第一章 集合与常用逻辑用语单元试卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元卷，120分钟150分，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础题与探究题结合，培养抽象能力、推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交并补、命题否定、充要条件|第1题集合补集运算，夯实基础| |多项选择|3/18|命题真假判断、新定义集合运算|第11题新定义集合运算，发展创新意识| |填空|3/15|充分条件、元素互异性|第13题元素互异性应用，考查细节| |解答|5/77|集合关系、充要条件证明、条件选择|第19题三条件选做，体现探究性；第8题结合植树数据，用数学眼光分析现实问题|

第一章　集合与常用逻辑用语 (时间:120分钟　满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(　　) A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 2.已知命题p:∀n∈N,n2<3n+4,则p的否定为(　　) A.∀n∈N,n2>3n+4 B.∀n∈N,n2≥3n+4 C.∃n∈N,n2≥3n+4 D.∃n∈N,n2>3n+4 3.设a∈R,则“a>0”是“|a|>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2 B.1 C. D.-1 5.设全集U=R,A={x|-1≤x≤1},B={x∈N|x-3≤0},则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x|-1≤x≤3} B.{-1,3} C.{x|2≤x≤3} D.{2,3} 6.命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥1 B.a<1 C.a≥4 D.a≤4 7.设集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=k+,k∈Z},则(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M∩N=⌀ 8.某班45名学生参加植树节活动,每名学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”2个等级,结果如下表: 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都合格的学生最多有10人,则在两个项目中都优秀的人数最多为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题是真命题的是(　　) A.“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题 B.∀x∈R,9x2≥0 C.∃x∈N,4x+1<0 D.“全等三角形面积相等”是全称量词命题 10.下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1” B.命题“∃x∈{x|x>-3},x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>-3},x2>9” C.“|x|>|y|”是“x2>y2”的必要条件 D.“m>0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有两个正实根”的充要条件 11.对任意集合A,B⊆R,定义AB={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.例如,若A={1,2,3},B={2,3,4},则AB={1,4},则下列说法正确的是(　　) A.若A,B⊆R且AB=B,则A=⌀ B.若A,B⊆R且AB=⌀,则A=B C.若A,B⊆R且AB⊆A,则A⊆B D.若A,B⊆R,则(∁RA) B=∁R(AB) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.“x>1”的一个充分条件可以是　　　　.  13.已知集合A={2,3},B={1,m},若3-m∈A,则实数m=　　　　.  14.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴对称; (2)任何一个四边形的对边都平行. 16.(15分)已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x-m<0}. (1)若m=3,全集U=A∪B,求A∩(∁UB); (2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=A,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题. (1)求实数a的取值集合A; (2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m},若A∪B=A,求实数m的取值集合. 18.(17分)求证:关于x的方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是-<m<0. 19.(17分)已知集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a=1,求A∩(∁ZB); (2)从①A∪(∁RB)=R;②A∩B=B;③B∩(∁RA)=⌀这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并进行解答. 问题:若　　　　,求实数a的所有取值构成的集合C.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 参考答案 一、单项选择题 1.A 解析:(方法一)∵M∪N={1,2,3,4}, ∴∁U(M∪N)={5}. (方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5}, ∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}. 2.C 3.A 解析:由题意可知a>0⇒|a|>0,|a|>0⇒a>0或a<0,即|a|>0a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.故选A. 4.B 解析:∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊆B不成立.若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B. 5.D 解析:由题意可知∁UA={x|x<-1,或x>1},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3}.则题图中阴影部分表示的集合是B∩(∁UA)={2,3},故选D. 6.B 解析:因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题,所以a≤1.结合选项可知只有“a<1”是“a≤1”的充分不必要条件.故选B. 7.B 解析:由题意可知M={x|x=,k∈Z}是整数的组成的集合,N={x|x=k+,k∈Z}={x|x=,k∈Z}是整数中奇数的组成的集合,所以N⫋M,故B正确,A,C错误.所以M∩N={x|x=,k∈Z}=N,故D错误.故选B. 8.C 解析:用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁UA表示除草合格的学生,∁UB表示植树合格的学生,作出Venn图,如图所示. 设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都合格的人数为y,由图可得20-x+x+30-x+y=45,即x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.故选C. 二、多项选择题 9.ABD 解析:“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题,故选项A中命题是真命题.∀x∈R,9x2≥0,故选项B中命题是真命题.由4x+1<0得x<-,故选项C中命题是假命题.“全等三角形面积相等”是全称量词命题,故选项D中命题是真命题.故选ABD. 10.ABC 解析:对于A,命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1”,故A正确.对于B,命题“∃x∈{x|x>-3},x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>-3},x2>9”,故B正确.对于C,因为x2>y2⇒|x|>|y|,所以“|x|>|y|”是“x2>y2”的必要条件,故C正确.对于D,关于x的方程x2-2x+m=0有两个正实根⇔⇔0<m≤1,所以“m>0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有两个正实根”的必要不充分条件,故D错误.故选ABC. 11.ABD 解析:由定义可知AB=∁A∪B(A∩B).对于A,因为AB=∁A∪B(A∩B)=B,所以A∪B=B,A∩B=⌀,所以A=⌀,故A正确.对于B,因为AB=∁A∪B(A∩B)=⌀,所以A∪B=A∩B,所以A=B,故B正确.对于C,因为AB=∁A∪B(A∩B)⊆A,A∩B⊆A,所以A∪B=A,所以B⊆A,故C不正确.对于D,画出Venn图(图略),可知(∁RA) B=(A∩B)∪((∁RA)∩(∁RB)),∁R(AB)=(A∩B)∪((∁RA)∩(∁RB)),所以(∁RA) B=∁R(AB),故D正确. 三、填空题 12.x>2(答案不唯一) 13.0 解析:因为3-m∈A,所以3-m=2或3-m=3.若3-m=2,则m=1,此时集合B不满足元素的互异性,舍去.若3-m=3,则m=0,此时B={1,0}满足题意.所以m=0. 14.{m|m>3} 解析:因为函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交,所以a-3>0,即a>3.由已知得{a|a>m,m∈R}⫋{a|a>3},所以m>3.所以m的取值范围是{m|m>3}. 四、解答题 15.解:(1)该命题的否定是:对任意实数a,二次函数y=2x2+a的图象都不关于y轴对称.假命题. (2)该命题的否定是:存在一个四边形,它的对边不都平行.真命题. 16.解:(1)当m=3时,由x-3<0,得x<3, ∴B={x|x<3},∴U=A∪B={x|x<4}, ∴∁UB={x|3≤x<4}, ∴A∩(∁UB)={x|3≤x<4}. (2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m},A∩B=⌀,∴m≤-2. 故实数m的取值范围为{m|m≤-2}. (3)由A∩B=A,得A⊆B. 又A={x|-2<x<4},B={x|x<m},∴m≥4. 故实数m的取值范围为{m|m≥4}. 17.解:(1)命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题,即方程ax2+2x-1=0无实根. 若a=0,则x=,不符合题意. 若a≠0,则Δ=4+4a<0,解得a<-1. 故实数a的取值集合A={a|a<-1}. (2)由已知得B={x|3m<x<m+2}. 因为A∪B=A,所以B⊆A. 若B=⌀,则3m≥m+2,即m≥1,此时B⊆A. 若B≠⌀,则m+2>3m,解得m<1,又B⊆A,所以m+2≤-1,即m≤-3. 综上可知,实数m的取值集合是{m|m≤-3,或m≥1}. 18.证明:(1)充分性:∵-<m<0, ∴关于x的方程x2-2x-3m=0的判别式Δ=4+12m>0,且-3m>0, ∴关于x的方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性:若关于x的方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根,则有 解得-<m<0. 综合(1)(2)知,关于x的方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是-<m<0. 19.解:(1)当a=1时,B={x|x-1=0}={1}. 又因为A={x|x2-6x+5=0}={1,5}, 所以A∩(∁ZB)={5}. (2)若选①,由A∪(∁RB)=R,可知B⊆A. 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A. 当a≠0时,B={},又B⊆A,所以=1或=5,解得a=1或a=. 综上所述,C={0,,1}. 若选②,由A∩B=B,可知B⊆A. 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A. 当a≠0时,B={},又B⊆A,所以=1或=5,解得a=1或a=. 综上所述,C={0,,1}. 若选③,由B∩(∁RA)=⌀,可知B⊆A. 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A. 当a≠0时,B={},又B⊆A,所以=1或=5,解得a=1或a=. 综上所述,C={0,,1}. 7 学科网（北京）股份有限公司 $