3.1.2 函数的表示法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法（解析法、列表法、图象法）及分段函数，通过基础梳理衔接函数概念，以例题讲解搭建从定义到应用的学习支架，助力学生系统掌握知识脉络。 其亮点在于融入思维导图整合知识，通过基础、中档、拔高分层训练对接高考，结合分段函数求值等例题培养分类讨论的数学思维，借助图象变换提升数形结合能力。学生能深化理解，教师可实现一体化教学，提升效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法 本节学习函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，了解分段函数的概念，会求分段函数解析式与函数值，体会数形结合，提升分类讨论的数学思维 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括102张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数的表示法 表示法 含义 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 教材帮 4 辨析比较 三种表示法的优、缺点 教材帮 5 特别提醒 （1）并不是所有的函数都能用解析式 表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如 列表法虽在理论上适用于所 有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列 图3.1.2-1 表法只能表示函数的一个概况或片段. （2）函数图象的形状可以是一些点、一些线段、一段曲线等,但并不是任何一个图 形都是函数图象. 图3.1.2-1就不是函数图象，因为对于某些 的值，可能有两个或多 个 值与之对应,这不符合函数的定义. 教材帮 归纳总结 用描点法作函数图象的步骤 注意:若图象是“点”，则不需要“连线”这一步骤. 教材帮 7 例1 已知完成某项任务的时间与参加此项任务的人数之间适合关系式 ， 当时，；当时， ，且参加此项任务的人数不能超过20． （1）写出函数 的解析式； 【解析】由题设条件知，因为，且为正整数，所以函数 的定义域是 ， ． 当时，，当时， ，代入关系式得 解得 所以 . 教材帮 8 （2）用列表法表示此函数； 【解析】列表如下. 1 2 3 4 5 197 100 68.3 53 44.2 6 7 8 9 10 38.7 35 32.5 30.8 29.6 11 12 13 14 15 28.8 28.3 28.1 28 28.1 16 17 18 19 20 28.3 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． 教材帮 9 （3）画出函数 的图象． 【解析】如图3.1.2-2，函数 的图象是由20个点组成的一个点列． 图3.1.2-2 （本题中函数的定义域是不连续的，因此作图时应注意函数图象是一些点，而不是曲线） 教材帮 10 知识点2 分段函数 1 分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样 的函数称为分段函数（分段函数是一个函数，而不是几个函数）. 知识剖析 1.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应 关系. 2.分段函数在书写时将各段函数关系写在大括号右边，每段写一行，并且必须指明 各段函数自变量的取值范围. 3.分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集.注意各段自变量取值范围的交集 为空集. 4.分段函数的值域是各段函数值域的并集. 教材帮 11 2 分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几部分组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义 区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点 （若端点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心点表示），将 每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. 特别提醒（1）分段函数是一个函数，作图时要将各段函数图象画在同一直角坐标系中. （2）在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出图象，再用实 线保留在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图，先虚后实”. 教材帮 12 例2 ［教材改编P74 T13］画出函数 （该函数也常称为取整函数） （表示不大于 的最大整数）的图象,并求其值域. 教材帮 13 【解析】 图3.1.2-3 函数图象如图3.1.2-3所示. （画图时，要严格按照定义域分段） 数形结合可知函数的值域为整数集，即 . 教材帮 14 知识点3 函数的图象变换拓展点 1 平移变换 其中, 简记为“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”. 教材帮 15 2 对称变换 3 翻折变换 教材帮 16 图3.1.2-4 例3 已知函数的图象如图3.1.2-4所示，则 的 图象为( ) A A. B. C. D. 【解析】将变换分为两个过程： 的图象的图象即 的图象. 教材帮 17 方法帮丨解题突破 题型1 求函数的解析式 类型1 已知函数的类型，求函数的解析式 例4（1）已知一次函数满足，求 的解析式. 【解析】设 ,则 , 于是有解得或 所以或 . 18 （2）已知二次函数满足，,，求 的解析式. 【解析】设 ， 由题意得解得 故 . 19 已知函数分别为一次函数和二次函数，用待定系数法设出函数解析 式,求出参数即可. 二次函数解析式的三种形式及适用情况 形式 解析式 适用情况 一般式 . 已知抛物线上三点的坐标 时，常设一般式. 顶点式 , 为顶 点坐标）. 已知抛物线的顶点坐标或对 称轴时，常设顶点式. 交点式 ,, 是 方程 的两个根）. 已知抛物线与 轴的交点情 况时，常设交点式. 解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式. 20 解题通法 待定系数法求函数解析式 已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法. （1）设出所求函数含有待定系数的解析式，如一次函数的解析式设为 ,反比例函数的解析式设为 ,二次函数的解析式 设为 . （2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组. （3）解方程或方程组，得到待定系数的值. （4）将所求待定系数的值代回所设解析式. 21 练变式1 (2026·山东省淄博市检测)已知二次函数满足， ， 且 的最大值是8，则此二次函数的解析式为_____________________． 【解析】由题意得 ， 则可得图象的对称轴方程为 ， 又 的最大值是8， 可设二次函数 （根据前面分析巧妙设出解析式的形式， 减少未知数）， 又函数图象过点，则有，得 ，则 ． 22 类型2 已知的解析式，求 的解析式 例5 已知,求函数 的解析式. 已知求有两种思路：一是将 视为一个整体，应用数 学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端配凑成含 的形式进行求解. 【解析】方法1：（换元法） 令，,则 ，所以 , 即 . 方法2：（配凑法） 因为 （配凑出 ， 方便整体替换）,所以,即 . 23 解题通法 换元法、配凑法求函数解析式 已知，求 ，有两种方法. （1）换元法 即令，解出，代入中，得到一个含的解析式，再用替换 ，便得到 的解析式. （2）配凑法 即从的解析式中配凑出,用来表示,然后将解析式中的用 代 替即可. 24 练变式2 设函数,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】令，得，即 ， ． 25 类型3 求复合函数的解析式 例6 已知函数， 求： （1） 的解析式； 【解析】 . （2） 的解析式； 【解析】当时， ， 则 . 当时， ， 则 . 综上， 26 （3） 的解析式. 【解析】当，即时，解得或 ， 此时 ； 当，即时，解得 ， 此时 . 综上， 27 求复合函数的解析式，只需将函数解析式中的自变量 替换为即可；若为分段函数，则同样分段表示 的解析式. 求的解析式的实质就是将解析式及定义域中的 替换 为，即 28 类型4 已知图象求函数解析式 例7 根据图3.1.2-5所示的函数 的图象，写出函数的解析式. 图3.1.2-5 图中给出的图象其实是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解 析式分别求解即可. 29 【解析】当时，函数 的图象是一条线段（右端点除外） （根据具体的图象设出相应的函数解析式），设，将 ， 分别代入，可得 ； 同理，当时，可设，将， 分别代入， 可得 ； 当时， . 综上所述， 30 由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，观察 各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围. 31 解题通法 已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式，当自变量在不同的区间上变化时，函数 的 解析式不同，应分段求解.此时根据图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解.写 解析式时要注意各区间端点的值，做到不重不漏. 32 类型5 求抽象函数的解析式 （1）消元法 例8（1）已知函数满足，求 的解析式. 【解析】在已知等式中，将换成 ， 得 ，与已知方程联立， 得消去 , 得 . 33 （2）已知,其中，求 的解析式. 【解析】在原式中以替换,得 , 于是得 消去,得 . 故函数的解析式为, . 34 观察所给式子的结构特征，自变量互为倒数关系或互为相反数关系， 利用这两种关系可列出与原式不同的方程，通过构建方程组的方法来求解.如（1） 中要求函数的解析式，则必须消去，因此需要再寻找一个方程将换成 ， 构成方程组，消去得.类似于（1）的思路，利用与 的关系，再列一个方 程，通过构建方程组即可求解（2）. 35 解题通法 消元法（或解方程组法）求函数解析式 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的 ，得 到关于及的方程组，解方程组即可求出 . 练变式3 (2026·重庆市第八中学校月考)定义在上的函数 满足 ，则 的值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.8 【解析】因为 ①， 所以令，可得 ②. 得，所以 ， 所以 . 36 （2）赋值法 例9 设是上的函数，且满足,并且对任意的实数, 都有 ，则 的解析式为_________________. 函数方程中含有两个变量与，由于，的任意性，欲求 ，则 需消除一个变量，结合条件，所以令或均可求 的解析式. 【解析】方法1：令，则 ，所以 . 方法2：令，得，即 ， 将用替换得 . 37 解题通法 赋值法求函数解析式 当所给的函数方程中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这 两个变量相等，化归为一个变量,再根据已知条件求出函数解析式.注意，此方法仅能 解决较为特殊的函数方程问题. 38 练变式4 (2026·吉林省梅河口市第五中学期末)已知函数满足， ， ，且，则 ( ) D A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】令，可得，解得 . 因为，所以，解得 . 令，可得，即 ， 则 . 39 类型6 求实际问题中的函数解析式 例10 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地均采用了价格调控等手段来达到节约 用水的目的．某市用水收费的标准是：水费基本费超额费 定额损耗费．若每月 用水量不超过最低限量，则只付基本费8元和每月的定额损耗费 元；若用水量 超过，则除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付 元的超额 费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支 付费用见下表，根据表中的数据求，， ． 月份 用水量/ 水费/元 1 9 9 2 15 19 3 22 33 40 给什么得什么 题中给出两个信息：①某市用水收费标准（水费基本费超额费 定额损耗费），由此我们可以列出含有，， 的等式；②用水量 实施阶梯收费，用水量不超过最低限量与超过 ，收费标准 不同，由此我们可以列出分段函数 来表 示月支付费用与月用水量 的函数． 41 求什么想什么 题中要求，，的值，由题意可知，从而有 ； 从表中还可以得知2月份、3月份的费用均大于13元，可列等式 解得及 . 差什么找什么 考虑，即1月份用水量超过最低限量 时，此时有 ，即，这与 相矛盾，所 以，从而1月份的支付费用应为，即 ． 故，， . 续表 42 【解析】设月用水量为，当月支付费用为 元，则 由题意知，， . 从表中知，2月份、3月份的费用均大于13元（包含基本费与定额损耗费），故用水 量，均大于最低限量 ， 将 分别代入②式中, 得解得 ， ③. 43 若1月份用水量超过最低限量，即 ， 将代入②式中得 ， 即，这与③式相矛盾， . 月份的支付费用应为，即 . 故,, . 题型2 分段函数 类型1 分段函数求值 例11 已知函数 （1）求 的值； 【解析】, ， ，（从内到外依次求值） . 45 （2）若，求实数 的值; 【解析】当时，，（注意检验的值是否在前面 的范 围内） ； 当时，， ; 当时， , （舍去）. 综上，或 . 46 （3）若，求实数 的值. 【解析】令，则 . 当时，， （舍去）； 当时，， ; 当时，, （舍去）. 综上， . 当时， . 当时， ，无实数解； 当时，， ; 47 当时，, （舍去）. 当时， . 当时，， （舍去）； 当时， ，无实数解; 当时，, . 综上，或 . （1）含有多层“ ”，由内到外，逐层求值；（2）利用分段函数各段 中自变量的取值范围对分类讨论，建立关于的方程，解方程求 ；（3）通过换元， 令，则，问题转化为（2）型，求的值，再由求得 的值. 49 例12 (2026·四川省泸县第五中学开学考试)已知 则 ( ) B A. B.4 C.2 D. 当时， ,由此可不断增大自变量的值，直至大于 0，即可通过 求值. 【解析】 只要，都有 , , 50 类型2 分段函数与不等式 例13 函数，若，则 的取值范围是 __________________. 51 【解析】解析当时，，解得，所以 （务必将不等式的解集与 求交集）； 当时，，解得，所以 ； 当时，，解得，所以 . 综上，的取值范围为 . 52 解题通法 1.求分段函数的函数值的方法：先确定自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该 段的解析式求值.求 的值时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定 义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验，对不在该段范围内的解应 舍去. 3.已知分段函数的函数值满足给定的不等关系，求自变量的取值范围的方法：（1） 依据分段函数的各段对自变量进行分类讨论；（2）根据函数值的表达式即得自变量 所满足的不等关系；（3）解不等式并将其解集与分类讨论的范围求交集；（4）最 后将求得的各类自变量的取值范围求并集. 53 练变式5 ［多选题］(2026·湖南省长沙市雅礼中学检测)已知函数 则下列关于函数 的结论正确的是( ) BC A.的值域为 B.若，则的值是 C. D.的解集为 54 【解析】当时，，；当时， ， ，故的值域为 ，A错误. 当时，令，解得；当 时，令 ，无解.故 ,B正确. ，C正确. 当时，令，解得；当 时， 令，解得.故的解集为 ，D错误.故 选 ． 55 题型3 函数图象的相关问题 类型1 画函数的图象 例14 作出下列函数的图象： （1） 56 【解析】先用虚线画出一次函数的图象，取 上的一段用实线表 示；再用虚线画出二次函数的图象，取 上的一段用实线表示;最 后用虚线画出一次函数的图象，取上的一段用实线表示.函数 的图象如图3.1.2-6实线所示. 图3.1.2-6 图3.1.2-7 57 （2）， . 【解析】先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把 轴下方的部分翻折到 轴上方， 并截取在区间 上的部分，如图 3.1.2-7所示. （注意区间端点，时，图象用空心点表示， 时，图象用实心点表示） 58 作出函数 的图象. 当时，，当时， ，故 作出函数图象如图3.1.2-8. （或利用翻折变换作出函数图象） 图3.1.2-8 59 解题通法 （1）画二次函数 的图象时，先用配方法化成 的形式其中， ，确定抛物线的开口方向 开口向上，开口向下、对称轴直线和顶点坐标 ，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. （2）作分段函数的图象的方法是“分段作图,先虚后实”. （3）含绝对值符号的函数的图象的作法，如的图象及 的图象的 作法有两种：①根据去绝对值的法则，先分别将及 写成分段函 数的形式，再作图；②根据函数图象的翻折变换作图. 60 练变式6 已知函数 （1）求， 的值； 【答案】由已知可得，， ． 61 （2）利用描点法直接在图3.1.2-9所给坐标系中作出 的简图（不用列表）． 图3.1.2-9 62 【答案】在坐标系中描点，，，， ， 作出 的简图,如图D 3.1.2-1所示. 图D 3.1.2-1 63 类型2 图象的识别 例15 函数 的大致图象是( ) C A. B. C. D. 64 【解析】方法1：易得函数的定义域为，排除A，B；当 时， ,选项D中的图象不符合，排除D.故选C. 方法2：函数的定义域为，即 两段均为一次项 系数为正的一次函数图象，所以选项C对应的图象正确. 65 解题通法 解决图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围；根 据图象的差异选择特殊点，特殊点一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高（低）点. 66 练变式7 [新定义·⊕运算]定义运算则函数 的图象 是( ) B A. B. C. D. 67 【解析】根据题意，运算其计算结果为实数， 中的最大值， （明确新定义中运算的意义是关键点） 若，解得或或 ， 若，解得且 ， 故 则 的图象与B选项对应，故选B． 68 类型3 利用函数图象求值域 例16 设,则函数 的值域为__________. 去掉绝对值符号，把它写成分段函数的形式，画出图象，由图象的 最高点和最低点确定值域. 69 【解析】当时， ; （【分类依据】令,，得, ，就以0,1为分类标准点） 当时， ; 当时， . 故 图3.1.2-10 根据函数解析式作出函数图象，如图3.1.2-10所示. 由图象可以看出，函数的值域为 . 70 解题通法 函数图象的综合应用 函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、 不等式的解集以及图象的交点个数等问题.应用时注意先将所给的问题转化为函数问 题，再通过画函数的图象，借助图象的直观性来处理. 71 类型4 图象信息题 例17 (2026·上海市南洋中学测试)向高为 的水瓶中注水，注满为止， 如果注水量与水深 的函数关系的图象如图 3.1.2-11所示，那么水瓶的形状是 ( ) B 图3.1.2-11 A. B. C. D. 72 【解析】观察图象，根据图象的特点，发现水深时，注水量 （理解函数 图象,发现注水量与水深的关系），即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一 半，A中,C，D中 ，故排除A，C，D.（通过特殊位置来分析排除） 73 子题1 向高为的水瓶中注水，注满为止,如果注水量与水深 的函数关系的图象如 图 3.1.2-12所示，那么水瓶的形状是( ) A 图3.1.2-12 A. B. C. D. 【解析】由所给函数关系的图象可知，当水深 时，实际注水量小于水瓶容积的 一半，只有A选项符合此要求． 74 子题2 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深 的函数关系的图象 如图3.1.2-13所示，那么水瓶的形状是( ) D 图3.1.2-13 A. B. C. D. 【解析】由题图可得，注水量与水深之间成正比例关系，因此随着水的深度变高， 注水量也是均匀升高，故水瓶的形状是圆柱. 75 解题通法 解决图象信息题的有效方法——定性分析法 所谓定性分析法，就是对问题所具有的本质属性进行定性描述，也就是对问题的发 展趋势进行大概的分析，根据分析的结果得出相关的结论.用定性分析法来分析和解 决问题的优点在于它避免了定量计算法中烦琐的计算，我们应学会用定性分析法来 分析和解决问题. 76 练变式8 [教材改编P72练习T1](2026·河南省漯河市高级中学月考)某同学到长城旅游， 他骑车由宾馆前往长城，前进了 ，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，途 中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离 起点（宾馆）的距离与时间 的函数图象大致为 ( ) C A. B. C. D. 77 【解析】第一段时间，该同学骑车由宾馆往长城方向前进了 ，则该同学离起点 （宾馆）的距离 越来越远；第二段时间，休息了半小时，随时间变化，该同学离起 点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点（宾馆）的距离与时间 的函数图象 应是一条横线（而不是一个点）；第三段时间，原路返回，距离起点越来越近；第 四段时间，掉转车头继续向长城方向前进，该部分对应的图象和第一段时间的相似. 因此只有C选项符合题意. 78 新考法 思维创新 例18 ［多选题,新定义·界函数］(2026·河北省辛集中学期中)设函数 的定义 域为，对于任一给定的正数，定义函数则称函数 为 的“界函数”．若给定函数, ，则下列结论成立的是 ( ) ACD A. B. C. D. 79 图3.1.2-14 【解析】由题意知，当, 时，有 作 及 的图象，如图3.1.2-14所示. 80 选项 思维过程 结论 A ,, , 成立 B , 不成立 C , 成立 D , 成立 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·福建省莆田市期中)下列图象可以表示以 为定义域，以 为值域的函数的是( ) C A. B. C. D. 【解析】选项A中的值域不满足条件；选项B中的定义域不满足条件；选项D不是函 数图象．故选C． 练习帮 82 2.(2026·安徽省皖南八校期中) 设函数则 ( ) D A. B.3 C. D. 【解析】由题意得，从而 . 3.已知函数,若,则函数 的解析式为( ) A A. B. C. D. 【解析】， . 练习帮 83 4.(2026·黑龙江省哈尔滨市第三中学校月考)函数 的图象为( ) C A. B. C. D. 【解析】函数中，，解得，因此函数 的定义域为 ，排除；当时， ，则 ，此时函数图象在 轴上方，排除B，选项C符合题意. 练习帮 84 5.［多选题］ (2026·广东省佛山市月考)已知一次函数满足 ,则 的解析式可能是( ) AC A. B. C. D. 【解析】设 ，则 ，因为 , 所以解得或 所以或.故选 练习帮 85 6.［多选题，新考法·数学文化］ 数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函 数，分别定义如下：对任意的,函数 称为狄利克雷函数； 记为不超过的最大整数，则称 为高斯函数.下列关于狄利克雷函数与高 斯函数的结论，正确的是( ) ABD A. B. C. D.的值域为, 练习帮 86 【解析】由高斯函数的定义知，， 都是整数，即都是有理数，所以 ，即A正确. 若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则 也是无理数， ，即B正确. 取，则， , 所以 ，即C错误.（取特殊值验证，只要有一个值不满足，则 不成立） 因为的值域是，，且， , 所以的值域为，，即D正确．故选 ． 练习帮 87 7.(2026·辽宁省丹东市期末)已知若,则 _______. 或3 【解析】当时，，得到 ，满足条件； 当时，，得到或 , 因为，所以.综上， 或3. 练习帮 88 8.(2026·吉林省长春市第二实验中学月考)已知函数 （1）求, ； 【答案】, . （2）若, 求 的值； 【答案】当时，由，得，解得 ; 当时，由，得，解得 ; 当时，由，得，解得 ． 综上，的值为 或1或4. 练习帮 89 （3）在图3.1.2-1给定的坐标系中，作出函数 的图象． 图3.1.2-1 【答案】图象如图D 3.1.2-1所示， 图D 3.1.2-1 练习帮 90 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·山东省青州第一中学段考)已知定义域为的函数 满足 ，则 ( ) B A.102 B.101 C.100 D.99 【解析】中，令得 ，解得 或1. 令得，若，上式整理得，但 不一定等于0， 故不成立.若，则 ，此时 ， ，满 足，故 .故选B 练习帮 91 10.(2026·天津市静文高级中学月考)设区间A=， ，函数 若，且，则 的取值范围是( ) A A.(，) B. C.， D.(， ) 练习帮 92 【解析】， , ， , ． （此时,把当成一个变量，满足 ） ，， ． 又， ． 练习帮 图3.1.2-2 11.(2026·北京市东直门中学段考)如图3.1.2-2，函数 的 图象为折线段，则不等式 的解集是 ( ) D A. B. C. D. 练习帮 94 【解析】函数的图象为折线段 ， 故可设其中, . 将,,分别代入 的解析式， 得，， ， 所以， ， 所以 当时，不等式可化为 ， 即，故 （舍去）； 当时，不等式可化为 ， 即，故 . 所以不等式的解集是 . 练习帮 95 12.已知函数满足，则 的值为___. 【解析】在中，将换成 得 ，即 , 由 消去，得 , ． 练习帮 96 13.(2026·天津市滨海新区塘沽第三中学月考)已知 ，函数 当时，不等式的解集是______;若函数 的图象与轴恰有2个交点，则 的取值范围是_______________. 【解析】当时，函数不等式 等价于 或即或 ，所以不等式的解集为 ． 练习帮 97 图D 3.1.2-2 易知函数的图象与 轴交点的横坐标为4， 函数的图象与 轴交点的横坐标分 别为1,3，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，如 图D 3.1.2-2所示， 要使函数的图象与 轴恰有2个交点，则只能有以下两 种情形：①两个交点的横坐标分别为1,3此时 ； ②两个交点的横坐标分别为1,4此时 .（之所以两 个交点的横坐标不是3和4，是因为取到3，就一定能取到1，此时函数的图象与 轴有3个交点） 综上， 的取值范围为 . 练习帮 98 14.(2026·江苏省常州市期中)如图3.1.2-3，已知等腰直角三角形纸片 的腰长为3， 正方形纸片的边长为1，其中，， 三点在同一条直线上.把正方形纸片向左 平移个单位长度，.设两张纸片重叠部分的面积为 . 图3.1.2-3 （1）求重叠部分的面积关于的函数解析式 ； 练习帮 99 图D 3.1.2-3 【答案】如图D 3.1.2-3，延长交于点 . 因为等腰直角三角形纸片的腰长为3，所以 . 当时， ; 当时， ; 当时， . 综上， 练习帮 100 （2）作出函数的图象，并根据图象写出函数 的值域； 【答案】作出 的图象，如图图D 3.1.2-4所示. 图D 3.1.2-4 由图象可知此函数的值域为 . 练习帮 101 （3）若，求实数 的值. 【答案】由（1）知，在上， . 在上， , 整理得 , 解得（舍去）或 . 综上，或 . 练习帮 102 $