1.3.1三角函数的应用同步练习2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦三角函数应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，覆盖仰角俯角、方向角等核心知识点，从概念辨析到复杂实际问题，构建"定义理解→情境应用→模型建构"的巩固路径，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数定义、简单测量计算|如第3题俯角概念辨析，第10题三角函数值不变性判断，强化几何直观| |中档|综合情境应用、多步运算|如第7题结合测量仪高度计算楼高，第14题方向角与距离综合，培养运算能力与推理意识| |提升|复杂实际问题、模型建构|如解答题16摩天轮高度测量需设未知数列方程，第18题双直角三角形应用，发展模型意识与应用意识|

1.3.1三角函数的应用同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 一、单选题 1．某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（   ）米. A． B． C． D． 2．神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（　　） A．C地在B地的正北方向上 B．A地在B地的正东方向上 C．C地在A地的北偏西60°方向上 D．A地在C地的南偏东30°方向上 7．如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 8．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 9．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 10．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 二、填空题 11．如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 12．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 13．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为9米，则该校的旗杆高约为______米．（，结果精确到） 14．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 15．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则观测站O距港口A的距离为_______． 三、解答题 16．如图①，郑州之眼摩天轮位于郑州海昌旅游度假区，是中原地区最高的摩天轮建筑，也是中牟网红打卡地之一．如图②，某校数学社团利用周末测量摩天轮的高度，他们在点处测得摩天轮的最高点的仰角为，再往摩天轮方向前进至点处，测得最高点的仰角为，已知点在一条直线上，求摩天轮的高度(结果精确到，参考数据)． 17．如图，成都某中学九年级学生进行综合实践活动测量镇江塔的高度，其中一个小组在一栋高30米的大楼AB的顶端A处测得对面的镇江塔CD的顶端C的仰角为29°，已知古塔与大楼之间的距离为80米，试求镇江塔CD的高度.（参考数据：，） 18．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3.1三角函数的应用同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册》参考答案 1．B 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， （千米） 故选：C． 3．C 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 4．B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 5．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 6．D 【分析】先根据勾股定理的逆定理求得AB⊥BC，由此可判断A、B两个选项，再利用锐角三角函数求得∠A＝30°，∠C＝60°，由此可判断C、D两个选项． 【详解】解：∵AB＝6，BC＝6，AC＝12， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴C地在B地的正北方向上，A地在B地的正东方向上， 故选项A，选项B都是正确的，不符合题意； ∵在Rt△ABC中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝90°－∠A＝60°， ∴C地在A地的北偏西60°方向上，A地在C地的南偏东60°方向上， 故选项C是正确的，不符合题意，选项D是不正确的，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、锐角三角函数以及方位角的应用，熟练掌握锐角三角函数是解决本题的关键． 7．D 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 8．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 10．A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 11． 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 12．31 【分析】直接根据进行计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴． 13． 【分析】在和中，分别解直角三角形求出和，然后根据计算即可． 【详解】解：由题意得：在中， ， (米)． 在中， ． (米)． （米）． 则该校的旗杆高约为米． 14． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 15． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题以及勾股定理的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点D，先证明是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，进而求出，然后由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题 【详解】解∶如图，过点A作于点D， 则． 由题意可知， 是等腰直角三角形，． ． ． 在中，． ． ． 则观测站O距港口A的距离为． 故答案为 ∶ ． 16． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰角问题，核心是利用等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的定义建立方程求解．首先设摩天轮高度为米，在等腰直角三角形中得出，进而表示出的长度；再在中，根据的定义列出关于的方程，通过解方程并代入近似值计算得到最终结果． 【详解】解：设摩天轮的高度为． 在中，，， ， ； ，且点、、共线， ； 在中，，， ， ， 解得． 检验：当时，，且符合题意． 答：摩天轮的高度约为． 17．镇江塔CD的高约为74米． 【分析】过点A作AH⊥CD于点H，在直角三角形AHC中利用∠CAH和AH的长求得线段CH的长，然后与线段HD相加即可求得旗杆的高度． 【详解】如图，过点A作AH⊥CD于点H． ∵AH=DB=80，∠CAH=29°， 在Rt△CAH中，CH=AH⋅tan29°≈44.0(米)． ∴CD=CH+DH≈44.0+30=74(米)． 答：镇江塔CD的高约为74米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，了解仰角的定义是解答本题的关键，难度不大． 18．海里 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $