25.1 一元二次方程的概念 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，构建从概念理解到判断方程类型、求参数值、化一般形式再到实际应用的学习支架。 资料通过知识梳理突出重点易错点，如强调a≠0的关键作用，典例精析分类呈现判断、参数求解等题型并附方法点拨，培养学生数学思维与表达能力。课中辅助教师高效授课，课后同步练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

初中数学（RJ）九年级上册 25.1 一元二次方程的概念 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解一元二次方程的概念，掌握其一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)；能根据定义判断方程是否为一元二次方程，能在具体问题中由已知条件列出一元二次方程；了解一元二次方程的解（根）的意义。 二、知识梳理 知识点 1 　一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（次）的整式方程叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 （a、b、c 为常数，a≠0；a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项）。 ★ 重点　一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的 4 个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数 a≠0。 ⚠ 易错　a=0 时方程退化为 bx+c=0（一元一次方程），不再是一元二次方程；判别时必须先验证 a≠0。 ◆ 方法　整理为一般形式时，先去分母、去括号、移项、合并同类项；注意 b、c 可为 0（但 a 不可）。 知识点 2 　一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 ★ 注意　一元二次方程最多 2 个实数根。 ⚠ 易错　"方程无解" 与 "方程无实数根" 是不同概念：解可能在复数范围内存在；初中阶段默认在实数范围内讨论。 ◆ 方法　求根方法一览：直接开平、配方法、公式法、因式分解法，具体在25.2讲授。 三、典例精析 题型 1 　判断方程是否为一元二次方程　 ★ 点拨　紧扣 a≠0 与"只含一个未知数、未知数最高次数为 2"两个要点。 1．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025秋•常宁市期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【解答】解：A、y﹣2x＝0，方程中有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故选项C符合题意； D、2x3﹣2＝0，方程中未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2026春•岚山区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x2﹣3xy＝﹣1 C． D．3x+1＝2x﹣5 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【解答】解：A、选项方程是一元二次方程，符合题意； B、选项方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、选项方程的分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、选项方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 题型 2 　根据一元二次方程的定义求未知字母的值　 ★ 点拨　由 a≠0 求出参数；用"最高次数为 2"消除高次项；用"只含一个未知数"消多余字母。 1．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【答案】（1）k≠±1；（2）k＝﹣1． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 2．（2026春•姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】首先利用配方法把﹣2m2+8m﹣12转化为﹣2（m﹣2）2﹣4的形式；然后判断﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4，根据一元二次方程的概念，即可解答． 【解答】解：∵﹣2m2+8m﹣12＝﹣2（m﹣2）2﹣4，且对于任意实数m，总有（m﹣2）2≥0， ∴﹣2（m﹣2）2≤0， ∴﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4， ∴对于任意实数m，代数式﹣2m2+8m﹣12的值总不等于0， ∴对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 3．（2026春•顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是 　 ． 【答案】m＝±3． 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得|m|﹣1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝±3， 故答案为：m＝±3． 题型 3 　化一元二次方程的一般形式并确定各项系数　 ★ 点拨　先去分母→去括号→移项→合并同类项，a、b、c 可正可负可为零（但 a≠0）。 1．（2025秋•武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　 　 ． 【答案】﹣4． 【分析】利用一元二次方程的一般形式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣1）（x+4）＝3， x2+4x﹣x﹣4＝3， x2+4x﹣x﹣4﹣3＝0， x2+3x﹣7＝0， ∴b＝3，c＝﹣7， ∴b+c＝3+（﹣7）＝﹣4， 故答案为：﹣4． 2．（2026春•同步）填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ①2x2＝7x ②5﹣3x2＝6x ③（x+1）（x﹣3）＝3x+4 【答案】①2x2﹣7x＝0；2；﹣7；0；②3x2+6x﹣5＝0；3；6；﹣5；③x2﹣5x﹣7＝0；1；﹣5；﹣7． 【分析】利用等式的性质和一元二次方程的有关概念解答即可． 【解答】解：方程2x2＝7x化成一般形式为：2x2﹣7x＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为﹣7，常数项为0． 故答案为：：2x2﹣7x＝0；2；﹣7；0； 方程5﹣3x2＝6x化成一般形式为：3x2+6x﹣5＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为﹣5． 故答案为：3x2+6x﹣5＝0；3；6；﹣5； 方程（x+1）（x﹣3）＝3x+4化成一般形式为：x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数为1，一次项系数为﹣5，常数项为﹣7． 故答案为：x2﹣5x﹣7＝0；1；﹣5；﹣7． 3．（2026春•单元）写出下列各个方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x（x﹣2）＝4x﹣1； （2）（y﹣3）（2y+5）＝2﹣y； （3）5x2﹣2＝2（x﹣1）； （4）5a（a﹣2）＝10a． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将方程化成一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【解答】解：（1）整理得 3x2﹣10x+1＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，﹣10，1； （2）整理得 2y2﹣17＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，﹣17； （3）整理得 5x2﹣2x＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，﹣2，0； （4）整理得 5a2﹣20a＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，﹣20，0； 题型 4 　根据一元二次方程的解求值　 ★ 点拨　把解代入方程化为字母方程；若解给出两值则解两个方程或联立。 1．（2026春•安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 【答案】（1）10；（2）﹣3． 【分析】（1）将x＝t代回方程并将其变形得t2﹣2t＝2，进而即可求解； （2）由（1）可得t2＝2t+2，将t3变形为2t2+2t，再将其代回原式即可求解． 【解答】解：（1）当x＝t时，t2﹣2t﹣2＝0 t2﹣2t＝2， ∵3t2﹣6t+4＝3（t2﹣2t）+4， ∴原式＝3×2+4 ＝10； （2）由（1）得，t2﹣2t＝2， ∴t2＝2t+2， ∴t3＝t•t2 ＝t（2t+2） ＝2t2+2t， ∴原式＝（2t2+2t）﹣4t2+2t+1 ＝﹣2t2+4t+1 ＝﹣2（t2﹣2t）+1 ＝﹣2×2+1 ＝﹣3． 2．（2025秋•普宁市期末）若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1 【答案】B 【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x+（a+2）x＝﹣（a+1）的解， ∴1+（a+2）×1＝﹣（a+1）， ∴a＝﹣2， 故选：B． 3．（2026•长沙二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　 　 ． 【答案】﹣1012． 【分析】可先将方程的解代入一元二次方程，求出含a、b的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【解答】解：由条件可知4a+2b﹣2026＝0， ∴2a+b＝1013， ∴1﹣2a﹣b＝1﹣（2a+b）＝1﹣1013＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 题型 5 　根据实际问题列出简单的一元二次方程 ★ 点拨　找出题设中的等量关系，用含 x 的代数式表示各量后列等式。 1．（2026春•同步）将一个容积为750cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式． 【答案】是；x2﹣15x+50＝0 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x， 则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）•x＝750． 整理，得x2﹣15x+50＝0． 该方程属于关于x的一元二次方程． 2．（2025秋•襄都区校级月考）按要求完成下列各小题． （1）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； （2）现有一面积为ym2的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【答案】（1）x2﹣11x+30＝0；（2）y＝x2+7x+10，常数项是10． 【分析】（1）根据两位数的表示方法，结合已知条件列出方程，再化为一般形式即可； （2）根据长方形面积公式列出关系式，即可解决问题． 【解答】解：（1）设个位数为x，则十位数为x﹣3， 根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x， 化成一般形式为：x2﹣11x+30＝0； （2）由题意得：y＝（x+5）（x+2）＝x2+7x+10， 即y＝x2+7x+10， 常数项是10． 3．（2024秋•青县期末）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？ 解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　 　 ； 方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　 　 ． 【答案】（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 【分析】方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可； 方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可． 【解答】解：方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240． 方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得 （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 四、同步练习 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若方程的两个根为 x1，x2，则 ，据此求解即可． 【解答】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 3．（2025秋•遂川县期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【解答】解：A：方程不是整式方程，不符合定义，不符合题意； B：∵当a＝0时，方程变为一次方程，∴不一定是一元二次方程，不符合题意； C：化简得x2+2x﹣1＝0，符合题意； D：展开得x3﹣3x2＝0，最高次数为3，∴不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 4．（2025秋•禹州市期中）已知（m+3）x|m|﹣1﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【答案】A 【分析】根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【解答】解：只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．则： ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴x的最高次数为2，即|m|﹣1＝2， 解得|m|＝3， 所以m＝3或m＝﹣3， 又∵二次项系数m+3≠0， 当m＝3时，m+3＝6≠0，满足， 当m＝﹣3时，m+3＝0，不满足， ∴m＝3， 故选：A． 5．（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 【答案】C 【分析】需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【解答】解：根据一元二次方程定义对各选项分析如下： A选项：代入后方程为6x﹣2＝2y2，含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为6x﹣2＝22，整理得6x﹣24＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为6x﹣2＝3x2，整理得3x2﹣6x+2＝0，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为6x﹣2＝x，整理得5x﹣2＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 6．（2025秋•玉溪期末）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，可知判别式Δ＝0，代入系数建立方程求解c的值． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×c＝0， ∴36﹣4c＝0， ∴4c＝36， ∴c＝9， 故选：C． 7．（2025秋•潮安区期末）若x＝1是方程x2+x+m＝0的一个根，那么m的值是　 ． 【答案】﹣2． 【分析】将x＝1代入方程求解 m即可． 【解答】解：由题意可得：12+1+m＝0，即2+m＝0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 8．（2025秋•闵行区校级期中）若关于x的方程（k﹣4）x|k|﹣2+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 ． 【答案】﹣4． 【分析】根据一元二次方程的定义得出k﹣4≠0且|k|﹣2＝2，再求出k即可． 【解答】解：由条件可知k﹣4≠0且|k|﹣2＝2， ∴k≠4，k＝±4， 因此k＝﹣4， 故答案为：﹣4． 9．（2025秋•上杭县期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2026+2a﹣b的值为 　 　 ． 【答案】2025． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2a﹣b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝2代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0得4a﹣2b+2＝0， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴2026+2a﹣b＝2026﹣1＝2025． 故答案为：2025． 10．（2026春•岳麓区校级期末）一元二次方程x2+x﹣2＝0的一次项系数是　 　 ． 【答案】1． 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣2＝0中，一次项系数是1． 故答案为：1． 11．（2026春•诸暨市期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的解，则2a+b﹣2026＝　 　 ． 【答案】﹣2022． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到4a+2b＝8，则2a+b＝4，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的解， ∴4a+2b﹣8＝0， ∴4a+2b＝8， ∴2a+b＝4， ∴2a+b﹣2026＝4﹣2026＝﹣2022． 故答案为：﹣2022． 12．（2026•岚山区二模）已知m是方程x2+x+2025＝0的实数根，则﹣m2﹣m+1的值为 　 　 ． 【答案】2026． 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到m满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【解答】解：由题意可知：m是方程的实数根， ∴将x＝m代入式子得 m2+m+2025＝0， ∴m2+m＝﹣2025， ∴﹣m2﹣m+1＝﹣（m2+m）+1＝2025+1＝2026． 13．（2026春•相山区校级月考）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人． 【分析】设每轮传染中平均每人传染x人，根据题意列出一元二次方程求解． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，根据题意得， （x+1）2＝169 解得x1＝12，x2＝﹣14（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有4+4×12＝52（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 14．（2025秋•全国）已知关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？ 【答案】（1）m＝3时，该方程为一元二次方程； （2）m＝1或m＝2或m＝0或m＝﹣1时，该方程为一元一次方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得：，解得：m＝3或m＝﹣1，m≠﹣1，即可得出答案； （2）分三种情况：①当最高次数指数等于1，且该项系数不等于0时，可得，求出m的值即可；②最高次项系数为0，一次项系数不为0时，可得，求出m值即可．③|m﹣1|＝0时，求出m值即可． 【解答】解：（1）要使关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5是一元二次方程， 则， 由|m﹣1|＝2，得m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2， 解得：m＝3或m＝﹣1， 由m+1≠0，得m≠﹣1， ∴m＝3时，该方程为一元二次方程； （2）分三种情况： ①当最高次数指数等于1，且该项系数不等于0， ∴， 由|m﹣1|＝1，得m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1， 解得：m＝2或m＝0， m＝2或m＝0都满足m+1≠0． ②最高次项系数为0，一次项系数不为0， ∴， 解得：m＝﹣1， 当m＝﹣1时，原方程变为﹣4x＝5是一元一次方程， ③|m﹣1|＝0时，m﹣1＝0， ∴m＝1， 原方程（1+1）x0+（1﹣3）x＝5， 即﹣2x＝5，是一元一次方程， 综上所述，m＝1或m＝2或m＝0或m＝﹣1时，该方程为一元一次方程． 15．（2025秋•全国）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4052a﹣3的值； （2）的值． 【答案】（1）﹣5；（2）2025． 【分析】（1）不直接解方程求a，而是从a2﹣2026a+1＝0变形得a2＝2026a﹣1，整体代入目标式．注意到4052＝2×2026，代入后a项恰好抵消，直接得常数﹣5． （2）分三步处理——①a2﹣2025a＝（a2﹣2026a）+a＝﹣1+a，凑出已知式简化；②a2+1＝2026a，代入分式得；③原方程两边同除以a得．三部分合并得2025． 【解答】解：（1）由方程a2﹣2026a+1＝0得a2＝2026a﹣1，整体代入： 2a2﹣4052a﹣3＝2（2026a﹣1）﹣4052a﹣3＝4052a﹣2﹣4052a﹣3＝﹣5； （2）由a2﹣2026a+1＝0得a2+1＝2026a， 且a≠0（否则0+1＝0，矛盾）， ， 又a2﹣2025a＝（a2﹣2026a）+a＝﹣1+a， 原式， 由方程a2﹣2026a+1＝0，两边同除以a（a≠0）： ， ∴原式＝2026﹣1＝2025． 16．（2026•西宁一模）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】，． 【分析】根据分式运算法则化简即可． 【解答】解：原式 ， ∵a是方程的解， ∴，即， 解得， ∴原式． 17．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 【答案】；． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 由题意得，x2+3x﹣2＝0， x2+3x＝2， x（x+3）＝2， ∴． 18．（2025秋•全国）关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）当m为何值时，方程为一元二次方程； （2）若该方程为一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求该方程的解，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝3； （2）m的值存在，当m＝﹣1时，x＝﹣1.25；当m＝0时，x＝﹣2.5；当m＝1时，x＝﹣1.5；当m＝2时，x＝2.5． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得|m﹣1|＝2且m+1≠0，解得m的值即可； （2）根据一元一次方程的定义分情况讨论并计算即可． 【解答】解：（1）已知关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5， 若方程为一元二次方程， 则|m﹣1|＝2且m+1≠0， 解得：m＝3； （2）若该方程为一元一次方程， ①|m﹣1|＝1且m+1+m﹣3≠0， 解得：m＝0或2， 当m＝0时，原方程为x﹣3x＝5， 解得：x＝﹣2.5； 当m＝2时，原方程为3x﹣x＝5， 解得：x＝2.5； ②|m﹣1|＝0， 解得：m＝1， 原方程化为2﹣2x＝5， 解得：x＝﹣1.5，符合题意； ③m+1＝0且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣1， 原方程化为﹣4x＝5， 解得：x＝﹣1.25； 综上，m的值存在，当m＝﹣1时，x＝﹣1.25；当m＝0时，x＝﹣2.5；当m＝1时，x＝﹣1.5；当m＝2时，x＝2.5． 19．（2024秋•沛县月考）关于x的一元二次方程a（x2+1）+10（x+2）+c＝0化为一般形式后为6x2+10x﹣1＝0．求a，c的值． 【答案】a＝6，c＝﹣27． 【分析】a（x2+1）+10（x+2）+c＝0展开后x2的系数等于6，常数项等于﹣1． 【解答】解：把一元二次方程a（x2+1）+10（x+2）+c＝0化为一般式后为ax2+10x+a+c+20＝0， 由题意知，a＝6，a+c+20＝﹣1， 解得c＝﹣27． ∴a＝6，c＝﹣27． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 25.1 一元二次方程的概念 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解一元二次方程的概念，掌握其一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)；能根据定义判断方程是否为一元二次方程，能在具体问题中由已知条件列出一元二次方程；了解一元二次方程的解（根）的意义。 二、知识梳理 知识点 1 　一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（次）的整式方程叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 （a、b、c 为常数，a≠0；a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项）。 ★ 重点　一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的 4 个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数 a≠0。 ⚠ 易错　a=0 时方程退化为 bx+c=0（一元一次方程），不再是一元二次方程；判别时必须先验证 a≠0。 ◆ 方法　整理为一般形式时，先去分母、去括号、移项、合并同类项；注意 b、c 可为 0（但 a 不可）。 知识点 2 　一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 ★ 注意　一元二次方程最多 2 个实数根。 ⚠ 易错　"方程无解" 与 "方程无实数根" 是不同概念：解可能在复数范围内存在；初中阶段默认在实数范围内讨论。 ◆ 方法　求根方法一览：直接开平、配方法、公式法、因式分解法，具体在25.2讲授。 三、典例精析 题型 1 　判断方程是否为一元二次方程　 ★ 点拨　紧扣 a≠0 与"只含一个未知数、未知数最高次数为 2"两个要点。 1．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025秋•常宁市期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【解答】解：A、y﹣2x＝0，方程中有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故选项C符合题意； D、2x3﹣2＝0，方程中未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2026春•岚山区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x2﹣3xy＝﹣1 C． D．3x+1＝2x﹣5 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【解答】解：A、选项方程是一元二次方程，符合题意； B、选项方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、选项方程的分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、选项方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 题型 2 　根据一元二次方程的定义求未知字母的值　 ★ 点拨　由 a≠0 求出参数；用"最高次数为 2"消除高次项；用"只含一个未知数"消多余字母。 1．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【答案】（1）k≠±1；（2）k＝﹣1． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 2．（2026春•姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】首先利用配方法把﹣2m2+8m﹣12转化为﹣2（m﹣2）2﹣4的形式；然后判断﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4，根据一元二次方程的概念，即可解答． 【解答】解：∵﹣2m2+8m﹣12＝﹣2（m﹣2）2﹣4，且对于任意实数m，总有（m﹣2）2≥0， ∴﹣2（m﹣2）2≤0， ∴﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4， ∴对于任意实数m，代数式﹣2m2+8m﹣12的值总不等于0， ∴对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 3．（2026春•顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是 　 ． 【答案】m＝±3． 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得|m|﹣1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝±3， 故答案为：m＝±3． 题型 3 　化一元二次方程的一般形式并确定各项系数　 ★ 点拨　先去分母→去括号→移项→合并同类项，a、b、c 可正可负可为零（但 a≠0）。 1．（2025秋•武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　 　 ． 【答案】﹣4． 【分析】利用一元二次方程的一般形式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣1）（x+4）＝3， x2+4x﹣x﹣4＝3， x2+4x﹣x﹣4﹣3＝0， x2+3x﹣7＝0， ∴b＝3，c＝﹣7， ∴b+c＝3+（﹣7）＝﹣4， 故答案为：﹣4． 2．（2026春•同步）填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ①2x2＝7x ②5﹣3x2＝6x ③（x+1）（x﹣3）＝3x+4 【答案】①2x2﹣7x＝0；2；﹣7；0；②3x2+6x﹣5＝0；3；6；﹣5；③x2﹣5x﹣7＝0；1；﹣5；﹣7． 【分析】利用等式的性质和一元二次方程的有关概念解答即可． 【解答】解：方程2x2＝7x化成一般形式为：2x2﹣7x＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为﹣7，常数项为0． 故答案为：：2x2﹣7x＝0；2；﹣7；0； 方程5﹣3x2＝6x化成一般形式为：3x2+6x﹣5＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为﹣5． 故答案为：3x2+6x﹣5＝0；3；6；﹣5； 方程（x+1）（x﹣3）＝3x+4化成一般形式为：x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数为1，一次项系数为﹣5，常数项为﹣7． 故答案为：x2﹣5x﹣7＝0；1；﹣5；﹣7． 3．（2026春•单元）写出下列各个方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x（x﹣2）＝4x﹣1； （2）（y﹣3）（2y+5）＝2﹣y； （3）5x2﹣2＝2（x﹣1）； （4）5a（a﹣2）＝10a． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将方程化成一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【解答】解：（1）整理得 3x2﹣10x+1＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，﹣10，1； （2）整理得 2y2﹣17＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，﹣17； （3）整理得 5x2﹣2x＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，﹣2，0； （4）整理得 5a2﹣20a＝0 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，﹣20，0； 题型 4 　根据一元二次方程的解求值　 ★ 点拨　把解代入方程化为字母方程；若解给出两值则解两个方程或联立。 1．（2026春•安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 【答案】（1）10；（2）﹣3． 【分析】（1）将x＝t代回方程并将其变形得t2﹣2t＝2，进而即可求解； （2）由（1）可得t2＝2t+2，将t3变形为2t2+2t，再将其代回原式即可求解． 【解答】解：（1）当x＝t时，t2﹣2t﹣2＝0 t2﹣2t＝2， ∵3t2﹣6t+4＝3（t2﹣2t）+4， ∴原式＝3×2+4 ＝10； （2）由（1）得，t2﹣2t＝2， ∴t2＝2t+2， ∴t3＝t•t2 ＝t（2t+2） ＝2t2+2t， ∴原式＝（2t2+2t）﹣4t2+2t+1 ＝﹣2t2+4t+1 ＝﹣2（t2﹣2t）+1 ＝﹣2×2+1 ＝﹣3． 2．（2025秋•普宁市期末）若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1 【答案】B 【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x+（a+2）x＝﹣（a+1）的解， ∴1+（a+2）×1＝﹣（a+1）， ∴a＝﹣2， 故选：B． 3．（2026•长沙二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　 　 ． 【答案】﹣1012． 【分析】可先将方程的解代入一元二次方程，求出含a、b的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【解答】解：由条件可知4a+2b﹣2026＝0， ∴2a+b＝1013， ∴1﹣2a﹣b＝1﹣（2a+b）＝1﹣1013＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 题型 5 　根据实际问题列出简单的一元二次方程 ★ 点拨　找出题设中的等量关系，用含 x 的代数式表示各量后列等式。 1．（2026春•同步）将一个容积为750cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式． 【答案】是；x2﹣15x+50＝0 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x， 则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）•x＝750． 整理，得x2﹣15x+50＝0． 该方程属于关于x的一元二次方程． 2．（2025秋•襄都区校级月考）按要求完成下列各小题． （1）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； （2）现有一面积为ym2的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【答案】（1）x2﹣11x+30＝0；（2）y＝x2+7x+10，常数项是10． 【分析】（1）根据两位数的表示方法，结合已知条件列出方程，再化为一般形式即可； （2）根据长方形面积公式列出关系式，即可解决问题． 【解答】解：（1）设个位数为x，则十位数为x﹣3， 根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x， 化成一般形式为：x2﹣11x+30＝0； （2）由题意得：y＝（x+5）（x+2）＝x2+7x+10， 即y＝x2+7x+10， 常数项是10． 3．（2024秋•青县期末）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？ 解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　 　 ； 方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　 　 ． 【答案】（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 【分析】方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可； 方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可． 【解答】解：方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240． 方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得 （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 四、同步练习 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 3．（2025秋•遂川县期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 4．（2025秋•禹州市期中）已知（m+3）x|m|﹣1﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 5．（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 6．（2025秋•玉溪期末）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 7．（2025秋•潮安区期末）若x＝1是方程x2+x+m＝0的一个根，那么m的值是　 ． 8．（2025秋•闵行区校级期中）若关于x的方程（k﹣4）x|k|﹣2+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 ． 9．（2025秋•上杭县期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2026+2a﹣b的值为 　 　 ． 10．（2026春•岳麓区校级期末）一元二次方程x2+x﹣2＝0的一次项系数是　 　 ． 11．（2026春•诸暨市期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的解，则2a+b﹣2026＝　 　 ． 12．（2026•岚山区二模）已知m是方程x2+x+2025＝0的实数根，则﹣m2﹣m+1的值为 　 　 ． 13．（2026春•相山区校级月考）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 14．（2025秋•全国）已知关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？ 15．（2025秋•全国）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4052a﹣3的值； （2）的值． 16．（2026•西宁一模）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 17．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 18．（2025秋•全国）关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）当m为何值时，方程为一元二次方程； （2）若该方程为一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求该方程的解，若不存在，请说明理由． 19．（2024秋•沛县月考）关于x的一元二次方程a（x2+1）+10（x+2）+c＝0化为一般形式后为6x2+10x﹣1＝0．求a，c的值． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $