第三章 图形的相似 能力提优测试卷-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 第三章能力提优测试卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 正确填涂 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 涂样 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、 要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] I11I1II11111IIl111I11111111 第二部分非选择题（共90分）》 二、填空题 11 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 16. -L 16题图 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. B D C 18题图 19. A M-C G 19题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20: 20题图 21. 21题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. R 22题图① 22题图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23 ■ CD 23题图① C D 23题图② 色 检 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效第三章 图形的相似 径XUESHENG 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 装 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 答题卡 ---- 1.下列说法正确的是 A.菱形都相似 少 B.正六边形都相似 蕾 C.矩形都相似 D.一个内角为80°的等腰三角形都相似 线 2.若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=1cm,b=2cm,c=3cm,则d = ( A.6 cm B.4 cm C.2 cm D.1.5 cm 脚。则的值是 3.已知2=3 ( 的 B c 4.(重庆中考)制作一块3m×2m的长方形广告牌的成本是120元， 不 在每平方米制作成本相同的情况下，如果将此广告牌的四边都扩 大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 要 5.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形 A'B'C'D'E',已知OA=10cm,OA'=20cm,则五边形ABCDE的周 长与五边形A'B'C'D'E的周长比是 A.1:2 B.1:4 C.2:3 D.1:3 答 0年 题 5题图 6题图 6.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC边上，且EF⊥BC.若 四边形ABFE∽四边形DEFC,AB=3,DE=4,则AE的长为( .2 B.2 c n 7.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若 AB=4,BC=2,则线段EF的长为 () A.25 B.√5 C.4⑤ D. 25 5 5 F 7题图 8题图 8.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F是对角线AC上的两点，过点 E,F分别作AD的平行线，若AE=EF=CF,则图中阴影部分的面 积等于 A.9 B.9 C.3 4 9.如图，一座正方形城池北边、西边正中A,C处各开一道门，从点A 往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，从点C往正西方向 走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为 A.360步 B.270步 C.180步 D.90步 B E 1140步 北门A D 西门c 810步 B D 9题图 10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为线段BC上 点，以AD为一边构造Rt△ADE,∠DAE=90°，AD=AE,下列说法 正确的是 () ①LBAD=∠BC;②△AD0△ACD:③8C-A0:④2AD= BD2 CD2. A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，E是口ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,交CD于点 F,连接BF,写出任意一对相似三角形： D 11题图 12.已知△ABC△A'B'C',AE和A'E'是它们的角平分线，BP和 BP是它们的商线，若A=8m,F'=2em,则肥的值为 九年级数学 北师版上册第19页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最 VVVVV 自然得体，如果舞台AB长为20米，一个 主持人现在站在A处，那么他应至少再 B 走 米才最自然得体.（结果精 13题图 确到0.1米) 14.一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺. 可将图形进行缩放.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，OD =AD=1,AB=A'B=2,以点O为轴心，在A处和A'处安装制图 笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则A'处制图笔所画图 形的面积是 D 0 14题图 15题图 15.(山西中考)如图，在四边形ABCD中，LBCD=90°，对角线AC, BD相交于点O.若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD 的长为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 16.(10分)如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为(0,1). (1)以点O为位似中心，把△ABC按2：1进行放大，在y轴的左 侧，画出放大后的△DEF(D,E,F分别是A,B,C的对应点)； (2)点D的坐标是 (3)S△AB0:S四边形ABED= ------ 1-1-1-3-3-11-1-1-1011 16题图 17.8分)已知u,6c是△BC的三边长，且号--后0 （0)求25若的值： (2)若△ABC的周长为60，求各边的长 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE1 AB于点E. (1)求证：△BDE∽△CAD; (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长 18题图 19.(8分)（河南中考）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个 测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm,顶点A处 挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A 与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A 距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m,BH=20cm.求树EG 的高度.（结果精确到0.1m) 19题图 20.(8分)如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A= 90°，AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一个形状为平行四边形 DEFG的工件，使GF在BC上，D,E两点分别在AB,AC上，且DE =5cm. (1)求斜边BC上的高； (2)求平行四边形DEFG的面积. 20题图 21.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC与BD 相交于点O,BE与AC相交于点F. (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC; (2)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 0 21题图 九年级数学北师版 上册 第20页 22.(12分)【问题背景】 (1)如图①，已知△ABC∽△ADE,求证：△ABD∽△ACE; 【尝试应用】 (2)如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC= DE=30°，4C与DE相交于点F,点D在BC边上，0= ①填空：AE BD ②咪部的位 B D 22题图① 22题图② 23.(13分)[核心素养]如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,D为边BC上的一个动点（点D不与点B重合），过点D 作DE⊥AB于点E,连接AD. (1)当E为AB的中点时，求证：△ADE∽△BAC; (2)如图②，F为AE上一点，且BE=EF,连接DF ①当AF=2时，试判断∠CAD与∠BAD的关系； ②当△AFD为等腰三角形时，求线段BD的长. A C D D 23题图① 23题图②全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 17.解：设宁=子=子=（居≠0），则x=26,y=3弘，=4 2x+3y-z=18,.4k+9k-4k=18, ∴.k=2,∴.x=4,y=6,z=8, .x+y+z=4+6+8=18. 18.解：在正方形ABCD中，∠D=∠C=90°， ∴.∠DAE+∠AED=90°. .EF⊥AE,∴.∠AEF=90°，.∠CEF+∠AED=90°， ∴.∠DAE=∠CEF,∴.△ADE∽△ECF, 02器532京0r 2 5 19.证明：：AB∥DC,∴.∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C=180° .∠ABC+∠ADB=180°， .∴.∠C=∠ADB,.∴.△ABD∽△BDC. 20.解：.长方形的长宽比是3：2， .设EH,EF分别为3k,2k, ÷B/BC,△AEH△ABC,-码 AD BC 即2-装解得=品：品米，F=品米 1 21.解：设经过ts后，以A,D,E为顶点的三角形与以C,B,A 为顶点的三角形相似，则AD=tcm,CE=2tcm, .∴.AE=(12-2t)cm. ∠A=90°，BC=13cm,AC=12cm, .AB=√BC2-AC=√132-12=5(cm). 若△A0E△BC,则有治-怎 224 .30 若aA0Ea4CB,则有C侣， 228 综上可得，经过2或号，以4，D,B为膜点的三角形与 以C,B,A为顶点的三角形相似. 22.证明：(1)四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°，∴.∠BAF+∠DAE=90. DE⊥AF,BF⊥AF,∴.∠AED=∠F=90°， ∴.∠BAF+∠ABF=90°， .∠DAE=∠ABF,∴.△ABF≌△DAE. (2).△ABF≌△DAE,.DE=AF,∠BAF=∠2. Br2 EF DE,EF=BF=BF BF DE AF ·.·∠F=∠F,△FBE∽△FAB, .∴.∠1=∠BAF,..∠1=∠2. 23.（1)解：.四边形AFGH是正方形， 5-1 A=AF=5-1A=2=5-1 2AB=1= 点H是线段AB的黄金分割点. (2)证明：.四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， .∠EAB=∠BCD=90°， ·12· AC=CD=AE=DE BF.BC=DF. ·C为线段AB的黄金分割点，AC>BC, G-8%…28-能△AABCD (3)解：1+51+5 2 2 第三章图形的相似 能力提优测试卷 1.B2.A3.D4.C5.A6.D7.B8.C9.A 10.D[解析]①易知∠B=∠ADE =45°，∴.∠BAD=180°-∠B- E ∠BDA=135°-∠BDA,∠EDC= M 180°-∠ADE-∠BDA=135°- B4 D ∠BDA,.∠BAD=∠EDC,故① 10题答图 正确；②.∠ADE=∠ACB=45°， ∠CAD=∠OAD,∴.△AD0∽△ACD,故②正确； ③：·∠BAC=∠DAE,.∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠DAC,即∠BAD=∠EAC.又.·∠ABD=∠AEO=45°， △BD△B08e0故③正痛：④加茶图，过点 D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M,N.在Rt△BMD 中，BD2=BM2+MD,BM=MD,∴.BD2=2MD2.同理，在 Rt△DCN中，CD=2DN2..·∠DMA=∠MAN=∠DNA= 90°，.四边形AMDN是矩形，.DN=AM..:在Rt△AMD 中，AD2=MD2+AM2,.2AD2=2MD2+2AM,.2AD2= BD2+CD2,故④正确.故选D. 11.△ADF△ECF(答案不唯一）12.413.7.614.27 15〔解折]如答图，过点A作M BC于点M,AM交BD于，点P,过点D D 作DN⊥AM于点N.:AB=AC, B∠1 AM L BCBM CM-G=3. M 15题答图 又.AC=5,AM⊥BC,∴.AM=4.易知 四边形CDNM是矩形，∴.DN=CM=BM=3.结合 DN∥BM,易证△PBM≌△PDN,.PN=PM,∠1=∠2. 又∠ADB=2∠1=∠2+∠3，.∠2=∠3.又：∠AND =∠PND=90°，DN=DW,∴.△AND≌△PND,∴.AN=PW =PM,AN=分AM=手，AD=VA+DN= V()+ 16.解：(1)如答图所示，△DEF即为所求 --1-小- --- t........0 16题答图 (2)(-2,6) (3)1:3[解析]由题意，得AB∥DE,△AB0∽△DEO. △0F与△41C的相似比为2：1，能= SmS四-(2广=14 S=1:3. n解：(1)设号冬=后=0)。 则a=5k,b=4k,c=6k, :26+c_2×4h+6k146.7 4a 4×5k20k=10 (2):△ABC的周长为60， .a+b+c=60, ∴.5k+4h+6k=60,.k=4 ∴.a=5k=20,b=4k=16,c=6k=24, .△ABC各边的长分别为20,16,24. 18.（1)证明：.AB=AC,BD=CD, .∴.AD⊥BC,∠B=∠C. .'DE⊥AB,∴.∠DEB=∠ADC, ∴.△BDE∽△CAD. (2)解：AB=AC,BD=CD=BC, ∴.AD⊥BC,BD=5. 在Rt△ADB中，AD=√AB-BD=√132-5=12. “D:m=宁8：E, .DE- 19.解：根据题意，得∠AFE=∠ABH=90°， ∠BAE=∠FAH=90°， .∠EAF=90°-∠BAF=∠HAB, ·△AFE∽△ABH,.HB-AB EF AF AB=30cm=0.3m,BH=20cm=0.2m,AF=11m, 小器-3n-号m, 六5c=Ef+1.8=号189.1(m小 答：树EG的高度约为9.1m. 20.解：(1)如答图，过点A作AP⊥BC于点P,交DE于点H. ∠BAC=90°，AB=6cm,AC=8cm, .BC=√AB2+AC=√6+82=10(cm) AP⊥BC, S=74B·AC=2BCAD, H 即2×6x8=7×10xAP, B4 G .AP=4.8cm, 20题答图 .斜边BC上的高为4.8cm. (2):四边形DEFG是平行四边形， .DE∥BC,∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C,AP⊥DE, △ADEn△ABC,能-g 参考答案及解析 .DE =5 cm,BC =10 cm,AP =4.8 cm, 品-装-24m .PH AP-AH =2.4 cm, .S平行四边形DsFc=DE·PH=5×2.4=12(cm2) 21.(1)证明：如答图，在矩形ABCD中，OD=OC,AB∥CD, ∠BCD=90°， D 21题答图 .∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90 DE=BE,.∠1=∠2. 又.BE平分∠DBC,.∠1=∠6， .∠3=∠6，.∠6+∠5=90°， .∠BFC=90°，.BF⊥AC. (2)解：由(1)可知∠1=∠2=∠3 又，'∠EFC=∠BFO, ∴△BcrA0r,5-8品 号8邵即3cP=2Br, 易得30A=2BF+9①. 由(1)可知∠1=∠2=∠4. 又.·∠BFA=∠OFB, △a4P△08r8S-。 .BF2=0F·AF,.BF2=3(OA+3)②. 联立①②，得BF=1+√19（负值已舍去）， .DE=BE=2+1+√19=3+√19. 2.(I)证明：△ABC∽△ADE,.∠BAC=∠DAE,AB=AC 'ADAE ∠BAC-LCAD=∠DAE-∠CAD,A9.AD. ’ACAE ∴.∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE (2)解：①1 ②如答图，连接CE. D 22题答图 :∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴△aMC△DME8能82 又.∠BAD=∠CAE=90°-∠CAD, 六△BMD△CE,80-0,∠ABC=∠ACE, .∠ADE=∠ACE .·∠AFD=∠EFC, ÷△AFD∽△EFC,CF-EC DF AD ·13· 全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 由①得AD=√5AE,AD=√3BD,AE=BD, 80松-5m=5cE, .AD=3×5CE=3CE, …0=323-2=3 23.（1)证明：.DE⊥AB,E为AB的中点， .DE所在直线为线段AB的垂直平分线，∠AED=90°， ∴.AD=BD,∴.∠DAE=∠B. 又.：∠C=∠AED=90°，∴.△ADE∽△BAC (2)解：①在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC2=√62+82=10. AF=2,∴.BF=10-2=8. BE=EF,∴.BE=EF=4. .'∠B=∠B,∠BED=∠C=90°， △B0E△B4C8-思， 即爱冬解得0=3 在Rt△BED中，BD=√EB+ED=√4+3=5， ∴.CD=BC-BD=3,.ED=CD .:∠C=90°，DE⊥AB,.AD平分∠CAB, .∠CAD=∠BAD. ②BE=EF,DE⊥AB,.BD=FD. :△AFD为等腰三角形，∴.AF=DF. 由①可知△BDE△BAC,AB=10, …能照品-号 设BD=5x,则AF=DF=5x,BE=FE=4x. AF FE +BE=AB, 5x+4x+4x=10,解得x=13, 10 0=5s8 专项巩固训练卷（六）》 相似三角形的常考模型 1.C 2解：△MB△DC4岩-铝5D0. 6 6 解得BD=4(负值已舍去)， 胎-器号-4c=号拟 AC"=AB(AB +BC), Q C (340°=AB(aB+5), 2题答图 ∴.AB=4或0（不符合题意，舍去），∴.AB=BD=4. 如答图，过点B作BH⊥AD于点H, .AN-AD-3. AD=3AP,AD=6,∴.AP=2 当PQ⊥AB时，PQ的值最小. ∠AQP=∠AHB=90°，∠PAQ=∠BAH, ·14· AP PQ 、.△APQ∽△ABH,.AB-BH 2=%P0= √万 4 万 万 即PQ的最小值为 3.证明：AB2=BE·BD,∴AB:BE=BD:AB. .∠ABE=∠DBA,∴.△ABE∽△DBA,.∠BAC=∠BDA ,DB平分∠ADC,∴.∠ADB=∠BDC=∠BAC. 又.'∠AEB=∠DEC,∴.△ABE∽△DCE. 4.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD∥AB,AD=BC, .∠A+∠ABC=180°，LCBE=∠E. ∠A=62°，∠ABC=118 :BE平分LABC,.LCBE=3∠ABC=59, ∴.∠E=∠CBE=59°. (2)D为AE的中点，.DE=AD. BC=AD,.'.DE =BC. .·AD∥BC,.∠E=∠CBF,∠EDF=∠C, .∴.△DEF≌△CBF, ∴.△EAB的面积=四边形ABCD的面积. .·DF∥AB,∴.△EDF∽△EAB, w=(D=1=1 ,S△Bc=1 =(AE)=（2）=4,心S4 5.解：(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下： .四边形ABCD为平行四边形，.∠ABC=∠ADC. ·∠ABE=∠CDF,∴.∠EBF=∠EDF. .四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC, ∴、∠EDF=∠DFC=∠EBF,∴BE∥DF .·AD∥BC,.四边形BEDF为平行四边形 （2)设4G-2a,88-号00=3a,40=5a ·四边形ABCD为平行四边形， .A0=C0=5a,.AC=10a,CG=8a. AD/Bc△4GE△cGB2器-2瓷- .AE=4,∴.BC=16. 6.（1)证明：.CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, .∠A=∠CBE=LD=90°， .∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， .∠C=∠DBE,∴.△ABC∽△DEB. (2)解：：△ABC∽△DEB, 胎-能品-受n=3 7.(1)证明：AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90°，.∠BAE+∠AEB=90°. .AE⊥DE,∴.∠AED=90°， .∴.∠AEB+∠DEC=90°，∴.∠DEC=∠BAE. .∴.△ABE∽△ECD. （2)解：Rt△ABE中，.AB=4,AE=5,∴.BE=3. :BC=5,.EC=5-3=2.