投资产品所获利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示． (1)分别求出、与之间的函数解析式； (2)若公司计划两种产品共投资万元，请你设计一种投资方案，使所获总利润最大，并求出最大利润； (3)在（）的条件下，为确保产品投资金额不高于万元，则此时总利润最大为_____万元． 【答案】(1), (2)产品投万元，产品投万元时，利润最大为万元； (3)4 【分析】本题考查一次函数(正比例函数)、二次函数的解析式求解(待定系数法)，以及利用函数性质(二次函数对称轴、一次函数增减性) 解决利润最大化的实际问题． （）根据图象提供的数据，列方程组易求出表达式； （）设投资开发产品的金额为万元，总利润万元，列出利润表达式，运用函数性质解答； （）先根据产品投资金额不高于万元，得出产品投资金额的取值范围，再结合总利润的函数表达式求出最大利润． 【详解】（1）解：设， ∵由图象可知经过点； ∴， 解得：， ∴， ∵的顶点坐标为，且经过， ∴设， 故可得：， 解得：， ∴； （2）解：设投资产品的金额为万元，则投资产品的金额为万元，总利润万元， 则 ， ∵，且， ∴当时，所获总利润最大， 即产品投万元，产品投万元时，利润最大为万元； （3）解：产品投资金额不高于万元， ∴，即， 又∵投资金额不能超过万元， ∴， 因此的取值范围是， 结合()的解析式：， 得，，对称轴为， ∴该函数在时，随的增大而减小， ∵，在这个区间内 随的增大而减小， ∴当时，有最大值， 即 所以此时总利润最大为万元． 19．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某批发商以40元／千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． (1)若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______元/千克，获得的总利润为______元； (2)设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【答案】(1)62，10380 (2)（且x为整数） (3)11920元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）当时，；根据利润=每千克利润×销售数量-损耗10千克×进价，解答即可； （2）保存时间（天）时，售价为（元），根据利润每千克利润销售数量损耗10千克保存天数进价，解答即可； （3）根据二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为， 当时，（元）， 获得利润为：（元）． （2）解：保存时间（天）时，售价为（元）， 故，且 且x为整数． （3）解： ， 又，， 故当时，取得最大值，且最大值为（元）． 20．（2025·河北石家庄·二模）为保障中学生每天运动一小时，学校开展了丰富多彩的体育活动．其中一项活动为跳长绳，在跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．甲乙两同学负责甩绳，他们之间的水平距离为，摇绳位置到地面的距离均为，当绳子甩到最高处时，最高点距离地面，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； (2)身高为的小明参加跳长绳，当绳子甩到最高处时，绳子刚好甩过他的头顶上方，求小明站的位置与点的水平距离； (3)学校要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少为，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学站的位置与点的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)小明站在位置与点的水平距离为或； (3) 【分析】（1）根据题意得出点、点、点的坐标后，代入抛物线的顶点式即可求解函数表达式； （2）代入纵坐标计算对应横坐标，即可得解； （3）通过解一元二次方程确定抛物线满足高度的区间，结合队伍长度确定取值范围． 【详解】（1）解：依题得：，，最高点纵坐标为， ，， 绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线， 点是该抛物线的顶点，横坐标应为， ， 设抛物线解析式为， 将代入可得， 该抛物线解析式为． （2）解：依题得，小明所站位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 解得或， 小明站在位置与点的水平距离为或； （3）解：当时，即， 解得，， 可以站立跳绳的距离范围为， 人队伍的总长度为， 左边第一位同学跑离点的水平距离需满足，， 综合可得，的取值范围是． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用、一元二次方程和二次函数综合，解题关键是熟练掌握抛物线的顶点式求解、利用抛物线对称性求解． ▌知识点06：最值问题与几何图形结合 常见几何最值模型： 1. 矩形面积：周长固定时，正方形面积最大； 2. 三角形面积：底固定时，高最大则面积最大； 3. 图形拼接：如用矩形铁皮做无盖盒子，求最大容积。 解题步骤： 1. 设关键线段长为x； 2. 用x表示相关线段（如宽、高）； 3. 列出面积/体积函数； 4. 确定x的范围（如线段长为正、不超过总长）； 5. 求最值并检验。 示例：用长12cm的铁丝围矩形，设一边长为x，则面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x，对称轴x＝3，在0＜x＜6内，故x＝3时S最大值＝9cm²（此时为正方形）。 21．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 22．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 23．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）连接与对称轴的交点即为P，连接，，再根据直线的解析式与对称轴求解P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，， 此时的周长最小，点P即为所求， 当时， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为 当时， ∴． 24．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于．预计划活动区造价60元/．绿化区造价50元/．设绿化区域较长直角边为． (1)用含的代数式表示出口区的宽度为___________，绿化区总造价为___________元，活动区总造价为___________元 (2)如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能，请说明理由？ (3)业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 【答案】(1)，， (2)所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； (3)原计划每天绿化 【分析】本题考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积． （1）根据图形可得结论； （2）根据面积造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得与的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得的取值范围，业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论； （3）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验． 【详解】（1）解：由题意可得，出口的宽度为； 绿化区直角三角形的较短直角边为， 所以绿化区总造价为元， 所以活动区总造价为元， 故答案为：，，； （2）解：如图， 设工程队总造价元， 由题意可得，， ， ， ， ， 令， 解得，（舍去）， ，对称轴为直线， ∴在时，， 所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程， 当为整数时，所有工程方案如下： ①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； （3）解：在中随的增大而减小， 当时，有最小值， 绿化面积平方米， 设原计划每天绿化，则在实际施工中，每天绿化， 则， 解得：或（舍， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天绿化． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、二次函数的最值，解题关键是正确表示出四边形的面积． 结合垂美四边形的性质可知四边形的面积，设，则四边形的面积，结合二次函数的性质即可得面积最大值． 【详解】解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 3．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 二、填空题 5．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 6．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 8．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 三、解答题 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 10．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为 (2) ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． / 学科网（北京）股份有限公司 $