第五章 二次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第五章二次函数单元测试卷，分A、B卷（100+50分），全面覆盖二次函数图像、性质、平移及应用，通过基础辨析、中档综合、创新应用梯度设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|图像过原点、对称轴、顶点式|基础概念辨析（如第3题顶点式转化）| |填空题|10题40分|顶点坐标、最值应用、增减性|结合实际情境（如第11题矩形面积最值）| |解答题|8题78分|解析式求解、几何综合、动态问题|综合考查模型意识（如第18题周长最小化）|

第五章 二次函数 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y C．y＝2x D．y＝﹣2x2+x﹣7 2．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2 3．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2 4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 5．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3 7．如图，下面是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，则下列结论中，正确的个数是（　　） ①2（a+1）＞2；②4a﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；④9a﹣3b+c＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是　　 ． 10．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为　　 ． 11．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　　 cm2． 12．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x　　 时，y随x的增大而减小． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y于点B、C，则BC的长为　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数． （1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x．求该抛物线的函数解析式； 15．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长． 16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标． （2）求△EMF与△BNF的面积之比． 17．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线． （1）求m、n的值； （2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB＝1：5，求一次函数的表达式． 18．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝　　 ． 20．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________． 21．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　　 ． 22．当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x2﹣2x+3的函数值相等，当x＝m+n时，函数y＝x2﹣2x+3的值为　　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式． （2）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 25．如图所示，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F． （1）求图象F所表示的抛物线的解析式： （2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式． 26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）． 参考答案 第五章 二次函数 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y C．y＝2x D．y＝﹣2x2+x﹣7 【解答】解：A、当x＝0时，y＝3，不经过原点，故本选项错误； B、反比例函数，不经过原点，故本选项错误； C、当x＝0时，y＝0，经过原点，故本选项正确； D、当x＝0时，y＝﹣7，不经过原点，故本选项错误； 故选：C． 2．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2 【解答】解：二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x2． 故选：D． 3．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2 【解答】解：y＝x2﹣2x+3， ＝（x2﹣2x+1）+2， ＝（x﹣1）2+2． 故选：D． 4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C． 5．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h， ∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小， ∴x＝h＜4． 故选：D． 6．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3 【解答】解：∵将抛物线y＝x2向上平移3个单位再向右平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3． 故选：B． 7．如图，下面是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，则下列结论中，正确的个数是（　　） ①2（a+1）＞2；②4a﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；④9a﹣3b+c＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴a＜0， ∴2a＜0， ∴2a+2＜2， 即2（a+1）＜2，∴①错误； ∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0），则当x＝﹣2时，y＞0， 把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确； ∵函数和x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，∴③正确； ∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0）， ∴另一个交点坐标是（﹣3，0）， 把x＝﹣3代入y＝ax2+bx+c得：y＝9a﹣3b+c＝0，∴④正确； 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【解答】解：过点C作CA⊥y， ∵抛物线y（x2﹣4x）（x2﹣4x+4）﹣2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点坐标为C（2，﹣2）， 由题意可得，x轴上方阴影部分与x轴下方线段AC与y轴组成的空白部分相同， 故对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是　（1，2）　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 10．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为　直线x＝2　 ． 【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同， ∴这两点一定关于对称轴对称， ∴对称轴是：x2． 故答案为：直线x＝2． 11．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　64　 cm2． 【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm． 则矩形的面积S＝x（16﹣x），即S＝﹣x2+16x， 当x8时，S有最大值是：64． 故答案为：64． 12．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x　≤2　 时，y随x的增大而减小． 【解答】解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1， ∵a＞0， ∴开口向上， 由于函数的对称轴为x＝2， 当x≤2时，y的值随着x的值增大而减小； 当x≥2时，y的值随着x的值增大而增大． 故答案为：≤2． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y于点B、C，则BC的长为　6　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，3）． 当y＝3时，3， 解得x＝±3， ∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）， ∴BC＝3﹣（﹣3）＝6． 故答案为6． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数． （1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x．求该抛物线的函数解析式； 【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m， ∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0， ∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）解：①∵x， ∴m＝2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6； 15．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵点E（2，m）在抛物线上， ∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3， ∴E（2，﹣3）， ∴BE， ∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点， ∴FH是三角形ABE的中位线， ∴FHBE． 16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标． （2）求△EMF与△BNF的面积之比． 【解答】解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0， 解得：c＝3， ∴y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点M（1，4）； （2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点B（3，0）， ∴EM＝1，BN＝2， ∵EM∥BN， ∴△EMF∽△BNF， ∴（）2＝（）2． 17．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线． （1）求m、n的值； （2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB＝1：5，求一次函数的表达式． 【解答】解：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线， ∴1， ∴m＝2， ∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1）， ∴9﹣3m+n＝1，得出n＝3m﹣8． ∴n＝3m﹣8＝﹣2； （2）∵m＝2，n＝﹣2， ∴二次函数为y＝x2+2x﹣2， 作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD， ∴， ∵P（﹣3，1）， ∴PC＝1， ∵PA：PB＝1：5， ∴， ∴BD＝6， ∴B的纵坐标为6， 代入二次函数为y＝x2+2x﹣2得，6＝x2+2x﹣2， 解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去）， ∴B（2，6）， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为y＝x+4． 18．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得b＝4，c＝3， ∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3； （2）∵点A与点C关于x＝2对称， ∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0）， y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3）， ∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b′， ， 解得，k＝﹣1，b′＝3， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1） ∴点P的坐标为：（2，1）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝　﹣2　 ． 【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得： ， ①+②得：2a+2c＝﹣4， 则a+c＝﹣2； 故答案为：﹣2． 20．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ． 【解答】解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得： y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15， ∵5﹣43＜15， 所以y3＞y1＞y2． 故答案为y3＞y1＞y2． 21．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　6　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2， ∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0， 解得 x＝2或x＝﹣1 故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0）， ∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6． ∴当x＝1时，C最大值＝6， 即：四边形OAPB周长的最大值为6． 故答案为：6． 22．当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x2﹣2x+3的函数值相等，当x＝m+n时，函数y＝x2﹣2x+3的值为　3　 ． 【解答】解：∵当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的函数值相等， ∴以m、n为横坐标的点关于直线x＝1对称，则1， ∴m+n＝2， ∵x＝m+n， ∴x＝2，函数y＝4﹣4+3＝3． 故答案为3． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　1　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD＝AC， 而AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为1． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式． （2）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点， ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）根据题意得： ， 解得：，， ∴D（4，5）， 对于直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴F（0，1）， 对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）， ∴EF＝4， 过点D作DM⊥y轴于点M． ∴S△DEFEF•DM＝8． 25．如图所示，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F． （1）求图象F所表示的抛物线的解析式： （2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x＝﹣2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F， ∴图象F所表示的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1﹣2）2+2，即y＝﹣2（x﹣1）2+2； （2）∵y＝﹣2（x﹣1）2+2， ∴顶点C的坐标为（1，2）． 当y＝0时，﹣2（x﹣1）2+2＝0， 解得x1＝0（不合题意舍去），x2＝2， ∴点B的坐标为（2，0）． 设A点坐标为（0，y），则y＜0． ∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍， ∴﹣y＝2×2，解得y＝﹣4， ∴A点坐标为（0，﹣4）． 设AB所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意，得， 解得， ∴AB所在直线的解析式为y＝2x﹣4． 26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）， ∴， 解得， 所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2； （3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴PP′＝1， 阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积， 平行四边形A′APP′的面积＝1×2＝2， ∴阴影部分的面积＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $