3.2.2 第1课时 奇偶性的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖定义、图象特征、判断及应用，通过观察函数图象对称性导入，引导学生从直观感知过渡到符号语言定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数图象与奇偶性概念。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过图象观察发现对称特征（数学眼光），结合定义法和性质法推理判断（数学思维），如例3分类讨论定义域与f(-x)关系，用表格清晰呈现运算性质（数学语言）。帮助学生深化概念理解，教师可通过典型例题提升教学效率。

第1课时 奇偶性的概念 第三章　3.2.2 <<< 1.了解函数奇偶性的定义并会判断和证明函数的奇偶性.(重点) 2.掌握奇(偶)函数图象的应用.(重点) 3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.(难点) 学习目标 函数的奇偶性的定义 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 问题1 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 问题2 提示　可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 1 定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数的定义域为，如果,都有 ,且 结论 那么函数 就叫做偶函数 那么函数 就叫做奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称（注意是整个定义域，而非一段） 等价形式 或 或 6 若 是非奇非偶函数. 若 既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即 ，，且 关于原点对称. 若 是非奇非偶函数. 若 既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即 ，，且 关于原点对称. 2 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 当时是奇函数；当 时既不是 奇函数也不是偶函数. 反比例函数 奇函数. 二次函数 当时是偶函数；当 时既不是 奇函数也不是偶函数. 9 3 奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设，的定义域分别是， ,在它们的公共定义域上 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 上述表格中不考虑和; 中，需 ， .复合函数的奇偶性可简记为“内偶则偶，内奇同外”. 10 思考辨析 如果一个奇函数的定义域是[a,b],那么a和b满足什么关系? 提示 a+b=0. 例1下列是关于奇函数与偶函数的叙述： ①奇函数、偶函数的定义域必关于原点对称； ②奇函数的图象必过原点； ③偶函数的图象必与 轴相交； ④“函数满足”是“函数 为偶函数”的充要条件； ⑤既是奇函数又是偶函数的函数只有一个：, . 其中正确的个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 12 【解析】 由奇函数、偶函数的定义知其定义域必关于原点对称，①正确. 奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如 ，②错误.偶函数 的图象关于轴对称，但不一定与轴相交，如 ，③错误.若函数 满足，则,则 的定义域关于原点对称， 故 是偶函数； 13 反之则不成立，如是上的偶函数，但当时， ， 无意义，故“函数满足”是“函数 为偶函数”的充分不 必要条件，④错误.函数, 既是奇函数又是偶函数，但是当函 数的定义域改变时，如定义域为,, ,会有无穷多个既是奇函 数又是偶函数的函数，⑤错误.故正确的有1个. 14 例2 ［多选题］给出下列结论,其中正确的是( ) BCD A.若，则 是偶函数 B.若是偶函数，则 C.若，则 不是偶函数 D.若是定义域为的奇函数，则 15 【解析】对任意，满足， 才是偶函数，仅凭两个特殊 的函数值相等不足以判定函数的奇偶性，故A错误. 当是偶函数时，,,因此 成立，故B正确. 若想证明一个函数不是奇函数或偶函数，则可通过举特殊值的方法，只要有一个值 ，使或,就一定能得出 不是奇函数或 偶函数，则由，一定能得出 不是偶函数,故C正确.有下列结 论： 由于是奇函数，且定义域为，所以都有,令 ，得 ,即 ，故D正确. 16 例3 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; 解 函数f(x)的定义域为R,∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; 解 函数f(x)的定义域是R,∀x∈R,-x∈R, 且f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x), ∴f(x)是偶函数. (3)f(x)=; 解 函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)f(x)=. 解 由得x=±2,即该函数的图象由点(-2,0),(2,0)构成,这两个点既关于原点对称,也关于y轴对称, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 例4 [2026辽宁省实验中学月考]定义在上的函数， 满足 ，则下列说法一定正确的是( ) B A.是奇函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D. 是偶函数 【解析】 由函数，均为定义在 上的函数，得函数 的定义域也是.令 ，则 ，即 为偶函数，所以 也是偶函数，即，所以 ， 即是偶函数.对于函数 ,无法判断函数的奇偶性.故选B. 19 例5 [2026广东东莞联考]已知是定义在上的奇函数，是定义在 上 的偶函数，则下列结论一定正确的是( ) D A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是偶函数 【解析】 因为是定义在上的奇函数，是定义在 上的偶函数， 所以， ，所以 为奇函数，故A错误；，所以 为偶 函数，故B错误；，所以 为非 奇非偶函数，故C错误；，故 为 偶函数，故D正确. 20 奇、偶函数的图象及应用 1 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反 之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若 一个函数的图象关于 轴对称，则这个函数是偶函数. （事实上，对于偶函数，由可知 ，因此结合函数图 象的变换也可得知，的图象关于 轴对称） 22 知识剖析 奇、偶函数的图象特征的具体化（1）如果为奇函数，点 在其图象上， 那么点,即点也在 的图象上. （2）如果为偶函数，点在其图象上，那么点 ,即点 也在 的图象上. 23 思考辨析 若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上?若f(x)为偶函数呢? 提示 若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图象上;若f(x)为偶函数, 则点(-x,f(x))一定在其图象上. 例4 下列图象对应的函数中具有奇偶性的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项A中的图象关于原点或 轴均不对称，故排除；选项C中 ,故排除;选项D中的图象对应的函数的定义域不关于原点对称， 不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于 轴对称，其对应的函数是 偶函数. 25 例5 已知函数f(x)在y轴右边的图象如图所示. (1)若f(x)是偶函数,试画出函数f(x)在y轴左边的图象; (2)若f(x)是奇函数,试画出函数f(x)在y轴左边的图象. ① ② 解 (1)依题意,当函数是偶函数时,图象关于y轴对称. 根据f(x)在y轴右侧的图象,作其关于y轴的轴对称图形,可得函数在y轴左侧的图象,如图①. (2)当函数是奇函数时,图象关于原点对称,根据函数在y轴右侧的图象,作其关于原点的中心对称图形即可得到函数在y轴左侧的图象,如图②. ① ② 例6 已知图甲中的图象对应的函数是 ， 则图乙中的图象对应的函数是( ) C A. B. C. D. 28 【解析】 由题图乙知，图象关于 轴对称，对应的函数是偶函数. 对于A，当时，，题图甲在 轴右侧的图象与题图 乙的不相同，不符合，A错误；对于B，时，，题图乙在 轴下方有图象，B错误；对于C，当时，,当 时， ,符合，C正确；对于D，当时，，其图象在 轴 左侧的部分与题图乙的不相同，不符合，D错误. 由题图乙可知，题图甲删去轴右侧的图象，并将 轴左侧的图象翻 折到右侧，且 轴左侧原来的图象保留，即可得到题图乙，故题图乙对应 的函数为即 . 29 例7 (2026·广西南宁市第三十六中学月考)已知是偶函数， 是奇函 数，它们的定义域都是,且它们在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是_______________________________________. 或或 30 【解析】方法1：是偶函数， 是奇函数. 根据奇、偶函数图象的对称性画出,在 上的图象，如图所示. 31 （【小技巧】利用奇、偶函数图象的对称性作出函数的大致图象，使问题的求解直 观、明了，这是我们处理有关不等式问题的常用策略） 由图可知，或 ， 或 , 或 , 或 . 或 可求得其解集是或或 . 32 方法2：根据题图可知，当时，由（，图象位于 轴异侧时即 可）得或，由得 . 当时，，，即，所以 ，即 . 故不等式的解集为或或 . 函数图象的对称性深挖 1 图象关于点成中心对称图形 结论1 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 直观解释 将奇函数的图象先向上平移 个单位长度，可得 的图象，再向右平移个单位长度，可得 的图象，因此函数 的图象关于点 成中心对称图形. 等价条件 函数 为奇函数， 即 , 即 , 即 .#3.3 35 一般结论 #4 在定义域内恒满足的条件 的图象的对称中心 点 点, 点, 36 2 图象关于直线成轴对称图形 结论2 函数的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数. 直观解释 将偶函数的图象向右平移个单位长度，可得 的图象， 因此函数的图象关于直线 成轴对称图形. 等价条件 函数 为偶函数， 即，即 . 37 一般结论 在定义域内恒满足的条件 的图象的对称轴 直线 直线 直线 38 例8 ［多选题］(2026·河南省郑州市第二高级中学期末)对于定义在上的函数 ， 下述结论正确的是( ) AC A.若是奇函数，则的图象关于点 对称 B.若，则的图象关于直线 对称 C.若函数的图象关于直线对称，则 为偶函数 D.函数与函数的图象关于直线 对称 39 【解析】为奇函数，的图象关于原点对称，而的图象是将 的图象向右平移1个单位长度得到的，的图象关于点 对称,故A正确. 令，则由可知， ， 即,其图象不一定关于直线 对称.如图 所示，函数图象不关于直线 对称，故B不正确. 若的图象关于直线 对称，则有 ，即 ,故C正确. 函数的图象为函数 的图象向左平移1个单位长 度得到；函数的图象为函数 的图象向右平移1个单位长度得到. 而的图象与的图象关于轴对称，所以函数 的图象与函数 （注意这是两个函数，与 并不是一个意思）的图象 关于 轴对称,故D不正确. 40 函数奇偶性的判断 类型1 一般函数的奇偶性的判断 例9 判断下列函数的奇偶性： （1） ； 【解析】 函数 （不能先化简函数式，要先判断函数的定义域）的定义 域为且， 定义域不关于原点对称， 该函数既不是奇函数也不是偶 函数. 42 （2） ； 【解析】方法1：（定义法） 函数的定义域为 ，关于原点 对称. ， 函数 是奇函数. 43 方法2：（图象法） 画出图象，如图所示，图象关于原点对称，因此函数 是奇函数. 44 （3） ； 【解析】当时，的定义域为， 为偶函数. 当时，的定义域为，, ， ， ， 即, ,（取值验证即可） 函数 既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数；当 时，函数 为偶函数. 45 （4） . 【解析】的定义域为 ，关于原点对称. 方法1：（定义法） （分子分母同时有理化） , 为奇函数. 46 方法2: , , 为奇函数. 47 方法3：当时， , （若,则,解得 ） 此时 ， 即 . 当时，（【易错点】在利用 判断函数的奇偶性时，要求 ，因此，对于使的自变量的值，需要单独考虑）, 为奇函数. 48 例10 已知, ，则下列结论正确的是( ) D A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是偶函数 D. 是奇函数 49 【解析】对于A， , ，,由于,,所以 既不是奇函数也不是偶函数. 对于B，, , ,由于，，所以 既不是奇函 数也不是偶函数. 对于C，,，定义域不关于原点对称，故 不具 有奇偶性.（只要定义域不关于原点对称，函数就不具备奇偶性） 对于D，,， ,由于 ，所以 是奇函数. 50 类型2 分段函数奇偶性的判断 例11 判断函数 的奇偶性. 对于分段函数奇偶性的判断，首先，要判断函数的定义域是否关于 原点对称；其次，判断函数是否在每一段上都满足或 . 【解析】函数的定义域为 ，关于原点对称. 当时， ， ； （当时，应将代入 ） 当时，， . （当时，应将代入 ） 综上可知，函数 是奇函数． 51 类型3 抽象函数的奇偶性判断 例12 (2026·北京师范大学附属实验中学期中)如果是定义在 上的奇函数，那么下 列函数中，一定为偶函数的是( ) B A. B. C. D. 52 【解析】方法1：（定义法） 是奇函数， ．令 . 对于A，， 是奇函数． 对于B， ， 是偶函数． 对于C， ， 由于, , 既不是奇函数也不是偶函数. 对于D，， 是奇函数． 53 方法2：（性质法） 对于A，函数为奇函数，为奇函数,由“奇奇 奇”,可 得 为奇函数.（性质法能快速判断函数奇偶性） 对于B，由“奇×奇偶”,可得 为偶函数. 对于C，函数为偶函数，由“奇偶”不能确定奇偶性,可得 一定为 偶函数是不正确的. 对于D，由“奇×偶奇”,可得 为奇函数. 例13（1）已知函数,，若,，都有 ，求证： 为奇函数. 【解析】令，则, . 令,,则，（对， 适当赋值，使所给的式子出 现及 ，从而可寻找其关系） ， 是奇函数. 55 （2）已知是定义在上的函数，设, ，试判断 与的奇偶性；根据，与 的关系，你能猜想出什么样的结论？ 【解析】 , , 是偶函数， 是奇函数.（直接用定义判断） ，由此可得一般结论：如果函数 的 定义域关于原点对称，那么函数 就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的 和,即 . 56 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数的奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 课堂小结 随堂演练 题型一 函数奇偶性概念的理解及判断 1.（2026江苏淮安期末）对于定义在上的函数，“是偶函数”是“ ” 的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 59 【解析】 函数的定义域为，若函数为偶函数，则 ， 即“是偶函数” “ ”; 若，不妨取，则 ， 由于，此时函数 不是偶函数， 即“是偶函数” “ ”， 因此“是偶函数”是“ ”的充分不必要条件. 60 2.已知函数 ,则下列函数中为奇函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 . ,定义域为 ,为非奇非偶函数； , 定义域为 ,为非奇非偶函数； ,为非奇非偶函数； ,为奇函数. 61 3.（2026重庆检测）下列函数中，既是奇函数又在区间 上为增函数的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 函数在区间 上为减函数； 函数图象的对称轴为直线 ，是非奇非偶函数； 令，函数的定义域为 ， ,， ，所以函数 为奇函数，因为和在上均为增函数，所以 在 上为增函数； 当时，，此时函数在 上为减函数. 62 4.（2026浙江宁波期末）已知函数的定义域为 ，则下列函数中一定为奇函数的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为，所以 ，满足 偶函数定义，所以 是偶函数，不是奇函数. 因为 ，所以 ，满足奇函数定义，所以 是奇函数. 63 因为 ，所以 ，满足偶函数定义，所以 是偶函数，不是奇函数. 因为 ，所以 ，满足偶函数定义，所以 是偶函数，不是奇函数. 5.判断下列函数的奇偶性. 【答案】 先判断函数的定义域,再结合函数奇偶性的定义判断. （1） ； （1） 定义域为 ,关于原点对称,（易忽略定义域） ,则 为奇函数. （2） ； 【答案】 对于函数,因为所以 , 所以函数的定义域为,,关于原点对称.因为对定义域内的每一个,都有 , 所以, , 所以 既是奇函数又是偶函数. . . 65 （3） ； 【答案】 因为所以,即函数的定义域为 ,不关于原点对称, 故 既不是奇函数也不是偶函数. 66 （4） . 【答案】 由可得,且 , 所以函数的定义域为且 ,（判断函数的奇偶性时,首先要判断定义域 是否关于原点对称） 关于原点对称，所以 （由定义域去绝对值）. 因为 , 所以函数 是奇函数. . . . . 67 题型二 奇、偶函数的图象特征 6.（2026湖南衡阳期末）函数 的部分图象可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为，所以，所以 的图 象关于原点中心对称，排除C，D；当时， ，排除B. 68 7. （2025四川成都外国语学校月考）设奇函数 的定义域为,若当时, 的图象如图所示,则 不等式 的解集是( ) C A. B. C. D. 【解析】 根据图象,当时,由得 . 因为函数 为奇函数, 所以当时,,要使,即,则,所以 ,解得 . 综上可得,不等式的解集是 . 69 图象法.因为的定义域为,且 为 奇函数,所以 的图象关于原点对称,由题图可画出 的图象,如图所示,由图可知 的解集为 . 70 8.(2026·广东省广州中学期中)函数 的图象为( ) D A. B. C. D. 【解析】函数的定义域为 . ，该函数为奇函数，（【另解】也可由“ 为 偶函数，为奇函数，则 为奇函数”判断）故A错误. 当时，，则在 上单调递增， 当时，，则在 上单调递减，故B，C错误，D正确． 71 9.[2026甘肃多校联考]已知函数的图象与函数 的图象 关于轴对称，则 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 72 【解析】 由的图象与的图象关于 轴对称得 ，其定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，故排除B，D. 又时，,由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，在上单调递增，所以在 上单调递 增，在 上单调递减，C错误.故选A. 73 $