第三章 图形的相似（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册图形的相似，通过杠杆原理、凸透镜成像等生活情境及动态动点问题设计，实现基础巩固与培优提升，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似三角形判定|结合几何图形考查基础概念，如第3题平行线分线段成比例| |填空题|6/18|位似变换、相似性质|第15题以凸透镜成像为情境，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|8/72|相似证明、动态相似、实际应用|第23题动点相似问题，第20题古塔测量应用题，培养推理能力与应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 3．如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 5．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 6．已知，且相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，相似比为，相似三角形面积比为相似比的平方， ∴与的面积比为． 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 8．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】 D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 12．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 13．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质，先由面积比求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得出结果即可． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． 14．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 15．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 【答案】 20 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 16．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】 2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（6分）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】 (1) 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ． 20．（8分）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把绕点逆时针方向旋转得到； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）的面积为． 22．（10分）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质可得，再根结合已知条件即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ，即，解得：． 23．（12分）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，且相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形和相似，则________．      12．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 13．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 14．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 15．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 16．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（6分）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 19．（8分）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 20．（8分）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 22．（10分）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（12分）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，且相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形和相似，则________．      12．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 13．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 14．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 15．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 16．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（6分）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 19．（8分）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 20．（8分）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 22．（10分）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（12分）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章图形的相似培优冲刺（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 4 6 7 10 D C D C C B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.81° 12.6 13.2:5 14.(4,) 15.20 4W10-8 16.2或3 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【解析】(1) 证明：，DEI AC,EFI‖AB, ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, .△BDE∽△EFC:(3分) AF 1 (2)解：FC2,EF‖AB, BE AF 1 ·ECFC2' BE-1BC 3 BC=6, :E-x6-2.(6分) 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(6分) 【解析】(1) 证明：：DEIAC,EF I AB .∠B=∠CEF,LBED=∠C, 在△BDE和△EFC中， I∠B=∠CEF ∠BED=∠C, :.△BDEn△EFC;(3分) AF2 (2)解：℉C3, CF3 ·AC5, EF‖AB .△EFC∽△BAC」 EC CF 3 BC AC 5' .BC=20, EC 3 .205 .EC=12, BE=BC-EC=20-12=8.(6分) 19.(8分) 【解析】() 证明：AD=AE,∠DAE=40°， ∠ADE-180°，40=70°. 2 ∴.∠ADB=180°-70°=110°， 又：∠BAC=110° 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB=∠BAC, 又∠ABD=∠CBA, ∴△ABD~△CBA. (4分) B D E (2)解：：△ABD∽aCBA, AB BD √3_BD .CBBA,即4V3, (8分) 20.(8分) 【解析】解：设AB=xm,BD=m, .EF =2m,PF =4m, PB=PF+FD+BD=4+17.5+y=(21.5+y)m :EF II AB :△EFP∽△ABP, EF PF ABPB· 2 4 x21.5+y, CD=2m Do=3m :QB=OD+DB-(3+y)m .CDI AB 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△CDQ∽△ABQ CD DO ABBQ· 23 -= x3+y' 4 3+y21.5+y 解得y=52.5(检验成立)， 23 x3+52.5 解得x=37(检验成立). 答：塔的高度AB为37米.(8分) 21.(10分) △OAB 【解析】(1)如图， 即为所求(3分) △OAB, (2)如图， 即为所求 y米 B -872543220245(6分) 2 (3)△04，B,的面积为2×6×4=12.(10分) 22.(10分) 【解析】(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,AD∥BC, 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADF=∠DEC, ,∠AFD=∠C, .△ADF∽△DEC;(4分) (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， ..CD=AB=8. .△ADF∽△DEC, AD ED 6V3 ED ÷AFDC,即4W38,解得：DE=12.(10分) 23.(12分) 【解析】(1)解：由题意得AP=4,CQ=2t, 则CP=20-4t, 0r0的面架为S-0Pxc0×020-40x2=2-4r051s列，4分) (2)解：由题意得AP=4,CQ=2t, 则CP=20-4t, 当t=3秒时，CP=20-4t=8cm,CQ=21=6cm 在CP0中，由勾股定理符P0-CP+C四=+6=10cm,(8分) (3)解：由题意得AP=41,CQ=21、 则CP=20-4t, ·AC-20cm,BC=15cm CP CO ∴.①当RtACPO∽RIACAB时，CACB 20-4t_21 即2015 解得1=3秒： 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP CO ②当RIACPORIACBA时，CBCA, 20-4t2t 即15 20 40 解得1=秒. 40 ∴1=3秒或=i秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与。ABC相似.(12分) 24. (12分) 【解折】(1)解：(1)解方程-18x+72=0,即x-12(x-6)=0 即x-12=0或x-6=0, x1=12,x2=6 解得： 又：0A>0C, ∴0A=12,0C=6, 4的坐标是20.C的型标是60。（3分) c解：08-04 OB=16,则B的坐标是Q,16) AB=VOA+0B2=V122+16=20 .BE=5. ∴AE=AB-BE=15 过点E作EF⊥x轴于点F. 则△AEF∽△ABO .AF-EF AE OA OB AB ·AF=EF15 12-1620, ∴.AF=9,EF=12 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则OF=12-9=3,则点E的坐标是 3,12) 设直线CD的解析式 y=c+b(k≠0) C(-6,0),E(3,12) k4 3 「-6k+b=0 解得： 3k+b=12 b=8 4 则直线CD的解析式是y=3x+8, (7分) (3)解：当x=0时，y=8, 即OD=8」 .CD=V0C2+0D2=V6+82=10 OF=3,0C=6」 ∴.CF=OC+OF=9 ·EF=12, :.CE=VCF2+EF2=V92+122=15 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，0)，则PC=p+6, CD OC ①当△CODn△CEP时，CP=CE, 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 106 即p+615: 解得：p=19 19,0) 则点P的坐标是 OC_CD ②当△CODn△CPE时， CP CE' 610 则p+615 解得：p=3, 则点P的坐标是 3,0) 综上可知，点P的坐标是 9,0)和B,0 ,12分) 8/8