贵州贵阳市七校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷

**基本信息** 贵阳市5月七校联考数学试卷以函数、几何、概率等知识为载体，通过校园趣味答题等真实情境设计综合性问题，体现数学应用与思维能力的梯度培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、函数图像、双曲线离心率|基础概念辨析，如函数图像识别考查几何直观| |多项选择|3/18|解三角形、抛物线性质、立体几何动态问题|多选项设计考查逻辑推理，如正方体动点轨迹问题| |填空题|3/15|导数切线、向量旋转、概率期望|跨知识点融合，如向量旋转结合坐标运算| |解答题|5/77|数列证明、立体几何线面角、概率统计应用、椭圆综合、导数极值|情境化与综合性强，如趣味答题比赛概率模型（数学语言表达现实世界）、导数极值点单调性讨论（数学思维逻辑推理）|

数学参考答案及评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 6 7 8 答案 B C D A B A 【解析】 1.因为==√2，所以同=√2，故选B. 2.因为x2<2x,所以x(x-2)<0,所以0<x<2,所以A={x|0<x<2}.因 为B={x|1<x<2},所以AUB={x|0<x<2,故选C. )定义球为7,2f放该数为 e2x-1 1-e2x 偶函数，故可排除A,C,当x=元时，有fx)=en2r=0,故可排除 e2m-1 B,故选D. 4〔G展形式强项公武为=G行(=Gy兰，令 9”=,求得7-1可行〔G-展开式的系数为G9,做运 A. 5.如图1， 设P在x轴上方，由双曲线的对称性可知OP=OQ, 又因为PF⊥QF,即△PFQ为直角三角形，所以 OP=OF.又根据直线PQ的斜率为V3得到 ∠POF=60°，所以△POF为正三角形，有 ∠PFO=60°，连接P与左焦点F，,由 OP=OF=OF,可得△PFF'为直角三角形且 PF⊥PF'.由双曲线定义可知PF-PF=2a, FF=2c,所以双曲线的离心率为 e=c=rp 2PF 2=5+1 a PF'-PF 3PF-PF 3-1 故选B. 6.由图象可得最小正周期小于π 4π 13π，大于2× π-4π） 10元，排 9 除A,D:由图象可得f 4π 4π cos =0,即为 6 、元)十L=π+交】 6 ,k∈Z,若选B,即有o= 2π_12 7 6 4红×12+π=k元+ ,可得k不为整数，排除B;若选C,即有 976 0-2r-3 红)，由4元x3+x十号可得k=1,成立，故选( 926 J 7.由题意得圆C:x2+y2-4x-4y=0的圆心为M(2,2),半径为2√2，圆 C:x2+y2-2x-2by=0的圆心为N(a,b),半径为Va2+b2,两圆的相交 弦AB的垂直平分线即为直线MN,即△MWA为直角三角形，由勾股定理得 N+MAAP,即(Va-22+b-2y）+(22=(Na+b,整理 后得a+b=4,故选C. 8.因为f(x+2)为奇函数所以f(x+2)=-f(-x+2),即g(x+2)=g(-x+2), 所以g(x)关于x=2对称，g(x+1)为奇函数所以g(x)关于(1,0)对称，可得 g(x)的周期为4，g(2)=-g(0)=-b,g(3)=g(1)=a+b=0，所以a=4, b=-4,8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD AC AD 【解析】 9.由sinA= ，A为锐角，所以SAC= bci4=×3x1x55 32，A错 误； 由sin4= ，A为锐角，得c034号，由余弦定理 5 2 3 G=B+c-2bcc04=3+P-2x3x1x2-6,则a=V6,B正确：由题 意，可得cosB= d2+c2-b2 6 则tanB=-5,所以C正确；由 2ac AD=AB+AC,得 -+Ac手244c-}斗2x13)子，则 4D-例 4,D正确，故选BCD. 10.对于选项A:因为直线y=V3(x-1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，所以 卫=1，解得p=2,故选项A正确；对于选项B:抛物线方程为y=4x, 联立少=5(-消去y并整理得3x-10x+3=0,由韦达定理得 y2=4x, w+w号所以=xv+y+p-5放选项B错误：对于选项C: 10 M,N的中点的横坐标为子中点到抛物线的准线的面离为 1+号背a,所以以0v为直径的圆与相切，放选项c正确：对于 选项D:山选项B知3x-10r43=0,解得=3或x方设y=3 =此时w=25,w-25,所以OM=92=2, 3 2时号四，a-9则o公不是等要三角影，收益项D准 误，故选AC 11.对A,因为动点P在正方体ABCD-A,B,CD内及其边界上，且 AP=AD+AA,且元+u=1,则P的轨迹为线段AD.由于B,C川AD, B,Cc平面B,D,C,所以AD川平面B,D,C，所以三棱 锥P-B,D,C体积为定值，故A正确：对B,易知 C,D⊥平面A,BCD,动点P在正方体 ABCD-AB,CD,内及其边界上，且AP⊥C,D,所以 动点P所围成的图形是矩形A,BCD,则面积为 2x2√2=4V2,故B错误；对C,设△PAB边AB上 图】 的高为h,则sin∠PAB=3sin∠PBA,由正弦定理可 得 PA PB ,所以An<PaA=,故PB=3pA,如图 sin∠PBA sin.∠PAB PB sin.∠PAB3 2,以A为点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直 角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,2),设P(x,y,2), xy,z∈[0,2]，则PB=Vx-2)2+y2+z2，PA=Vx2+y2+z2.又因为 PB=3PA,整理得： 9 所以空间动点P的轨迹是以 16 o 1.00 为球心， 3为半径且位于正方体内的部分球体，又因为 4 4 误：对于D,显然过P的满足条件的直线数目等于过D,的满足条件的直线1 的数目，在直线1上任取一点P，使得D,P=DA=D,C,不妨设 ∠PDA=,若∠PD,C=行，则AD,CP是正四面体，所以P有两种可能， 直线1也有两种可能，若∠PD,C= π，则1只有一种可能，就是与∠ADC 3 的角平分线垂直的直线，所以直线1有三种可能，故选AD, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 1 33-4 5 V= 2 2 8 8 【解析】 12fi网-四。-fo+1,则r间-0。-fo),故 0-f010+1放f10=1.所以f)-巴。片+1，代 入x-0,可符)-0.又/0-方故切线方程为y号0，则) 13.由题知， OA=OB=5,可设A(5cosx,5sinx),由题知，向量OA绕点0逆时 针旋转号到o丽=ir+写引5+写》 5ox+4 解得 π =3 35-4,则A的横坐标为5c0sx= 3V3-4 10 14.甲要获胜，则取出的数字只能是3,5,7，记甲得分为随机变量X (X=0,1,2,3).当甲选出3且获胜，则乙只能选2，概率为 1、11 P(X=3)= ；当甲选出5且获胜，则乙选出的是2,4，概率为 4416 Px2功- 当甲选出7且获胜，则乙选出的是2,4,6，概率为 p(X=)=416 133 所以甲获胜的概率P=3 ：由以上推出 P(r=0)-,()=0+1k3+2x3x-A 8 16 8168 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) (1)解：因为a1=√S1+S, 所以S1-S4=VS1+VSn, (1分) 所以(S+S(及-反)=S+, 所以VS1-S=1,又√尽=1， (2分) 所以数列{√S}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以Sn=1+(n-1)=n, (3分) 所以Sn=n2. 当n≥2时，4.=Sn-S%-1=n2-0-1)2=21-1,..(4分) q=1也满足上式，(5分) 所以数列{a}的通项公式为a=21-1. (6分) (2)证明：因为b,= 11 .(7分） d 2n-1 - (8分) 因为2n+1>0,所以Tn< 2’…(10分） 因为数列红}单调递增，所以T2T=3 .(12分） 所以T< …(（13分) 3 16.(本小题满分15分) （1)证明：如图3，取AB的中点为K,连接K, NK, B 由三棱柱ABC-A,B,C,可得四边形ABB,A为平行四边 形， 而B,M=MA,BK=KA,则MK‖BB,· 而MKt平面BCC,B1,BB,C平面BCC,B, 图3 故M‖平面BCC,B,而CW=NA,BK=KA,则I‖BC，同理可得NK‖平面 BCC B 而NK∩MK=K,NK,MKc平面MKN, 故平面MN‖平面BCC,B,而Nc平面MKN, 故N‖平面BCC,B1..(6分) (2)解：因为侧面BCC,B,为正方形，故CB⊥BB, 而CBC平面BCCB,平面CBB,C1⊥平面ABB,A, 平面CBB,C,∩平面ABBA=BB,故CB⊥平面ABBA·.(8分) 因为NK‖BC,故WK⊥平面ABB,A· 因为ABC平面ABB,A,故NK⊥AB. 又AB⊥MN,WK∩MN=N, 故AB⊥平面NK,而MKc平面MNK,故AB⊥MK, 所以AB⊥BB,而CB⊥BB,CB∩AB=B,故BB⊥平面ABC. ..10分) 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(0,4,0),N(2,2,0),M(0,2,4), 故AB=(0,-4,0),BN=(2,2,0),BM=(0,2,4). 设平面BNM的法向量为i=(x,y,), 则 (元BN=0从而 x+y=0 i·BM=0 y+22=0,取2=-1，则n=(-2,2,-1)月 …(13分) 设直线AB与平面BM所成的角为O, 则in6=cos元AB> 2 4 .(15分) 2×33 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题知：X的可能取值为1,2,3,4， P(X=1)= 答n小容 21×33 21010 P(x=3eCC=320=,Px=4)=SC331 C- 2106 .(4分) .X的分布列为： 2 3 30 10 X)=水02x 1.41_14 3+3X2+4×寺 (6分) 10 65 (2)由(1)知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为 1+1-2 2631 (7分) 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y,则 .…(8分） 所以P=-C（ k=0,1,2,3,4,5 r-o-cg,3”Pr-4)0 Pv-2-g-0Pv-3-)- pv==)〔=器Pw-)e)=器4列剂 所以当了=3,7=4时，概率最大，最大为PY=)P(V-4)= 80 .…(15分) 18.(本小题满分17分) (1)解：由题意有2a=4,所以a=2. (1分) 设椭圆焦距为2c,易知椭圆过点 √2 C 2 又a2=b2+c2,所以c2=4-b2, 所以4-4-1，即6+46-2）-0，解得6=2，…3分) 42b2 所以a=2,b=c=√2，故C的标准方程为 x2+y=1.(4分) 42 (2)(i)证明：如图4，设A(x)>0,>0), B(-,-)P(xy) 图4 则M(,0),由题意有k=. 直线BP的斜率，即BM的斜率为= ,(5分） -2x 所以直线BP的方程+h=)(x+5), 所以y+%=1 又A,P在椭圆上，(4 2 P别 42 ∴k=当五=-出+名 x-Xo 2(4+%) 素肠=一1.…10分) 2×2(x+) (i)解：∠ABP=∠AOM-∠BMO=∠AOM-∠PM,.(11分） 而tan∠AOM=k,tan∠Px= 2 由(i)知k=-1,∴.AP⊥AB. 叉k>0,AB 1 P tm<ABP-4OM-<p6.k-有 2、 1+tan∠AOMtan-∠PMk1+ 2+k .(13分) .t= k2+2=k+22 2 k k 2=2. 当且仅当k=2,即k=V时等号成立， 所以t≥2W2..(17分） 19.(本小题满分17分) (1)解：当a=1时，f(x)=e*sinx, )-ear+osr）5em+经 所以当e0,}时.)0，心单调这增： 当x=行时f)0,单调造减 .(3分) (2)①证明：设切点为(t,f(t),t>0,切线过原点，故f()=矿(t). 代入f(t)=e"sint,f'(t)=e“(asit+cost), 得sint=t(asint-+cost),.… .(5分) 整理得sint(1-at)=fcost. 若sint=0,则左边为0，右边fcost=士t≠0，矛盾，故sint≠0，两边除以sint: a=colt, t 因此每个切点横坐标n满足cott,=-a,(8分) ②解：由f(x)=e“(asinx-+cox),令f'(x)=0,得tanx= 1 因为a0,。0.所以解从小到大依次为=（行小飞=（经2，… 3 七（爱+-1+-小neN且都是变号零点，所以x为）的极值 点. 则x.=6+(n-1)π(n∈N),(10分) 设g)=cot-+a=coe4}才a,1≠mFH0,neN, sint t 则h()= -11=-f+6in0<0, (sint)P (sint) 且由洛必达法则可知)-a,mh(=-n,,imh(0=+o,neV， 所以h(t)在区间(n-1)π，(n-1)π+元D,n∈N上存在唯一的零点t, 即cot比，=1-a,不妨设4，=-(n-1)元. 则dn=1,-xn=4,-8，且4∈(0，元)， 电cot地-a,代入=4.+(n-1)π 得cot以，+0n-l))=cotL.4,+m-1) 1 -a. 下证：{4}单调递增， 由cotu+1= -, 4+1+nr 因为4.∈(0，元)， 所以，4+1+nr>(n-1)π+u., 所以 1 1 4+1+nr(n-1)π+u 所以cotu+1<cot,· 因为函数h(x)=cotx在(0，π)上单调递减，由此可得山+1>4， 故dn=1n-x=4,-日也单调递增。.(（15分) 当n→+o时， 1 a此时cotu,→-a, w,+(n-1)π 此时tau,→-=tan9,即4，→6， 所以dn→0，即d<0. 要使得d,<m对一切neN恒成立，则m≥0，故最小的正整数m=1.(17分) 贵阳市5月七校联考 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 若 ,则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中, 的系数为（ ） A. -9 B. 9 C. -1 D. 1 5. 已知双曲线 的右焦点为 ,过原点 的直线交 于 两点,且 . 若直线 的斜率为 ,则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 在 上的大致图象如图 1 所示,则 的最小正周期为（ ） 图 1 A. B. C. D. 7. 已知圆 与圆 交于 两点,且 平分圆 的周长,则 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 已知函数 及其导函数 的定义域为 ,记 . 若 均为奇函数,当 时, 有 ,则 （ ） A. 3 B. -1 C. -5 D. 7 二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项 中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知 的内角 的对边分别为 为 的中点, ( 为锐角), ,则下列说法正确的是 A. 的面积为 B. C. D. 10. 设 为坐标原点,直线 过抛物线 的焦点,且与 交于 两点, 为 的准线,则 A. B. C. 以 为直径的圆与 相切 D. 为等腰三角形 11. 如图 2,棱长为 2 的正方体 ,动点 在正方体 内及其边界上运动, 则下列说法正确的是 图 2 A. 若 ,且 ,则三棱锥 的体积为定值 B. 若 ,则动点 所围成的图形的面积为 C. 若 ,则 的最小值为 2 D. 若 ,过 有且仅有 3 条直线与直线 所成角为 三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 曲线 在点 处的切线方程为_____. 13. 在平面直角坐标系 中,将向量 绕点 逆时针旋转 得到 ,若 , 则点 的横坐标为_____. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 ,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行一轮比赛,在这轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人获胜，则甲获胜的概率为_____；若甲选出数字 3 且赢记 3 分，甲选出数字 5 且赢记 2 分，甲选出数字 7 且赢记 1 分，甲输掉比赛记作 0 分，则甲最终得分的期望为_____、(第一空2分，第二空3分) 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 已知正项数列 中, . (1)求数列 的通项公式; (2)设 ，若 ，证明: . 16. (本小题满分 15 分) 如图 3,在三棱柱 中,侧面 为正方形,平面 平面 分别为 的中点. 图 3 (1)求证: 平面 ； (2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛. 比赛规则如下: ①每位参赛学生参加 5 轮答题比赛; ②每一轮比赛，参赛学生从 10 道题中随机选择 4 道作答，每答对一道题积 1 分，答错或不答积 0 分; ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于 3 分可获得一张“挑战达人”票. 从文艺社团负责人处了解到:这 10 道题有 7 道参赛学生都会，有 3 道参赛学生都不会. (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分 的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得 “挑战达人” 票的概率稳定且每轮是否获得 “挑战达 人”票相互独立，则学生甲在 5 轮比赛中获得多少张 “挑战达人” 票的概率最大? 最大概率是多少? 18. (本小题满分 17 分) 如图 4,已知椭圆 的方程为 ,直线 与椭圆 交于 , 两点 (点 在第一象限). 当 时, 在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点. 图 4 (1)求 的标准方程； (2)若 轴于点 ，连接 并延长交 于点 ，记直线 的斜率为 . ( i ) 证明: 为定值; (ii) 设 ,求 的取值范围. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 ，其中 ， ， . (1)当 时，讨论 在 上的单调性； (2)过原点 作曲线 的切线，切点横坐标从小到大依次为 ， . ①证明: 满足方程 ；其中 ； ②记 为 的第 个极值点， ，判断数列 的单调性，并求最小的正整数 ,使得 对一切 恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $