第一章 特殊平行四边形 单元自测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学《特殊平行四边形》单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查菱形、矩形、正方形性质判定及动态、折叠等综合问题，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊平行四边形性质判定、动态问题|第3题结合正方形与直角三角形斜边中线，考查空间观念| |填空题|6/18|菱形实际应用、矩形运动、折叠问题|第15题折叠问题，考查几何直观与推理能力| |解答题|7/72|证明、计算、新定义“准菱形”、坐标系动态问题|第21题新定义“准菱形”及23题坐标系动态菱形，体现创新意识与模型观念|

第一章《特殊平行四边形》测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若且，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．如果，则四边形是矩形 2．如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任意一点（点不与点重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 4．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 6．如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 7．若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，则的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 12．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 13．已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 14．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为___________ 15．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 16．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．    若，，则长为______ 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：点A为的中点； (2)若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 18．（8分）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 19．（10分）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 20．（10分）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 21．（12分）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若 ，，，请直接写出四边形的面积． 22．（12分）如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 23．（14分）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 参考答案 一、选择题 1．B 解：，， 四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 2．B 解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵菱形的对角线长分别为和， ∴， ∴． 3．A 解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 4．B 解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．C 解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 6．A 解：如图，连接，作． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵E为中点， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设，则 ∵将沿翻折使点对应点落在边上， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 7．D 解：∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．A 解：延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故选：A． 9．B 解：如图，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使得的值最大，则需的值最小， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在的延长线上， ∴点在边上运动的过程中，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最大值为． 10．B 解：∵将纸片沿直线折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵与都是矩形的对边的一部分， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∵为菱形的对角线， ∴， ∴只有时，平分，故②错误； 点H与点A重合时，最小，如图所示，过点F作于M，则， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 点G与点D重合时，点H与点M重合，最大，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴当点G与点D重合时，，即菱形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的取值范围为，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中， ∴， 则， 由勾股定理得，，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个． 故选：B． 二、填空题 11．30 解：如图，连接、交于点O， ∵木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成， ∴挂钩A，E之间的距离， ∵菱形， ∴，，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴挂钩A，E之间的距离． 12． 解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 13．或 解：分两种情况： ①点F靠近点A时，过点F作于G， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 是的中点， ， ， 在中，； ②点F靠近点B时，过点F作于G， 同理可得，，， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 14．96 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； 如图，设和的垂直平分线交于点，连接、、， 则， ∴，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴的值为96． 故答案为：96． 15． 解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由题意得，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 在中， ， ∵是的中点， ∴， 如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， 解得， 由题意得，， 在中， ， ∵，且， ∴， ∴． 16．1 解：∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 如图，标记点，    ∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ ∵由（1）得，，四边形是菱形， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵、、、依次有公共边， ∴、、、是边长相等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 17．（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即A为的中点; （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18．（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 19．（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 20．（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 21．（1）解：如图2所示，四边形即为所求； （2）证明：①∵，， ∴垂直平分 ∴，， ∵， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图，取的中点，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴菱形中，， ∴菱形的面积为：． 22．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不会发生变化，，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，则， 由（）知，， ∴ ， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，为； （3）解： ，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形 、、 、、都是矩形， ∴，，，，， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴． 23．（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $