专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期自救计划（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系建立、空间点坐标确定，向量加减、数乘、数量积的坐标运算，以及向量平行、垂直、模、夹角的坐标表示，构建递进式学习支架。 特色在于分考点系统设计，涵盖六大考点并配套选择、填空、解答题。通过向量垂直坐标关系式推导等问题培养数学思维的逻辑推理能力，用坐标符号精确表达培养数学语言，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习查漏补缺。

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【知识梳理】 1 【考点1：空间直角坐标系】 2 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 3 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 4 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 4 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 5 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 7 【知识梳理】 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3、设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 4、设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 6．（2026·重庆·三模）在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 7．（2026高二·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，作出点. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）向量与共线，则_____. 4．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 7．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知空间向量，，若，则______． 8．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则__________. 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 7．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 5．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 6．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 7．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 8．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【知识梳理】 1 【考点1：空间直角坐标系】 2 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 5 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 8 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 10 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 13 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 17 【知识梳理】 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3、设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 4、设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 4．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 【答案】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是： 坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数 按照这个规律，对称点的坐标为． 6．（2026·重庆·三模）在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 【答案】 【分析】把正四面体补成棱长为的正方体，由、分别在、轴滑动，知原点在以为直径的球面上，最大值为球心到的距离加半径，得到，解出后再由正四面体棱长为，化简求得棱长为. 【详解】如图将正四面体补齐为正方体，设正方体的边长为. 则原点即在以为大圆直径的球上． 如图所示，当为射线与球的外侧交点时，取得最大值1，此时. 正四面体的边长为 7．（2026高二·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，作出点. 【答案】 【分析】方法一：由平移即可求解；方法二：先找到点在在平面上的投影，再确定点的位置；方法三：利用长方体法求解即可. 【详解】方法一：如图所示，从原点出发沿轴正方向平移6个单位长度得到点， 再将沿轴负方向平移2个单位长度得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上平移4个单位长度即得点.    方法二：先确定点在平面上的位置，因为点在轴上的坐标为4，则， 且平行于轴，点M和轴的正半轴在平面的同侧，这样就可确定点的位置. 方法三：以为一个顶点，构造三条棱长分别为6，2，4的长方体，使此长方体在点处的三条棱分别在轴正半轴， 轴负半轴，轴正半轴上，则长方体上与顶点相对的顶点为所求的点. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 2．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 6．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 8．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）向量与共线，则_____. 【答案】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为向量与共线，设，即， 所以，解得，故. 故答案为：. 4．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线则相应坐标成比例，列方程即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 7．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知空间向量，，若，则______． 【答案】 【分析】应用向量加法的坐标运算得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，又， 所以，可得. 故答案为： 8．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则__________. 【答案】3 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即，解得，. 故答案为：. 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 2．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【详解】由题可知，，解得. 故选：A. 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 5．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 7．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 即，解得. 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 5．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 6．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 7．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   2．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 7．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 8．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $