3.1.2　第2课时　函数的表示法(二)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分段函数，通过绝对值函数实例引入概念，衔接函数表示法前序知识，设置概念辨析、分层典例、解题策略与即时练习等学习支架，帮助学生逐步理解分段函数本质。 其亮点在于以数学抽象、直观想象和数学建模为核心，通过移动套餐计费等实际问题建模，结合“整段作图分段取”等结构化解题策略，提升学生运算与建模能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第2课时　函数的表示法(二) 【学习目标】 1.通过具体实例,了解简单的分段函数.(数学抽象) 2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.(数学运算、直观想象) 3.能在实际问题中列出分段函数的解析式,并能解决有关问题.(数学建模) 分段函数 像y=这样的函数称为_________. [思考] 分段函数y=中,x与y之间有什么特点? 提示:x在不同的范围内取值时,y的对应关系不同. 分段函数 [点睛] 分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.( ) (2)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集.( ) 提示:分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集. √ × (3)分段函数的定义域一定要分开写成几个集合的形式.( ) 提示:分段函数的定义域只能写成一个集合的形式. (4)分段函数的图象,一定不是连续的曲线.( ) 提示:分段函数的图象也可能是连续的,如函数y=的图象. × × 类型1 分段函数求值(范围)问题(数学运算) 【典例1】(类题·节节高) 已知函数f(x)=, (1)f(2)=　　　　　,f(f(2))=　　　　　;  (2)若f(a)=8,则实数a=　　　　　;  (3)若f(x)>3,则x的取值范围为　　　　　.  【解析】(1)f(2)=-5=-1,f(f(2))=f(-1)=(-1)2+2×(-1)=-1. (2)若a≤1,则f(a)=a2+2a=8,所以a=-4或a=2(舍去);若a>1,则f(a)=-5=8, 所以a=(舍去). (3)若x≤1,则f(x)=x2+2x>3,所以x<-3或x>1(舍去);若x>1,则f(x)=-5>3, 所以0<x<1(舍去). 答案:(1)-1　-1　(2)-4　(3)(-∞,-3) 【解题有招】 1.分段函数求值的关注点 (1)注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得. (2)含有多层“f”的问题,按照“由里到外”的顺序,层层处理. (3)已知函数值求相应的自变量值时,应在各段中分别求解. 2.解分段函数不等式的注意点 (1)注意分类讨论. (2)最后结果取并集. 【即学即练】 (2026·黄冈高一检测)已知函数f(x)=,则f(-7)=(　　) A.5　 B.12　 C.7　 D.2 【解析】选A.由题可知f(-7)=f(-7+3)=f(-4),f(-4)=f(-4+3)=f(-1), f(-1)=f(-1+3)=f(2),f(2)=22+1=5. 所以f(-7)=f(-4)=f(-1)=f(2)=5. √ 类型2 分段函数的图象及应用(直观想象) 角度1　画分段函数的图象 【典例2】已知函数f(x)= (1)作出函数f(x)的大致图象; (2)结合图象,求f(x)≤8的解集. 【解析】(1)作出函数f(x)的图象如图所示: (2)当x∈(-∞,0)时,f(x)=≤8恒成立; 当x∈[0,2)时,f(x)=-x≤8恒成立; 当x∈[2,+∞)时,f(x)=x2-3x≤8, 即x2-6x-16≤0,得2≤x≤8. 综上所述,f(x)≤8的解集为(-∞,8]. 【解题有招】 画分段函数图象的策略 (1)整段作图分段取:先不考虑定义域的限制,用虚线分别作出各段图象,再用实线保留定义域内的图象. (2)端点实虚要明确:一定要明确区间端点是否包含在内,且用实心点或空心圈表示. 角度2　分段函数图象的应用 【典例3】(2026·海南高一检测)已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=-x2+2x+1. (1)在图1的坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者, 记作m(x)=min,分别用图象法(图2) 和解析法表示函数m(x); (3)写出函数m(x)的最大值. 【解析】(1)f(x),g(x)的图象如图所示, (2)令f(x)=g(x),即|x-1|=-x2+2x+1, 当x≥1时,x-1=-x2+2x+1,解得x=2; 当x<1时,1-x=-x2+2x+1,解得x=0. 则当x<0时,g(x)<f(x);当0<x<2时,f(x)<g(x); 当x>2时,g(x)<f(x),所以m(x)=. 图象法表示m(x)如图: (3)函数m(x)的最大值是1. 【解题有招】 分段函数图象应用的解题策略 (1)在同一坐标系中作出两个函数的图象,观察图象,图象在上方的相应函数值大,图象在下方的相应函数值小. (2)根据所求选择上方或下方的图象,就得到分段函数的图象,通过图象的最高点、最低点的函数值可以求函数的值域. 【即学即练】 已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x); (2)求函数φ(x)的定义域、值域. 【解析】(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义, 可得函数φ(x)的图象如图②. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图②,得出φ(x)的解析式为φ(x)= (2)由图②知,φ(x)的定义域为R,φ(1)=1, 所以φ(x)的值域为(-∞,1]. 类型3 分段函数的实际应用(数学建模) 【典例4】某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择: 套餐一:零月租,按照0.4元/分计算话费; 套餐二:月租为40元,包含通话100分钟,若通话时长超过100分钟,则按照0.2元/分计算话费. (1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系. (2)如果某用户月通话时长为200分钟,则他选择哪个套餐会更划算? 【解析】(1)设通话时长为x(分), 设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系为y=f(x),由题意可知:y=f(x)= 0.4x(x≥0); 设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系为y=g(x), 由题意可知:y=g(x)==. (2)如果该用户用套餐一,当用户月通话时长为200分钟时,他的话费为f(200)=0.4×200=80(元); 如果该用户用套餐二,当用户月通话时长为200分钟时,他的话费为g(200)=0.2×200+20=60(元),显然80>60,因此他选择套餐二会更划算. 【解题有招】 分段函数实际应用问题的两个关注点 (1)应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数. (2)注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”,一定要合理. 【即学即练】 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 km以内(含5 km),票价2元; (2)5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算). 如果某条线路的总里程为20 km,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 【解析】设票价为y元,里程为x km. 由题意可知,自变量x的取值范围是(0,20]. 由票价的制定规则,可得到以下函数解析式. y=, 函数图象如图. $