12圆锥曲线中的最值或范围问题——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，整合椭圆、双曲线、抛物线三大核心考点，按“知识梳理-回归教材-考点突破-跟踪练习”逻辑架构，通过方法归纳（几何法、代数法）、教材习题回扣、典型例题精讲等环节，帮助学生构建解题框架，突破高考难点。 资料突出“回归教材、对接高考”特色，如椭圆最值问题中引导学生用定义转化距离，培养数学思维与模型观念。设置分层跟踪练习，涵盖选择、填空、解答题，配合方法小结（如函数值域、不等式工具），确保高效突破。助力学生提升运算推理能力，为教师提供系统复习方案，精准把控备考节奏。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——12 圆锥曲线中的最值或范围问题 知识梳理： 1、处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 2、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 回归教材： 【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 【人教A版选择性必修一习题3.1第13题】已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【人教B版选择性必修一复习题03C组第6题】过椭圆的中心作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，求的周长的最小值。 【人教B版选择性必修一复习题03B组第15题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，当m变化时，求的最大值。 【人教B版选择性必修一复习题03A组第18题】已知直线与椭圆相交于不同的两点，求的取值范围。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第4题】已知直线和椭圆，分别求直线与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第5题】如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第6题】过原点的直线与双曲线相交于两点，求的斜率的取值范围。 【人教B版选择性必修一习题2—7C第1题】已知抛物线，且P是抛物线上一点： （1）设抛物线的焦点，，求的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标。 （2）设M的坐标为，求的最小值（用m表示），并求出取得最小值时点P的坐标。 【人教B版选择性必修一习题2—7C第2题】已知抛物线的顶点在原点，焦点为，设点到抛物线上的点的距离的最小值为，求的表达式。 【人教B版选择性必修一习题2—7B第4题】求抛物线上到点距离最近的点的坐标。 【人教B版选择性必修一习题2—7B第5题】已知点P是抛物线上到直线的距离最短的点，求P点的坐标。 【人教B版选择性必修一第2.7.2节练习B第5题】已知抛物线和点，点M在此抛物线上运动，求点M到点A的距离的最小值，并指出取得最小值时点M的坐标。 【人教B版选择性必修一习题2-6B第2题】已知P是双曲线上一点，，求的最小值。 【人教B版选择性必修一第2.6.2节例3】已知双曲线的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值。 【人教B版选择性必修一习题2-5C第3题】已知点，而且是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，求的最小值和最大值。 【人教B版选择性必修一第2.5.2节例3】已知椭圆的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值。 考点梳理： 椭圆中的最值与范围问题 例、设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 例、设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 例．（多选）已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(　　) A．离心率e的取值范围为 B．存在点Q，使得＋＝0 C．当e＝时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋ D．＋的最小值为1 例．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________． 例、已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 例、已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 双曲线中的最值与范围问题 例、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是(　　) A. B. C. D. 例、已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　) A．1　　　　　B．2＋　　　　　C．4＋　　　　　D．2＋1 例、已知为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 例、已知是双曲线的右焦点,是左支上一点.,当的值最小时,在轴上找一点,使的值最小,最小值为( ) A. B. 10 C. D. 例、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为________． 例．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为. (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围； ②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值． 小结： 求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法 (1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解． (2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解． (3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解． 抛物线中的最值与范围问题 例．记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 例、已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为(　　) A．(3，5) B．(5，7) C．(6，8) D．(6，8] 例．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A．|AB|≥4 B．|OA|＋|OB|>8 C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3 D．△OAB的面积的最小值是2 例．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，则|QF|＝________． 小结： 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 跟踪练习： 1．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为(　　) A．2＋ B．1＋ C．3 D．4 2．已知点M在椭圆＋＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为(　　) A．1＋ B．1＋2 C．5 D．6 3．已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上一动点，若A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A．6－ B．6－ C．6－ D．6－ 4、已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． 5．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(1，) 6．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7.已知点在双曲线上，到两条渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为( ) A. B. C. 2 D. 8、(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF|的最小值为1 B．|QF|的最小值为 C．|PF|＋|PQ|的最小值为4 D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1 9．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q(m，n)，点P到点Q和到y轴的距离分别为d1，d2，则(　　) A．抛物线C的准线方程为y＝－1 B．若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值为3 C．若(m－3)2＋n2＝1，则d1的最小值为2 D．若m－n＝－4，则d1＋d2的最小值为－1 10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________． 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是________． 12．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________． 13．在平面直角坐标系xOy中，以点F1(4,0)，F2(8,9)为焦点的动椭圆与双曲线－＝1的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为________． 14．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围． 15、如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)． (1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 16．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围． 17．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，若C上的点M满足||MF1|－|MF2||＝2恒成立． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点M的直线l与C的两条渐近线分别交于点P，Q，且|MP|＝|MQ|. (ⅰ)证明：l与C有且仅有一个交点； (ⅱ)设O为坐标原点，求＋的取值范围． 18、已知点A，B的坐标分别是(－，0)，(，0)，动点M(x，y)满足直线AM和BM的斜率之积为－3，记M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线y＝kx＋m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——12 圆锥曲线中的最值或范围问题 知识梳理： 1、处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 2、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 回归教材： 【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 【答案】1.5288×108km，1.4712×108km 【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论． 【详解】∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，∴半焦距约为2.88×106km， ∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km， 最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km． 【人教A版选择性必修一习题3.1第13题】已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最大，最大值为. 【分析】设椭圆上点，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求得. 【详解】设椭圆上点， 则点到直线距离 ，其中， （1）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，，此时， 即，所以，， 所以存在点到直线距离最大，最大值为。 【人教B版选择性必修一复习题03C组第6题】过椭圆的中心作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，求的周长的最小值。 【答案】 【解析】由椭圆对称性：中心弦满足，设椭圆另一焦点为，连接， 四边形为平行四边形，故，周长， 由椭圆定义：，因此，只需最小化弦长，过椭圆中心的弦， 最短为短轴长，所以周长最小值。 【人教B版选择性必修一复习题03B组第15题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，当m变化时，求的最大值。 【答案】 【解析】联立，消去得：。设。 。韦达定理：。 由弦长公式知，当时，最大，。 【人教B版选择性必修一复习题03A组第18题】已知直线与椭圆相交于不同的两点，求的取值范围。 【答案】或 【解析】联立，代入得：，相交于两个不同点： ，解得或。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第4题】已知直线和椭圆，分别求直线与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围。 【答案】两个公共点：或；一个公共点：；无公共点：。 【解析】联立，整理：。 （1），两个交点； （2），相切，一个交点； （3），无交点。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第5题】如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围。 【答案】 【解析】联立，代入：。 由题意知，且，所以， 综上：。 【人教B版选择性必修一习题2—8A第6题】过原点的直线与双曲线相交于两点，求的斜率的取值范围。 【答案】 【解析】设直线，联立,代入整理得， 要有两个实根，要求，，即， 因为双曲线渐近线斜率，直线斜率绝对值小于渐近线斜率才能和双曲线两支相交。 【人教B版选择性必修一习题2—7C第1题】已知抛物线，且P是抛物线上一点： （1）设抛物线的焦点，，求的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标。 （2）设M的坐标为，求的最小值（用m表示），并求出取得最小值时点P的坐标。 【答案】（1）最小值，；（2）见解析。 【解析】（1）抛物线，焦点，准线。 抛物线定义：等于到准线距离。。 过作准线垂线，垂线方程，交抛物线于即为取最小值点。 代入，，最小值：。 （2）设，令，，对称轴。 ① ：最小，，对应； ② ：最小，，对应。 【人教B版选择性必修一习题2—7C第2题】已知抛物线的顶点在原点，焦点为，设点到抛物线上的点的距离的最小值为，求的表达式。 【答案】 【解析】焦点，抛物线开口向左，标准方程：。设抛物线上任意一点， 满足。二次函数，对称轴：。 （1）若对称轴，即, 则在取最小值，， 。 （2）若对称轴，即, 则在单调递减，在取最小值，，。 综上，的表达式为。 【人教B版选择性必修一习题2—7B第4题】求抛物线上到点距离最近的点的坐标。 【答案】 【解析】设抛物线上点，满足。令，对称轴。 时，，此时。最近点坐标：。 【人教B版选择性必修一习题2—7B第5题】已知点P是抛物线上到直线的距离最短的点，求P点的坐标。 【答案】 【解析】方法一：设，点到直线距离公式二次函数，当取得最小值。 此时，即。 方法二：切线法。抛物线切线平行于，斜率。。 【人教B版选择性必修一第2.7.2节练习B第5题】已知抛物线和点，点M在此抛物线上运动，求点M到点A的距离的最小值，并指出取得最小值时点M的坐标。 【答案】最小值；对应点 【解析】设。， 因为，则时最小，，对应。 【人教B版选择性必修一习题2-6B第2题】已知P是双曲线上一点，，求的最小值。 【答案】 【解析】双曲线：。设二次函数， 对称轴。区间在对称轴右侧，单调递增；单调递减。处取得最小值： ，。 【人教B版选择性必修一第2.6.2节例3】已知双曲线的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值。 【答案】 【解析】双曲线左焦点。由双曲线定义：设右焦点。 若在左支：； 若在右支：。右支上点到左焦点距离恒大于； 左支上，当为左顶点时，距离最小： 【人教B版选择性必修一习题2-5C第3题】已知点，而且是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，求的最小值和最大值。 【答案】最大值；最小值 【解析】椭圆：。左焦点，右焦点。椭圆定义：，由三角不等式知，最大值：；最小值：。 【人教B版选择性必修一第2.5.2节例3】已知椭圆的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值。 【答案】最大值，最小值 【解析】椭圆左焦点。设，椭圆焦半径公式：左焦半径 ，函数单调递增： 时，；时，。 几何理解：椭圆上点到左焦点最远为右顶点，最近为左顶点。 考点梳理： 椭圆中的最值与范围问题 例、设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由P在C上，设P(x0，y0)，则＋y＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝x＋(y0－1)2，由＋y＝1，得x＝5－5y，y0∈[－1，1]，代入上式，得|PB|2＝5－5y＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4＋， y0∈[－1，1]．因此当且仅当y0＝－时，|PB|取得最大值.故选A. 例、设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 答案：A 解析：由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴0<m≤1. ②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴m≥9.综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．故选A. 例．（多选）已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(　　) A．离心率e的取值范围为 B．存在点Q，使得＋＝0 C．当e＝时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋ D．＋的最小值为1 答案：ACD 解析：对于A，∵点P(，1)在椭圆C：＋＝1(b>0)的内部，∴＋<1，∴b2>2，又椭圆焦点在x轴上，∴b2<4，∴2<b2<4，又a2＝4，∴e2＝＝＝1－，又b2∈(2，4)，∴e2∈，∴e∈，∴A正确；对于B，若存在点Q，使得＋＝0，则Q只能是原点O，与点Q在椭圆上矛盾，∴B错误；对于C，当e＝时，e2＝＝＝，∴c＝，∴F2，又P(，1)，∴|PF2|＝，∵点Q在椭圆上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴|QF1|＋|QP|＝4－|QF2|＋|QP|≤4＋|PF2|＝4＋，当且仅当Q为PF2的延长线与椭圆交点时取等号，∴|QF1|＋|QP|的最大值为4＋，∴C正确；对于D，∵点Q在椭圆上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴＋＝(|QF1|＋|QF2|)＝×≥×(2＋2)＝1，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时取等号，∴＋的最小值为1，∴D正确．故选ACD. 例．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________． 答案：5 解析：∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5. 例、已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 答案： 解析：若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e的取值范围是. 例、已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解：(1)因为焦点F到圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为|FM|－1＝＋4－1＝＋3， 所以＋3＝4，所以p＝2. (2)解法一：由(1)知抛物线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.设切点A，切点B， 则lPA：y＝x－，lPB：y＝x－.从而可得P. 由题意可知直线AB的斜率存在，设lAB：y＝kx＋b，与抛物线C：x2＝4y联立， 得消去y，得x2－4kx－4b＝0，则Δ＝16k2＋16b>0，即k2＋b>0， 且x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以P(2k，－b)． 因为|AB|＝·＝·，点P到直线AB的距离d＝， 所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝4(k2＋b).(*) 又点P(2k，－b)在圆M：x2＋(y＋4)2＝1上，所以k2＝. 将该式代入(*)式，得S△PAB＝4.而yP＝－b∈[－5，－3]，所以b∈[3，5]． 所以当b＝5时，△PAB的面积最大，最大值为20. 解法二：由(1)知抛物线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝. 设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)，圆M上任意一点P(x0，y0)， 则易得lPA：y＝x－，lPB：y＝x－，联立得P. 所以x0＝，y0＝，又线段AB的中点Q的坐标为， 所以S△PAB＝|PQ|·|x1－x2|＝·|x1－x2|＝·|x1－x2| ＝|x1－x2|3＝()3＝()3＝()3＝()3.(*) 又点P(x0，y0)在圆M：x2＋(y＋4)2＝1上，所以x＝1－(y0＋4)2，代入(*)式， 得S△PAB＝(－y－12y0－15). 而y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，△PAB的面积最大，且最大值为20. 双曲线中的最值与范围问题 例、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(－c,0)，B(0，b)，直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上．由题意可知解得1＜2＜，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是. 例、已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　) A．1　　　　　B．2＋　　　　　C．4＋　　　　　D．2＋1 【答案】D 解析：设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，则|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1. 例、已知为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B [解析]由题意知，双曲线的渐近线方程为, 直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,不妨设点在第一象限,点在第四象限,联立解得故,联立解得 故，,. 双曲线, 其焦距为, 当且仅当时取等号,的焦距的最小值为8.故选. 例、已知是双曲线的右焦点,是左支上一点.,当的值最小时,在轴上找一点,使的值最小,最小值为( ) A. B. 10 C. D. 【答案】A [解析]设双曲线左焦点的坐标为，根据双曲线的定义可知，所以当的值最小时，的值最小，此时,,三点共线.直线的方程为，与双曲线方程联立消去并化简得，解得或（舍去），所以，故，则关于轴对称的点为，连接，交轴于（图略），此时取得最小值，且最小值为. 例、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为________． 答案：(，2) 解析：设PF1与y轴交于点Q，连接QF2，则|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故点P在双曲线的右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝<2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形的内角和为180°，得∠PF1F2<＝45°，则cos∠PF1F2＝>cos45°，即>，即e＝>，所以C的离心率的取值范围为(，2)． 例．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为. (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围； ②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值． 解：(1)设双曲线－＝1的焦距为2c，且c＝2，因为F(2，0)到直线bx－ay＝0的距离为＝， 故b＝，则a＝＝，故双曲线的方程为－＝1. (2)如图，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与双曲线的方程消元得(t2－1)y2＋4ty＋2＝0，则 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，故y1y2＝＜0，则－1＜t＜1，故实数t的取值范围为(－1，1)．②由①知，|AB|＝|y1－y2|＝·＝， 原点O到直线AB的距离d＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立 则(t2－1)y2＋4ty＋4＝0，y3＋y4＝，y3y4＝，Δ＝16＞0， 则|CD|＝|y3－y4|＝·＝， 而S1＋S2＝S△COD－S△AOB＝||CD|－|AB||d＝， 令m＝∈[，2)，则S1＋S2＝＝＝≤＝4－2， 当且仅当m＝，即t＝0时取等号． 综上所述，S1＋S2的最大值为4－2. 小结： 求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法 (1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解． (2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解． (3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解． 抛物线中的最值与范围问题 例．记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：如图，过点A作直线x＝－1的垂线，垂足为E，过点B作直线x＝－1的垂线，垂足为D，且与抛物线交于点A′，则|AF|＋|AB|＝|AE|＋|AB|≥|BD|＝3，当且仅当点A与点A′重合时取等号．所以|AF|＋|AB|的最小值为3.故选B. 例、已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为(　　) A．(3，5) B．(5，7) C．(6，8) D．(6，8] 答案：C 解析：如图所示，圆E的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1. 由解得或不妨令A(2，2)，B(2，－2)，所以2<xM<4.设平行于x轴的直线MN交抛物线的准线x＝－1于点D，根据抛物线的定义可知|NE|＝|ND|，所以△MNE的周长为|ME|＋|NE|＋|MN|＝3＋|ND|＋|MN|＝3＋|MD|.而|MD|＝xM＋1∈(3，5)，所以3＋|MD|∈(6，8)，即△MNE周长的取值范围是(6，8)．故选C. 例．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A．|AB|≥4 B．|OA|＋|OB|>8 C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3 D．△OAB的面积的最小值是2 【答案】ACD　 解析：如图，不妨设A在第一象限． (1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S△OAB＝×4×1＝2，显然B错误； (2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0， 联立方程组消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋>4，原点O到直线l的距离d＝，∴S△OAB＝×|AB|×d＝××＝2>2. 综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确．故选A、C、D. 例．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，则|QF|＝________． 答案：3 解析：由题意知F(1，0)，设Q(x0，y0)，A(4，0)，其中x0≥0，则|QA|＝＝＝，∵点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，∴x0＝2，∴|QF|＝x0＋1＝3. 小结： 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 跟踪练习： 1．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为(　　) A．2＋ B．1＋ C．3 D．4 解析：选B　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长：l＝|AB|＋2|AM|＋2xM＝2＋2|AM|＋2|MF|－1≥1＋2|AF|＝1＋，当A，M，F共线时取等号． 2．已知点M在椭圆＋＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为(　　) A．1＋ B．1＋2 C．5 D．6 答案：B 解析：设圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，则|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1，设M(x0，y0)，则＋＝1⇒x＝18－2y，所以|MC|＝＝＝＝＝≤2，当且仅当y0＝－1时取等号，所以|MN|≤|MC|＋1≤2＋1.故选B. 3．已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上一动点，若A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A．6－ B．6－ C．6－ D．6－ 答案：C 解析：椭圆＋＝1，则a＝3，b＝，c＝＝2，如图，设椭圆的右焦点为F′(2，0)， 则|PF|＋|PF′|＝2a＝6，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|＝6＋|PA|－|PF′|，由图可知，当P在直线AF′(与椭圆的交点)上时，||PA|－|PF′||＝|AF′|＝；当P不在直线AF′(与椭圆的交点)上时，根据三角形的两边之差小于第三边有||PA|－|PF′||＜|AF′|＝，∴当P在F′A的延长线(与椭圆的交点)上时，|PA|－|PF′|取得最小值－，∴|PA|＋|PF|的最小值为6－.故选C. 4、已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． 答案：B 解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3＝＝2，由d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当PF⊥l1且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.故选B. 5．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(1，) 答案：B 解析：设以F2(c，0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，所以|AB|＝2，因为3|AB|＞|F1F2|，所以3×2＞2c，可得9a2－9b2＞c2＝a2＋b2，即4a2＞5b2＝5c2－5a2，可得5c2＜9a2，所以＜，所以e＜，又e＞1，所以双曲线离心率的取值范围是.故选B. 6．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2＝－＋＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝∈.故选C. 7.已知点在双曲线上，到两条渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A [解析]双曲线的渐近线方程为，即， 如图，设双曲线上的点，则，即，则到两条渐近线的距离分别为，，所以.又，，恒成立，所以，整理得，即，则离心率，则的离心率的最大值为.故选. 8、(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF|的最小值为1 B．|QF|的最小值为 C．|PF|＋|PQ|的最小值为4 D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1 答案：AC 解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确；对于B，注意到F是定点，由圆的性质可知，|QF|的最小值为|CF|－r＝－1，故B错误；对于C，D，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确，D错误．故选AC. 9．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q(m，n)，点P到点Q和到y轴的距离分别为d1，d2，则(　　) A．抛物线C的准线方程为y＝－1 B．若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值为3 C．若(m－3)2＋n2＝1，则d1的最小值为2 D．若m－n＝－4，则d1＋d2的最小值为－1 答案：BD 解析：对于A，由抛物线方程可知，抛物线的准线是l：x＝－1，A错误；对于B，F(1，0)，当m＝n＝1时，点Q到直线l的距离d3＝2，△PQF的周长L＝|PQ|＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，B正确；对于C，因为(m－3)2＋n2＝1，所以Q(m，n)在圆上，圆心为M(3，0)，所以d1≥|PM|－1，设P，则|PM|2＝＋t2＝(t2－4)2＋8≥8，所以|PM|≥2，所以d1的最小值为2－1，C错误；对于D，若m－n＝－4， 则Q(m，n)在直线l1：x－y＋4＝0上，点F到直线l1的距离d4＝＝， d1＋d2＝d1＋|PF|－1≥d4－1＝－1，D正确．故选BD. 10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________． 答案：＋＝1或＋＝1　 解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝，又a＝2c，∴c＝，a＝2，b＝3， ∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1，离心率e＝＝. 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是________． 答案：(－1，1) 解析：由＝，得＝＝＝，得|PF1|＝， 又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c<<a＋c，∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0，又e∈(0，1)， ∴e∈(－1，1)． 12．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________． 答案：[1，＋∞) 解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)， 则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)． ∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0. ∴x＝a－1≥0，∴a≥1. 13．在平面直角坐标系xOy中，以点F1(4,0)，F2(8,9)为焦点的动椭圆与双曲线－＝1的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为________． 【答案】 解析：依题意知，F1(4,0)为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F，则F(－4,0)，设点P为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，|PF|－|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF|＋|PF2|＝2a＋4≥|FF2|＝ ＝15，所以有a≥.所以椭圆的通径为＝＝2a－，这里2c＝|F1F2|＝＝，所以由函数的单调性知，当a＝时，椭圆的通径最小，最小值为11－＝. 14．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围． 解：(1)因为点M(1，m)在椭圆上，所以＋m2＝1，因为m>0，所以m＝， 因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)， 所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝. (2)因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2， 由余弦定理，得cos∠F1MF2＝＝， 因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－12<0，又因为y＝1－，所以x<， 解得－<x0<，故横坐标x0的取值范围为. 15、如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)． (1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 解：(1)由p＝得C2的焦点坐标是. (2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x0，y0)． 将直线l的方程代入椭圆C1：＋y2＝1，消去x，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0， 所以点M的纵坐标yM＝－.将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，消去x， 得y2－2pmy－2pt＝0，所以y0yM＝－2pt，解得y0＝，因此x0＝. 由＋y＝1，得＝42＋24≥160，所以当m＝，t＝时，p取到最大值. 16．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围． 解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4， 再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C2的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 所以k2＜1且k2≠.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝. 又因为·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，所以＞2，即＞0，解得＜k2＜3.② 由①②得＜k2＜1，故k的取值范围为∪. 17．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，若C上的点M满足||MF1|－|MF2||＝2恒成立． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点M的直线l与C的两条渐近线分别交于点P，Q，且|MP|＝|MQ|. (ⅰ)证明：l与C有且仅有一个交点； (ⅱ)设O为坐标原点，求＋的取值范围． 解：(1)由双曲线的定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝2，∴a＝1.又|F1F2|＝4，∴c＝2. ∵a2＋b2＝c2，∴b＝，∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)(ⅰ)证明：双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨令P在直线y＝x上，Q在直线y＝－x上， 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＝x1，①，y2＝－x2，② 由①＋②，可得y1＋y2＝(x1－x2)，由①－②，可得y1－y2＝(x1＋x2)，由于x－＝0，且x－＝0， 相减可得x－x＝－，∴＝，由题意可知|MP|＝|MQ|， ∴x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴＝，即kPQ＝， ∴直线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即3x0x－y0y＝3x－y， 又点M在C上，∴3x－y＝3，则直线PQ的方程为3x0x－y0y＝3，联立方程 得(y－3x)x2＋6x0x－3－y＝0，∴－3x2＋6x0x－3x＝0，由Δ＝0可知方程有且仅有一个解， ∴l与C有且仅有一个交点． (ⅱ)由(ⅰ)，联立可得x1＝，同理可得x2＝， ∴|OP|·|OQ|＝|x1|·|x2|＝4|x1x2|＝4×＝4， ∴＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即|OP|＝时取等号． 又|OP|∈(0，＋∞)，∴＋的取值范围为[，＋∞)． 18、已知点A，B的坐标分别是(－，0)，(，0)，动点M(x，y)满足直线AM和BM的斜率之积为－3，记M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线y＝kx＋m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围． [解]　(1)因为A(－，0)，B(，0)，M(x，y)，所以kAM＝，kBM＝. 因为直线AM和BM的斜率之积为－3，所以·＝－3.整理，得＋＝1. 因为直线AM和BM的斜率存在，且均不为0， 所以x≠±(或y≠0)．所以曲线E的方程为＋＝1(x≠±)． (2)设直线y＝kx＋m与曲线E：＋＝1(x≠±)的交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 因为四边形OPRQ为平行四边形，所以PQ的中点也是OR的中点．所以R(x1＋x2，y1＋y2)． 由得(k2＋3)x2＋2kmx＋m2－6＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由Δ＝4k2m2－4(k2＋3)(m2－6)>0，得2k2>m2－6. 因为点R(x1＋x2，y1＋y2)在曲线E上，所以32＋2＝6，即k2＝2m2－3. 因为2k2>m2－6，所以2(2m2－3)>m2－6，解得m2>0. 当直线PQ过点(±，0)时，m＝±k，代入2m2－3＝k2，得k＝±1，所以m＝±，此时不符合题意． 因为2m2－3＝k2≥0，所以m≤－或m≥. 所以m的取值范围为(－∞，－)∪∪∪(，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $