3.2.1 单调性与最大（小）值课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性与最大（小）值，通过观察函数图象特征，联系初中“y随x增大而增减”的描述，逐步过渡到增函数、减函数等严格定义，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以图象直观引入单调性，通过定义法证明步骤（取值、作差变形等）和技巧培养逻辑推理，结合复合函数、分段函数及实际利润问题等例题，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。助力学生深化概念理解，教师可高效开展教学。

人教A版必修一数学教学同步课件 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 学习目标 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义； 2. 掌握证明函数单调性的步骤和求函数单调区间的方法； 3. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义； 4. 能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． y随x的增大而增大（减小） 2 4 5.5 7.5 9 9.5 12 11 f(x) 0 2. 这些特征在初中是怎么描述的? 1.观察定义在[0，12）函数的图象，有什么特征？ 从左到右看有的上升，有的下降。 还有的与x轴平行 函数的单调性 增函数 减函数 所对应x的变化范围 单调 递增区间 所对应x的变化范围 单调 递减区间 单调 递减区间 单调 递增区间 单调区间 x 函数单调性 函数单调性 2 4 5.5 7.5 9 9.5 12 11 f(x) 0 x 区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数该的单调增区间可以写(0，2)，也可以写成[0，2) 反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.如函数该的单调增区间可以写(9.5，12)，不可以写成（9.5，12] 3.该函数的单调递增区间和单调递减区间是哪些? (0,2) , [4,5,5) , [9,9,5) （2,4],（5.5,7.5],（9.5,12) 单调递增区间 . 单调递减区间 . 剩下 （7.5,9） 不升不降 不具有单调性 不是所有的函数都具有单调性 函数单调性 观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？ 图象从左到右保持递增 图象从左到右有增有减 图象关于y轴对称 单调性 奇偶性 图象关于原点成中心对称 函数单调性 观察二次函数f (x)=x2的单调性 x≤0时,y随x的增大而减小 f (x)在(-∞,0]上单调递减 x≥0时,y随x的增大而增大 f (x)在[0,+∞)上单调递增 函数单调性 函数 增函数 减函数 图示     图象 特征 函数f (x)在区间D上的图象是 　　　　的  函数f (x)在区间D上的图象是 　　　　的  上升 下降 函数单调性 函数 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有 f (x1)　　　f (x2)  f (x1)　　　f (x2)  那么就称函数f (x)在区间D上 单调递增 那么就称函数f (x)在区间D上 单调递减 < > 1.一次函数、二次函数及反比例函数的单调性. (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. 函数单调性 函数单调性 (3)反比例函数y= (k≠0)的单调性如下表所示. k的符号 单调性 k>0 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减 k<0 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增 2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性. 典型例题 【例1】 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f (x)=3-x B.f (x)=x2-3x C.f (x)=- D.f (x)=-|x| C 解析函数f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;函数f(x)=x2-3x为二次函数,在 上单调递减,不符合题意;函数f(x)=- 为反比例函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意;函数f(x)=-|x|,当x>0时,f(x)=-x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.故选C. 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 证明函数单调性 证明函数单调性 2.作差变形的常用技巧 (1) 因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). (2) 通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例. (3) 配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号. (4) 分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 典型例题 【例2】 求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)上单调递减. 判断复合函数y=f(g(x))单调性的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)找出复合函数的外层函数和内层函数,y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调性; (4)若这两个函数在对应的区间上单调性相同(同增或同减),则y=f(g(x))为增函数;若这两个函数在对应的区间上单调性相反(一增一减),则y=f(g(x))为减函数.此法则简记为“同增异减”. 复合函数单调性 典型例题 解由题意可知,g(x)的定义域为{x|x≠-2,且x≠4}. 令u(x)=8+2x-x2,则u(x)在(-∞,-2),(-2,1]上单调递增,在[1,4),(4,+∞)上单调递减.函数g(u)= 在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减. 根据复合函数“同增异减”的原则,可知g(x)= 在区间(-∞,-2),(-2,1]上单调递减,在区间[1,4),(4,+∞)上单调递增. 即函数g(x)的单调递增区间为[1,4),(4,+∞), 单调递减区间为(-∞,-2),(-2,1]. 【例3】 试求函数 的单调区间. 16 函数最大值 你能以的为例说明函数最大值的含义吗？ 图象特征：函数有最高点(0,0)， 即最大的函数值为0. 数学含义： (1)0是的函数值，即0=f(0)； (2)0是函数值中最大的一个 即∀x∈R，都有. 17 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)都有; (2)使得. 那么，我们则称是函数的最大值. 函数的最大值可用来表示. 函数最大值 你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？ 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)都有; (2)使得. 那么，我们则称是函数的最小值. 函数的最大值可用来表示. 函数最小值 问题探讨 1. 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有f(x)≤M;是否可称M是函数y=f(x)的最大值? 2. 一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？ 不可以.必须要∃x0∈I,使得f(x0)=M. 不一定.比如： 一次函数（）时，无最大值和最小值； 二次函数（开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值）； 常函数（既有最大值又有最小值，且最大值和最小值相等）. 给定区间的函数，看区间端点能否取到，具体情况具体分析. 1. 图象法求最值的基本步骤 求函数最值 求函数最值 2. 利用单调性求函数最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性; (2)利用单调性画出草图,写出最值. 3. 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. 4. 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值,可作如下讨论: 对称轴x=h与[m,n] 的位置关系 f(x)的单调性 最大值 最小值 h<m 在[m,n]上单调递增 f(n) f(m) h>n 在[m,n]上单调递减 f(m) f(n) m≤h≤n m≤h< 在[m,h]上单调递减, 在(h,n]上单调递增 f(n) f(h) h= f(m)或f(n) <h≤n f(m) 求函数最值 典型例题 【例4】 已知函数,求函数的最大值和最小值. 解：则 由得＞0，＞0, 于是， ＞0，即 . 所以，函数在区间上单调递减. 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值. 在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4. 24 知识总结 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最值的常用方法如下： （1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围； （2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出 （4）利用数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值. 课堂习题 1. 函数y=|x+1|+2的最小值是(　　) A.0 B.-1 C.2 D.3 C 解析 y=|x+1|+2的图象如图所示. 由图可知函数的最小值为2. 课堂习题 B 解析 函数 在[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2. 课堂习题 3. 已知函数 (1) 画出f(x)的图象; (2) 利用图象写出该函数的最大值和最小值. 解 (1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 课堂习题 4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x). 解 (1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x, 课堂习题 4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: 其中x是仪器的月产量. (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) (2)当0≤x≤400时,f(x)=- (x-300)2+25 000, ∴当x=300时,f(x)max=25 000; 当x>400时,f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当x=300时,f(x)max=25 000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元. 课后作业 1. 完成课本第81页练习题; 2. 预习课本3.2.2 奇偶性的内容. a的符号 单调性 a<0 在-∞,-上单调递增,在上单调递减 a>0 在-∞,-上单调递减,在-,+∞上单调递增 证明 ∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=x1-x2+=(x1-x2)(1-)=. ∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故函数f(x)=x+在区间(0,1)上单调递减. g(x)= 2. 函数y=x+的值域是(　　) A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.[,+∞) y=x+ f(x)= R(x)= 从而f (x)= R(x)= $