25.2 降次——解一元二次方程 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“降次——解一元二次方程”核心内容，系统梳理配方法、公式法、因式分解法三种求解方法，以及根的判别式、根与系数的关系两大延伸知识点。从降次思想出发，先阐述配方法的五步转化步骤，再过渡到公式法的求根公式应用，结合因式分解法的转化思想，进而学习根的判别式判断根的情况，根与系数的关系分析根的性质，构建完整知识支架。 该资料以题型为纲，每个题型含“解题知识”（如配方法步骤、公式法前提条件）、典例及变式练习（如配方法变形选择、错误分析题），融入菱形边长、等腰三角形周长等实际问题。通过分层练习培养运算能力与推理意识，实际应用强化模型意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识薄弱点。

第25章 25.2 降次——解一元二次方程 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法 题型3 解一元二次方程-因式分解法 题型4 根的判别式 题型5 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 【答案】B 【解答】解：x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x＝﹣3， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 故选：B． 【变式1】用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝9 【答案】A 【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝5， 配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6， 故选：A． 【变式2】一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【答案】A 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【变式3】阅读下列关于解方程：3x2﹣6x﹣3＝0的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，3x2﹣6x＝3①两边同时除以3得，x2﹣2x＝3② 配方得，x2﹣2x+1＝4③即（x﹣1）2＝4 x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2④ x1＝3，x2＝﹣1⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤　②　 （填序号），错误的原因是　两边同除以3，右边没有除以3　 ． （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）②，两边同时除以3，右边没有除以3； （2）原方程移项得3x2﹣6x＝3， 两边同时除以3得x2﹣2x＝1， 配方得x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2， ∴或， ∴，． 【解答】解：（1）错在步骤②，错误的原因是两边同除以3，右边没有除以3； 故答案为：②，两边同除以3，右边没有除以3； （2）原方程移项得3x2﹣6x＝3， 两边同时除以3得x2﹣2x＝1， 配方得x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2， ∴或， ∴，． 题型2 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】B 【解答】解：由题意得，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴该一元二次方程为2x2﹣3x﹣1＝0， 故选：B． 【变式1】观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【答案】B 【解答】解：x2﹣x＝1.1， x2﹣x﹣1.1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x， x1，x2， ∵2.22.4， ∴3.2＜13.4， ∴1.61.7， 即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7． 故选：B． 【变式2】用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【答案】C 【解答】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2， 故选：C． 【变式3】（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2； （2），． 【解答】解：（1）原式 ＝2． （2）∵a＝3，，c＝﹣1， ∴， ∴， ∴，． 题型3 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【答案】C 【解答】解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故选：C． 【变式1】菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得， x＝6或x＝﹣2（舍去）， 即另一条对角线长是6， ∵菱形的一条对角线长为8， ∴菱形的边长． 故选：D． 【变式2】一元二次方程x2﹣4x＝0的解是x1＝0，x2＝4　 ． 【答案】x1＝0，x2＝4 【解答】解：由原方程，得 x（x﹣4）＝0， 解得x1＝0，x2＝4． 故答案为：x1＝0，x2＝4． 【变式3】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　14　 ． 【答案】14 【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 题型4 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】若关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝32﹣4（a+1）（﹣1）≥0且a+1≠0， 解得且a≠﹣1； 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即y≠2， ∴，，且是正整数， ∴a＜5，a≠1，且5﹣a为正偶数，即a为奇数， 结合且a≠﹣1，可得符合条件的整数a为﹣3，3， ∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣3+3＝0． 故选：B． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：由条件可知Δ＝22﹣4a＞0， 解得a＜1， 则a的值可以是﹣2， 故选：A． 【变式2】一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝﹣a，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 题型5 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或3 D．﹣1或3 【答案】A 【解答】解：方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0 的二次项系数 a＝1，一次项系数 b＝﹣（2m﹣1），常数项 c＝m2， 由根与系数的关系：得，． ∵x1x2+x1+x2＝2， ∴m2+（2m﹣1）＝2， 即 m2+2m﹣3＝0， 解得 （m+3）（m﹣1）＝0， ∴m＝﹣3 或 m＝1． 由条件可知Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4•1•m2＝（2m﹣1）2﹣4m2＝﹣4m+1≥0， 即． ∴m＝﹣3． 故选：A． 【变式1】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足，则的值是（　　） A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：由题意1＝4或1＝﹣6， 解得m＝9， ∴1＝3﹣1＝2． 故选：C． 【变式2】如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 【答案】B 【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知 x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故选：B． 【变式3】请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 过 关 验 收 1. 用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣6）2＝35 B．（x﹣6）2＝37 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝8， （x﹣3）2＝8． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 故选：C． 3. 方程x2﹣6x+9＝0的解是x1＝x2＝3　 ． 【答案】x1＝x2＝3 【解答】解：∵x2﹣6x+9＝0 ∴（x﹣3）2＝0 ∴x1＝x2＝3． 4. 在用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得x2﹣2x＝1． 第二步：配方，得x2﹣2x+22＝1+22， 即（x﹣2）2＝5． 第三步：两边开平方，得， 第四步：所以，． （1）小颖的解答过程从第　二　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）二； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1． ∴x2﹣2x+12＝1+12． ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 【解答】解：（1）小颖的解答过程从第二步开始出错，其错误的原因是等式两边应该加上12． 故答案为：二； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1． ∴x2﹣2x+12＝1+12． ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 5. 如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB长为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．DE的长 D．BD的长 【答案】A 【解答】解：将方程整理为标准一元二次方程形式：x2+2ax﹣b2＝0； 用配方法求解：x2+2ax+a2＝a2+b2， 即（x+a）2＝a2+b2； 开平方得：； 因求正根，舍去负根，故． 由条件可知∠A＝90°，AB＝a，AD＝b； ∴； 由作图可知DE＝AD＝b；BF＝AB＝a； 由此计算各选项线段长如下： ； ； DE＝b； ∴选项A符合题意； 故选：A． 6. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】D 【解答】解：当x≥0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2； ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③x＝2时，[x]＝2，2[x]＝x2； 当x＜0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2与x＜0矛盾； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 7. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{﹣1，3}＝3． （1）方程x2﹣2x＝max{0，﹣1}的解为 x1＝0，x2＝2　 ； （2）方程max{2x+8，﹣x}＝x2的解为 x1＝4，x2＝﹣2　 ． 【答案】（1）x1＝0，x2＝2； （2）x1＝4，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）∵max{0，﹣1}＝0， ∴x2﹣2x＝0， 即x（x﹣2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝2； 故答案为：x1＝0，x2＝2； （2）当2x+8＞﹣x时，即时，max{2x+8，﹣x}＝2x+8， ∴2x+8＝x2，即（x﹣4）（x+2）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣2； 当2x+8≤﹣x时，即时，max{2x+8，﹣x}＝﹣x， ∴﹣x＝x2，即x（x+1）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1； 不符合题意，舍去； 综上，方程的解为x1＝4，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝4，x2＝﹣2． 8. 用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）x2﹣3x＝2x﹣6． 【答案】（1），； （2）x1＝3，x2＝2． 【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣3+9， ∴（x﹣3）2＝6， ∴， 解得：，． （2）x2﹣3x＝2x﹣6， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． 9. 解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3； （2）原方程无解． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）， x2+2x﹣3＝（x+1）（x﹣1）， x2+2x﹣3＝x2﹣1， 2x＝2， x＝1， 经检验：当x＝1时，分母x2﹣1＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． 10. 用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【答案】（1）x1＝6，x2＝2； （2）x1＝3，x2＝﹣3． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2﹣8x+16＝4， （x﹣4）2＝4， x﹣4＝±2， x1＝6，x2＝2； （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）[（x﹣3）﹣2x]＝0， （x﹣3）（﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0， x1＝3，x2＝﹣3． 11. （1）求不等式组：的所有整数解． （2）解一元二次方程：2x2+1＝3x． 【答案】（1）﹣1，0，1，2，3； （2）x1＝1，． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x＞﹣2． 解不等式②，得x≤3． 所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 因此，满足原不等式组的所有整数解是﹣1，0，1，2，3； （2）2x2+1＝3x， 2x2﹣3x＝﹣1， ， ， ， 可得 所以x1＝1，． 12. （1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0； （2）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣1； （2）k＜0． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， x﹣6＝0或x+1＝0， x1＝6，x2＝﹣1； （2）x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， （x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣k﹣1＝0， 解得：x1＝2，x2＝k+1， ∵方程有一个根小于1， ∴k+1＜1， 解得：k＜0． 13. 若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•a×1＝4﹣4a≥0， 解得：a≤1， ∵方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0， ∴a的范围是：a≤1且a≠0． 故选：B． 14. 若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4（kb+1）＞0， ∴kb＜0， 当k＞0，b＜0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数经过第一、二、四象限． 故选：B． 15. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0， 解得：k≤﹣1． 故选：C． 16. 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】B 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0或x0 ∴2ax0+b或2ax0+b ∴ 故④正确． ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； ∵由am2+bm+c＝an2+bn+c， ∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， ∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0， ∵m≠n， ∴a（m+n）+b＝0， ∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； 故⑤正确． 故选：B． 17. 问题“解方程x2﹣3x+3＝0”，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2﹣4ac＜0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【解答】解：方程x2﹣3x+3＝0中，a＝1，b＝﹣3，c＝3， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：C． 18. 已知关于x的方程x2+5x+1＝0的两个根是α，β，则（α+1）（β+1）＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：由条件可知α+β＝﹣5，αβ＝1， ∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝1﹣5+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 19. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝4． 故答案为：4． 20. 已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴a+b＝2，ab＝﹣1． ∴2． 故答案为：﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 25.2 降次——解一元二次方程 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法 题型3 解一元二次方程-因式分解法 题型4 根的判别式 题型5 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 【变式1】用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝9 【变式2】一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【变式3】阅读下列关于解方程：3x2﹣6x﹣3＝0的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，3x2﹣6x＝3①两边同时除以3得，x2﹣2x＝3② 配方得，x2﹣2x+1＝4③即（x﹣1）2＝4 x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2④ x1＝3，x2＝﹣1⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤　 　 （填序号），错误的原因是　 　 ． （2）请你写出正确的解答过程． 题型2 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【变式1】观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【变式2】用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【变式3】（1）计算：； （2）解方程：． 题型3 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【变式1】菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【变式2】一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 　 ． 【变式3】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ． 题型4 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】若关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【变式2】一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型5 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或3 D．﹣1或3 【变式1】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足，则的值是（　　） A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8 【变式2】如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 【变式3】请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 过 关 验 收 1. 用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣6）2＝35 B．（x﹣6）2＝37 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 2. 用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3. 方程x2﹣6x+9＝0的解是 　 ． 4. 在用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得x2﹣2x＝1． 第二步：配方，得x2﹣2x+22＝1+22， 即（x﹣2）2＝5． 第三步：两边开平方，得， 第四步：所以，． （1）小颖的解答过程从第　 　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 5. 如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB长为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．DE的长 D．BD的长 6. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 7. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{﹣1，3}＝3． （1）方程x2﹣2x＝max{0，﹣1}的解为 　 ； （2）方程max{2x+8，﹣x}＝x2的解为 ． 8. 用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）x2﹣3x＝2x﹣6． 9. 解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）． 10. 用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 11. （1）求不等式组：的所有整数解． （2）解一元二次方程：2x2+1＝3x． 12. （1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0； （2）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 13. 若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 14. 若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 15. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 16. 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 17. 问题“解方程x2﹣3x+3＝0”，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2﹣4ac＜0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 18. 已知关于x的方程x2+5x+1＝0的两个根是α，β，则（α+1）（β+1）＝　 　 ． 19. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ． 20. 已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $