1.3.2三角函数的应用同步练习2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础、中档、提升三级分层，覆盖三角函数应用的坡度坡角概念及解直角三角形综合应用，实现从单一知识点到实际问题解决的进阶，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坡度坡角定义、简单计算|以山坡、水坝等单一情境命题，如单选题1-7直接考查正弦、坡度公式，巩固概念理解| |中档|综合情境应用|结合俯角、株距等复合条件，如单选题11需联动坡度与俯角关系，培养数学思维| |提升|复杂实际问题解决|设置坡度改造、登山路线等探究题，如解答题19需构建双直角三角形模型，发展应用意识|

1.3.2三角函数的应用同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 一、单选题 1．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 2．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 3．一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 4．如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 5．如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（   ） A． B． C． D．30° 6．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（   ） A． B． C． D． 7．已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知，则斜坡坡度是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 11．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 12．龙东地区某滑雪场的雪道坡度为，那么该雪道的倾斜角为________度． 13．某河堤横断面如图所示，堤高米，斜面坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，则长为__________米（结果保留根号）． 14．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 15．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 16．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 17．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 三、解答题 18．如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 19．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 20．近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1.3.2三角函数的应用同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册》参考答案 1．D 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 2．A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 3．A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 4．B 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 5．C 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离， 斜坡的坡度． 6．A 【分析】利用勾股定理求出的长，即可计算答案． 【详解】解：， 斜坡的坡比是． 7．B 【分析】本题考查坡度与坡角的关系及特殊角的三角函数值，解题关键是明确坡度为坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度，且， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），已知正弦值求边长等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：在中，，米， ， 故选：B． 9．B 【分析】由题意易得该直角三角形中，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，即， ， ，即， ， ∴，即斜坡坡度是． 10．C 【分析】根据坡度的定义求出垂直高度，再利用勾股定理求出斜坡长 【详解】解： ∵坡度， 即 又∵ ∴ 在中， 由勾股定理得： ． 11．D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 12．30 【分析】根据坡度的定义可知坡度等于雪道倾斜角的正切值，再结合特殊锐角的三角函数值即可求出倾斜角的度数． 【详解】解：设该雪道的倾斜角为， 雪道坡度为， ， ， 即该雪道的倾斜角为30度． 13． 【分析】直接根据坡度的定义列式解答即可． 【详解】解：∵斜面坡度为，米， ∴，即， ∴米． 14． 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 15． 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 17． 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 18．背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 19．(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 20．一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $