精品解析：贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高二第二学期教学质量监测（一）数学试题

贵阳一中2025—2026学年高二年级第二学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以，解得， 所以. 由，得. 由，得，得，所以. 所以. 2. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在复平面中对应点，，即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值,. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出函数的单调性，从而判断选项即可. 【详解】由的图象可知：当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故A，B错误； 所以在处取得极小值，D选项正确； 当时，，单调递增，在处不是极小值，C选项错误. 4. 为迎接五一劳动节的到来，学校安排6名劳动志愿者随机地排队开展宣传活动，其中有3名是环卫志愿者，则三名环卫志愿者互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于古典概型问题，先计算6人全排列的总情况数，再用插空法计算3名环卫志愿者互不相邻的情况数，二者比值即为所求概率. 【详解】6名志愿者随机排队，总排列数为, 先排列剩余3名非环卫志愿者，排列数为，排完后形成4个空位（包含队列两端）,从4个空位中选3个插入3名环卫志愿者，排列数为, 因此符合条件的排列总数为, 则三名环卫志愿者互不相邻的概率为. 5. 已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为,, 由得(1) 由(2)， 将式(2)代入式(1)得： ，解得, 将代入式(2)，得，解得, 所以. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则此圆台的体积与其内切球（与圆台的上、下底面及每条母线都相切的球）的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知圆台的高为， 该圆台的内切球半径为， 所以圆台的体积为， 球体的体积为， 所以此圆台的体积与其内切球的体积之比为. 7. 已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次构造函数和，利用导数研究其单调性即可分析求解. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以，即，故； 令， 则， 因为，所以， 又时， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 则，即， 所以，即，故. 综上可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其相邻对称轴间的距离为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于成中心对称 C. 在区间上的值域为 D. 的图象可由的图象向右移动个单位长度，再向上移动1个单位长度得到 【答案】CD 【解析】 【详解】 ， 因为函数相邻对称轴间的距离为，所以最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，所以， 所以的图象关于成中心对称，故B错误； 当时，，所以， 所以，故C正确； 的图象向右移动个单位长度得函数的图象， 再将向上平移一个单位得的图象， 又，故D正确. 10. 设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. 有最小值 B. 若，则使得的最大整数 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的等量关系推导核心参数关系，再结合等差数列通项、前项和公式及性质逐项判断. 【详解】等差数列前项和是关于的二次函数，开口方向由公差决定： 当时有最小值，时有最大值， 由题意不知的符号，无法确定有最小值，选项A错误； 由得，整理得， 通项公式为. 若，令，解得，故使得的最大整数，选项B正确； ，代入、得，故，选项C正确； 由等差中项性质得，若，则，故，选项D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 对于，在上无零点 C. 对于，在上无零点 D. 对于，在上有且只有一个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】本题通过求导分析函数的单调性、极值，结合零点存在性定理判断各选项正误. 【详解】，且，时，时； 选项A：当时，，在上单调递增，无极值点，A错误; 选项B：当时，的零点为和，在上单调递增，在上单调递减，极大值，取时，，结合、，可知上有两个零点，B错误； 选项C：当时，，当，，在上单调递增，且，所以当时,故在上无零点，C正确； 选项D：当时，，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，则，又时， 所以在上没有零点，在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点； 综上，对于，在上有且只有一个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_________． 【答案】 （或） 【解析】 【详解】的定义域为,，即切点为, ，得切线斜率, 由直线的点斜式方程得，所以切线方程为（或）. 13. 某工厂准备为职工举办“五一”劳动节文艺晚会，其中有3个歌舞节目，3个小品，2个相声，要求3个歌舞节目互不相邻，则不同的排法有_________种．（用具体数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】采用插空法，先排列无相邻限制的小品和相声，再将歌舞节目插入排列形成的空隙中，结合分步乘法计数原理计算总排法数. 【详解】先排3个小品和2个相声，全排列数是 ；5个节目产生6个空隙，从6个空隙中选取3个插入3个不同的歌舞节目，对应的排列数是 , 根据分步乘法计数原理，总的排法有种. 14. 已知正实数，实数分别满足，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性探索，的关系，可求的值. 【详解】由. 设，因为，在上单调递增，所以在上单调递增. 又，， 所以，即. 代入得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的角平分线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系化简条件等式，结合正弦定理转化为边的关系，再用余弦定理即可求出； （2）先由面积公式求出，结合余弦定理得到，再利用半角公式求出，最后通过等面积法即可求解角平分线的长度. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得：， 由正弦定理得：， 所以由余弦定理得：. 【小问2详解】 在中，因为，所以， 所以，得. 由余弦定理得：， 即，所以， 又因为，得， 因为，且是的角平分线， 所以， 即，所以. 16. 已知数列满足，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造辅助等比数列求解； （2）将通项拆分为等差乘等比型项与等差数列项的差，分别用错位相减法和等差数列求和公式计算后合并结果 【小问1详解】 因为， 所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面，，，过点的平面分别与棱、、交于、、，，． （1）求到底面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法及四点共面，求出的坐标，根据其竖坐标即可得答案； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得、、两两垂直， 故以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则,,,,, 又因为，． 所以为中点，为靠近的三等分点，所以，， 因为，在上，且设, 所以，所以, 又因为，，且四点共面， 所以，所以， 所以解得，所以， 解得，所以，所以到底面的距离为； 【小问2详解】 因为轴与平面垂直，所以轴与平面垂直， 取平面的法向量， 因为，所以设平面的法向量， 则，所以解得， 取，设平面与平面所成角为， 则, 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】（1）椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【解析】 【分析】(1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【小问1详解】 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. 【小问2详解】 （i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 19. 已知函数，． （1）求的最值； （2）当时，若存在实数，，满足，求的取值范围； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）函数有最小值，无最大值； （2）实数的取值范围为； （3）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究其单调性即可求解最值； （2）利用导数工具研究函数的单调性和极值即可由题意得解； （3）将题设等价转换为恒成立，求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 由题，则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； 【小问2详解】 时，， 则， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值为，有极大值为， 所以当时，若存在实数、、满足， 则实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2025—2026学年高二年级第二学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 4. 为迎接五一劳动节的到来，学校安排6名劳动志愿者随机地排队开展宣传活动，其中有3名是环卫志愿者，则三名环卫志愿者互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则此圆台的体积与其内切球（与圆台的上、下底面及每条母线都相切的球）的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其相邻对称轴间的距离为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于成中心对称 C. 在区间上的值域为 D. 的图象可由的图象向右移动个单位长度，再向上移动1个单位长度得到 10. 设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. 有最小值 B. 若，则使得的最大整数 C. D. 若，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 对于，在上无零点 C. 对于，在上无零点 D. 对于，在上有且只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_________． 13. 某工厂准备为职工举办“五一”劳动节文艺晚会，其中有3个歌舞节目，3个小品，2个相声，要求3个歌舞节目互不相邻，则不同的排法有_________种．（用具体数字作答） 14. 已知正实数，实数分别满足，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的角平分线的长． 16. 已知数列满足，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面，，，过点的平面分别与棱、、交于、、，，． （1）求到底面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 19. 已知函数，． （1）求的最值； （2）当时，若存在实数，，满足，求的取值范围； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $