第一章 《特殊平行四边形》 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九上《特殊平行四边形》单元复习卷，聚焦矩形、菱形、正方形性质与判定，通过基础辨析与综合证明题，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形外角和、矩形全等判定（如3题）|结合图形变换考查性质应用| |填空题|6/18|正方形判定（11题）、菱形面积（13题）|设置开放条件强化概念理解| |解答题|8/72|菱形判定（24题）、矩形与平行四边形综合（19题）|动态问题（7题动点求最值）与多图形结合（23题菱形矩形综合），突出推理与应用|

第一章 《特殊平行四边形》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列命题正确的是(　　) A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形 2． 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　） A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO＝FO C．AE＝CF D．EF⊥BD 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5． 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长为(　　) A．4 B．5 C．8 D．20 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点，于点，若 ，，则EF的最小值为 (　　) A．3 B．2 C． D． 8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点，点 是边AD 的中点，点 在对角线AC 上，且 ，连接EF，若，则EF 的长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．3 9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 10．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知在四边形ABCD中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形ABCD为正方形，则添加的条件可以是　 　．（添加一个即可） 12．四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO=CO，请添加一个适当的条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可） 13．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　． 14．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°. 15．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　. 16．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线AD交 BC于点 D，DE∥AB，DF∥AC. （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若AD=2，请求出四边形AFDE 的面积. 19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过对角线BD的中点O的线段分别交AB，CD边于点E，F. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当四边形DEBF 是菱形时，求线段DE的长. 20．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，. 交AC于点E， 交AC于点 F. （1） 求证： （2） 若AC平分. ，求BD的长. 21．如图，在▱ABCD中， AC， BD相交于点O， E、F分别是OA、OC的中点. （1）求证： BE =DF. （2）连接DE，BF，已知　 　(从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号)，请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论. 条件①： AC =2BD； 条件②： AB=BC. 22．如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BE∥AC交 DC的延长线于点 E. （1）求证： BD=BE； （2）若∠DBC=30°， BO=4，求 AD的长. 23． 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点 P，连接OP. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=12， BD=16，求OP的长. 24．如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误； 选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误； 选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确； 选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。 故答案为： 【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠ADC=180°-∠A=140°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDC=∠ADB=∠ADC=70°. 故答案为：D . 【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC，AD∥BC ∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED A：∵O为矩形ABCD两条对角线的交点 ∴OB=OD 在△BOF和△DOE中 ∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意； B：在△BOF和△DOE中 ∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意； C：在△BOF和△DOE中 ∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意； D：∵EF⊥BD ∴∠BOF=∠DOE=90° 不能判定△BOF≌△DOE(AAS)，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据矩形性质可得AD=BC，AD∥BC，则∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，再根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O， ∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， 故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确. 故答案为：C. 【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在菱形中，，， ∴AC=2OA=12，， 解得BD=8， ∵于点， ∴在Rt△BHD中，OH=BD=4. 故答案为：A。 【分析】本题先根据菱形的对角线互相垂直平分得出AC=2OA=12，然后列出菱形的面积计算公式即可求出BD=8，最后放到Rt△BHD中，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可计算出OH的长度。 6．【答案】B 【解析】【解答】∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB=AD=BC=CD， ∴AD=10， ∵H为AD中点，∠AOD=90°， ∴OH==5， 故答案为：B. 【分析】 先根据菱形周长求出边长，再利用菱形对角线互相平分的性质确定O为BD中点，结合H为AD中点，利用三角形中位线定理求出OH的长度. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， ∴ 连接OP ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∴四边形OEPF是矩形 ∴EF=OP 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小 ∵ ∴ ∴EF的最小值为 故答案为：C 【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8 ∴BD=AC=8 ∴ ∵点是边AD 的中点， ∴点F为AO的中点 ∴ 故答案为：B 【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，，再根据三角形中位线定理即可求出答案. 9．【答案】C 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 故答案为：B． 【分析】 由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积. 11．【答案】 【解析】【解答】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 故答案为：. 【分析】先根据得到四边形为矩形，再根据正方形的判定定理添加条件即可． 12．【答案】DO=BO（答案不唯一） 【解析】【解答】解：添加条件即可， ，， 四边形 是平行四边形， 四边形 的对角线互相垂直， 平行四边形 是菱形 故可添加为． 故答案为：（答案不唯一） . 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 13．【答案】6 【解析】【解答】解：过点作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案. 14．【答案】75 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠D=∠B=90° ∵△AEF为等边三角形 ∴AF=AE，∠FAE=60° 在Rt△ADF和Rt△ABE中， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE ∴ ∴∠AEB=180°-90°-15°=75° 故答案为：75 【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 15．【答案】9 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形， ∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO， ∴∠MOB=∠NOC， ∴△OBM≌△OCN， ∴S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25， ∵S1=16， ∴S2=25-16=9， 故答案为：9. 【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，∠ACB=45°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°， ∴。 故答案为： ． 【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。 17．【答案】（1）证明：， ． 在中，点是的中点， ． 同理． ， （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点，，是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案. 18．【答案】（1）解：四边形AFDE 是正方形， 理由如下： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE 是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形 AFDE 是菱形. ∵∠BAC=90°， ∴四边形是AFDE 正方形. （2）解：由(1)知四边形AFDE 是正方形， ∴AE2=2， ∴四边形AFDE 的面积为2. 【解析】【分析】(1)先证明四边形AFDE是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出∠EDA=∠EAD，则可得到AE=DE，据此可得结论； (2)由(1)知四边形AFDE 是正方形，再根据正方形面积公式即可求解. 19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， O是BD的中点， ∴∠A=90°， AD=BC=4， AB∥DC， OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 又∵∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)， ∴EO=FO， 又∵OB=OD， ∴四边形DEBF 是平行四边形； （2）解：当四边形DEBF是菱形时， BE=DE=DF， 设BE=x，则DE=x， AE=AB-BE=6-x， 在Rt△ADE中， 解得： ∴即菱形的边长为 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质利用ASA得到△BOE≌△DOF，即可得到EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质得到 BE=DE=DF，设BE=x，根据勾股定理列方程求出x的值解答即可. 20．【答案】（1）解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCA， ∵BE⊥BA，DF⊥DC ∴∠ABE=∠CDF=90°， 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE ≌△CDF（ASA） （2）解：∵AC平分∠DAB，得∠DAC=∠BAC， 又∵∠BAC=∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ∵∠DAB=2∠DAC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=12. 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等，推导出角相等和边相等，从而构造全等条件，进而利用ASA定理即可证明； (2)根据“对角线平分一组对角’判定四边形ABCD为菱形，进而利用菱形的性质，可得△ABD是等边三角形，进而即可求解. 21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD AB∥CD OA=OC ∴∠BAE =∠DCF E、F 分别是OA、OC 的中点， ∴ 在△ABE 和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴ （2）① 【解析】【解答】（2）解： 连接DE、BF， 选择条件，四边形DEBF 是矩形； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC， E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴EF =BD ∴四边形DEBF是矩形； 选择条件②，四边形DEBF 是菱形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， AB =BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ∴四边形DEBF是菱形. 【分析】（1）由平行四边形的性质，利用证明，根据对应边相等证明结论即可； （2）若选择①，先根据对角线互相平分得到四边形是平行四边形，得到，即可证明结论；若选择②，先得到四边形是平行四边形，然后哦推理得到，证明结论即可． 22．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD， AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形 ABEC是平行四边形， ∴AC=BE， ∴BD=BE； （2）解：∵在矩形 ABCD中， OB=4， ∠BCD=90°， ∴BD=2BO=8=AC， ∵∠DBC=30°， 【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，然后得到是平行四边形，即可得到，等量代换得到结论即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得的长，再根据角的直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理解答即可． 23．【答案】（1）证明：在▱ABCD中， AD∥BC， ∴∠DAC =∠ACB ， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC =∠BAC ， ∴∠ACB =∠BAC ， ∴AB =BC ， ∴四边形ABCD 是菱形； （2）解：DP∥AC ， CP∥BD， ∴四边形OCPD 是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD =90°， ∴四边形OCPD 是矩形， ∴OP = CD ， 在ABCD中， 在Rt△OCD中， ∴OP = CD =10. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，利用等角对等边得到AB =BC，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到是矩形，即可得到OP=CD，根据勾股定理求出CD的长解答即可． 24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解： 如图，过点C作交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）由大平行四边形ABCD得DF∥AE；结合EF∥AD，两组对边平行，先证AEFD是平行四边形；DE平分∠ADC，得∠ADE=∠EDF；DF∥AE推出内错角∠EDF=∠AED，等量代换得∠ADE=∠AED；等角对等边，得到邻边AD=AE；平行四边形 + 一组邻边相等，判定菱形. （2）平行四边形ABCD，得AB=DC=6，BC=AD=4，AD∥BC；延长AB，作CG⊥AG，由平行线同位角得∠CBG=∠BAD=60∘；Rt△CBG中∠BCG=30∘，求出BG=2，勾股算出高CG=；计算AG=AB+BG=8；在Rt△ACG中再次使用勾股定理，算出AC并化简二次根式. 学科网（北京）股份有限公司 $