25.1 一元二次方程的概念 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从概念（含一个未知数、整式方程、最高次2、a≠0）到一般形式（ax²+bx+c=0及二次项、系数等要素），再到根的定义及应用的逻辑链条，搭建定义判断、形式转化、根的代入等学习支架。 资料通过分层例题（如定义中a≠0的条件判断、矩形花圃面积建模）和多样化试题，培养学生抽象能力（从现实问题抽象方程）、推理意识（定义四条件的逻辑分析）和模型意识（实际问题的方程表达）。课中助力教师突破重点，课后通过基础与拓展题结合，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

25.1 一元二次方程的概念 课节学习目标 1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件； 4.能利用一元二次方程的根的定义解决一些问题。 课节知识点解读 知识点1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这 样的方程叫做一元二次方程． 知识点2. 一元二次方程的一般形式 ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) （1）二次项为： ax2 （2）二次项系数为：a （3）一次项为： bx （4）一次项系数为：b （5）常数项为：c 知识点3.一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 温馨提醒： 1.与一元二次方程的定义有关问题解题要领 抓住一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 2.与一元二次方程的根有关问题解题要领 紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。 课节知识点例题讲析 考点1.一元二次方程的定义 【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ） A．0 B．2 C．－2 D．± 2 【例题2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A．m≠-3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3 考点2. 一元二次方程的一般形式 【例题3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　． 【例题4】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A． B． C． D． 考点3. 一元二次方程的根 【例题5】已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ） A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3 【例题6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是　 　． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1.下列说法中，错误的有（ ） ①方程是一元二次方程 ②方程是一元二次方程 ③方程是一元二次方程 ④方程是一元二次方程的一般形式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ） A．0 B．2 C．－2 D．± 2 5．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为(　　) A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200 C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200 6. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　　． 7. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_______． 8．方程是一元二次方程，则m=_____． 9.将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为　 ． 10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　；其中二次项系数是　 　． 11. 若是方程的根，则____________． 12.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点： ①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） ②它的二次项系数为5 ③常数项是二次项系数的倒数的相反数 你能写出一个符合条件的方程吗？ 13.已知关于的方程． （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 25.1 一元二次方程的概念 课节学习目标 1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件； 4.能利用一元二次方程的根的定义解决一些问题。 课节知识点解读 知识点1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这 样的方程叫做一元二次方程． 知识点2. 一元二次方程的一般形式 ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) （1）二次项为： ax2 （2）二次项系数为：a （3）一次项为： bx （4）一次项系数为：b （5）常数项为：c 知识点3.一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 温馨提醒： 1.与一元二次方程的定义有关问题解题要领 抓住一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 2.与一元二次方程的根有关问题解题要领 紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。 课节知识点例题讲析 考点1.一元二次方程的定义 【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ） A．0 B．2 C．－2 D．± 2 【答案】B 【解析】∵是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0, =2,解得:m=2 【例题2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A．m≠-3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3 【答案】A 【解析】将原来方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数不能等于0. (m－3)x2＋m x＝1+2mx2 化为一般形式(m+3)x2-m x+1＝0 所以(m+3) ≠0 m ≠-3 考点2. 一元二次方程的一般形式 【例题3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　． 【答案】6x2﹣5x﹣11＝0 【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可． （3x+2）（2x﹣3）＝5， 去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5， 移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0， 合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0． 故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0 【例题4】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5． 考点3. 一元二次方程的根 【例题5】已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ） A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3 【答案】B 【解析】把x=1代入x2+mx+3=0得：1+m+3=0， 解得m=﹣4． 【例题6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是　 　． 【答案】2022 【解析】∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根， ∴2a2+a＝2， ∴2023﹣a2-a＝2023-（2a2+a）＝20232＝2022． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1.下列说法中，错误的有（ ） ①方程是一元二次方程 ②方程是一元二次方程 ③方程是一元二次方程 ④方程是一元二次方程的一般形式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①方程是一元二次方程，故①正确，②方程是一元一次方程，故②错误，③方程是分式方程，故③错误，④方程，a≠0时，是一元二次方程的一般形式，故④错误. 2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】B． 【解析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可． 把x=1代入方程得1+k﹣3=0， 解得k=2． 3.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解 【答案】B 【解析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解. 因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故选B. 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ） A．0 B．2 C．－2 D．± 2 【答案】B 【解析】∵是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0, =2,解得:m=2 5．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为(　　) A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200 C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200 【答案】C 【解析】∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米， ∴长为(x＋10)米， ∵花圃的面积为200， ∴可列方程为x(x＋10)＝200． 6. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　　． 【答案】﹣3． 【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 7. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_______． 【答案】1 【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可． ∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 8．方程是一元二次方程，则m=_____． 【答案】-2 【解析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.故答案为：-2 9.将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为　 ． 【答案】3x2﹣5x﹣4＝0　 【解析】3x（x﹣1）＝2（x+2）， 3x2﹣3x＝2x+4， 3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0， 3x2﹣5x﹣4＝0． 10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　；其中二次项系数是　 　． 【答案】6x2﹣5x﹣11＝0；6． 【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可． 解：（3x+2）（2x﹣3）＝5， 去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5， 移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0， 合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0． 故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0， 二次项系数为：6． 11. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 12.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点： ①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） ②它的二次项系数为5 ③常数项是二次项系数的倒数的相反数 你能写出一个符合条件的方程吗？ 【答案】这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一） 【解析】由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键． 这个方程是5x2－2x－=0. 13.已知关于的方程． （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 【答案】见解析 【解析】本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. （1）由题意得，时，即时， 方程是一元一次方程. （2）由题意得，时，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $