11圆锥曲线中的轨迹问题——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线轨迹问题核心考点，涵盖直接法、定义法、相关点法等五种求轨迹方程方法，按“知识梳理-教材回归-考点突破”逻辑架构组织内容，通过方法步骤解析、教材真题精讲、考点例题演练等环节，帮助学生系统构建轨迹问题解题框架。 讲义突出“教材溯源+高考对接”特色，如定义法结合椭圆双曲线定义推导轨迹，参数法通过参数消元培养数学思维，设置选择、填空、解答分层跟踪练习，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——11 圆锥曲线中的轨迹问题 知识梳理： 方法一．直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 方法二．定义法求动点的轨迹方程 把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程． 方法三．相关点法求动点的轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 方法四. 参数法求轨迹方程 当动点坐标之间的直接关系难以找到时，往往先寻找与某一变数的关系，再消去参变数，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 方法五. 参数法（交轨法）求轨迹方程 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第4题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例6】动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 【人教A版选择性必修一习题3.1第6题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【人教A版选择性必修一习题3.1第11题】如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节P126练习第1题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【人教A版选择性必修一习题3.2第5题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【人教A版选择性必修一习题3.2第11题】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【人教A版选择性必修一复习参考题3第11题】已知的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于,求顶点的轨迹. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第9题】已知两点的坐标分别是.直线,相交于点,且它们的斜率之和是2,求点的轨迹方程. 【人教A版选择性必修一习题3.3第11题】已知两点的坐标分别是,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是2,求点的轨迹方程. 【人教A版选择性必修一习题3.3第9题】从抛物线(上各点向轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节P138练习第5题】已知圆心在轴上移动的圆经过点,且与轴、轴分别交于两个动点,求点的轨迹方程. 考点梳理： 定义法求轨迹方程 例、已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是 A． B． C． D． 例、已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为________. 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 例、【人教A版选择性必修一第3.2.1节例2】已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 直接法求轨迹方程 例、设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例、已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例、设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______. 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例3】 如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图3.1-6 代入法（相关点法）求轨迹方程 例、已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是（　　） A．x2＝y B．x2＝2y C．x2＝2y﹣2 D．x2＝2y﹣1 例、已知F1，F2分别为椭圆C：的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为（     ） A．(y≠0) B．＋y2＝1(y≠0) C．＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例2】如图3.1-5，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图3.1-5 参数法求轨迹方程 例．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例、设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 例．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程。 例、已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 交轨法求轨迹方程 例．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 例、已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线与直线的交点M的轨迹方程为 ． 例、【人教A版选择性必修一第3.3.2节例6】如图3.3-6,已知定点轴于点是线段上任意一点,轴于点于点与相交于点,求点的轨迹方程. 图3.3-6 例、已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过作一条斜率存在且不为0的直线交于两点. （i）证明：直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）若直线与直线交于点，求的轨迹方程. 跟踪练习： 1．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 2.长为10的线段的两个端点，分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知O为坐标原点，长为3的线段AB，端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，若动点P满足，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C．x2+y2＝4 D．x2+y2＝9 5．已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 7．一动圆与圆x2+y2+4x＝0外切，同时与圆x2+y2﹣4x﹣60＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 8．在锐角三角形PMN中，|MN|＝2，PQ⊥MN，垂足为Q，2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2，则点P的轨迹为（　　） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 9、（多选）已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（    ） A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 10．（多选）已知点和，直线，相交于点，则（   ） A．若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B．若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C．若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D．若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 11.（多选）已知线段的长度为4，线段的长度为，点、满足，，且点在直线上，若以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆 B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为 C．当时，点的轨迹为双曲线，该双曲线的离心率为 D．当时，点的轨迹为双曲线，该双曲线的渐近线方程为 12.已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______. 13．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是　 ． 14.已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.则点的轨迹的方程为 ; 15、已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________. 16.已知抛物线：，直线过点.若与交于，两点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为 . 17．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 18．（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——11 圆锥曲线中的轨迹问题 知识梳理： 方法一．直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 方法二．定义法求动点的轨迹方程 把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程． 方法三．相关点法求动点的轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 方法四. 参数法求轨迹方程 当动点坐标之间的直接关系难以找到时，往往先寻找与某一变数的关系，再消去参变数，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 方法五. 参数法（交轨法）求轨迹方程 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第4题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点M的轨迹是直线，并去掉点 【分析】设出点M的坐标，求出直线斜率，由可求出. 【详解】设点M的坐标为，则，， 当时，，整理得，所以点M的轨迹是直线，并去掉点. 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例6】动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：如图3.1-12，设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M轨迹就是集合． 由此得．将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆． 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 【答案】椭圆，理由见解析， 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】点M的轨迹是椭圆，由满足可知，动点到定点的距离之和为10，且，所以动点的轨迹为椭圆.由可得， ，焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为： 【人教A版选择性必修一习题3.1第6题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】椭圆，理由见解析 【分析】如图，连接，由题得，且,即得点Q的轨迹是椭圆. 【详解】 如图，连接，则,所以,所以，且, 所以当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆. 【点睛】本题主要考查轨迹问题，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】；椭圆． 【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程． 【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合， 由此得．将上式两边平方，并化简，得， 即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆． 【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点P在圆上即可求出. 【详解】设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得， 即，点P在圆上运动，， 即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 【人教A版选择性必修一习题3.1第11题】如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 【答案】证明见解析. 【分析】先求出直线的方程，再求出它们的交点的坐标，再证明在椭圆上，同理可得ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 【详解】由题得，，所以，所以直线的方程为（1），由题得，所以，所以直线的方程为，（2）， 联立方程（1）（2）解之得所以直线的交点为，代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合， 由此得．将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线（图3.2-11）． 图3.2-11 【人教A版选择性必修一第3.2.2节P126练习第1题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【分析】设，根据斜率之积是即可得出方程，判定形状. 【详解】设，因为，所以， 整理得，故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【人教A版选择性必修一习题3.2第5题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 【分析】连接QA，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接QA，如图所示： 因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆. 【分析】设动点，设d为点M到直线l的距离，根据题意可得，化简整理，令，即可得动点M的轨迹方程，即可得答案. 【详解】设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即， 左右同时平方，化简可得， 所以，令，所以，即， 所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆. 【人教A版选择性必修一习题3.2第11题】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【答案】. 【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离，，即 所以动点M的轨迹方程：. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第11题】已知的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于,求顶点的轨迹. 【解析】设，（不能与共线，否则无法构成三角形） 由题意知应分类讨论： （1）：方程化为，轨迹为除去左右顶点的双曲线； （2）且：方程化为，轨迹为除去两点的椭圆； （3）：方程化为，轨迹为除去两点的圆。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第9题】已知两点的坐标分别是.直线,相交于点,且它们的斜率之和是2,求点的轨迹方程. 【解析】已知，设动点，直线斜率存在要求：（否则或不存在）， ，由题意：，，通分得， 整理得，即，整理得。 【人教A版选择性必修一习题3.3第11题】已知两点的坐标分别是,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是2,求点的轨迹方程. 【解析】已知，设，，，由题意斜率之差为 2， 可得，，，，整理得。 【人教A版选择性必修一习题3.3第9题】从抛物线(上各点向轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线. 【解析】抛物线：，设抛物线上任意一点，满足 ， 由向轴作垂线，垂足为，设垂线段中点为，由中点公式： 即 ，代入抛物线方程：，，化简得： 其轨迹是顶点在原点，开口向右的抛物线。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节P138练习第5题】已知圆心在轴上移动的圆经过点,且与轴、轴分别交于两个动点,求点的轨迹方程. 【解析】设圆心为，圆过，故半径， 由，，得，时，点与重合，舍去； 因此 舍去，只能 ，即 又，，则，两边平方：， 化简得：将 代入，整理得： 又圆与坐标轴交于两个不同动点，不能为原点，故 ， 故轨迹方程为。 考点梳理： 定义法求轨迹方程 例、已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，，，，所以.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），方程为.故选:C. 例、已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为________. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.故答案为：. 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为，设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …①；当动圆与圆相内切时，有…②； 将①②两式相加，得，∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 例、【人教A版选择性必修一第3.2.1节例2】已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． 解：如图3.2-5，建立平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即，．又，所以，，．因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此．所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为． 图3.2-5 直接法求轨迹方程 例、设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A. 例、已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可用的坐标表示，结合题设条件可得点的轨迹方程. 【详解】设，则 所以， 又因为，所以，化简得到， 整理得到，所以点的轨迹方程为.故选：D. 例、设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______. 【答案】 【详解】圆可化为，则，设，P（x0，y0）， 所以，整理得,即， 将点代入圆的方程得，即为. 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例3】 如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图3.1-6 分析：设点M的坐标为，那么直线，的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程． 【解析】设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线的斜率 ．同理，直线的斜率．由已知，有，化简，得点M的轨迹方程为．点M的轨迹是除去，两点的椭圆． 代入法（相关点法）求轨迹方程 例、已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是（　　） A．x2＝y B．x2＝2y C．x2＝2y﹣2 D．x2＝2y﹣1 【答案】D 【解答】由x2＝4y，得其焦点坐标为（0，1），设线段PF中点为（x，y），P（x1，y1）， 由中点坐标公式得：，∴，∵P是抛物线上的点， ∴，即4x2＝4（2y﹣1），∴x2＝2y﹣1．故选：D． 例、已知F1，F2分别为椭圆C：的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为（     ） A．(y≠0) B．＋y2＝1(y≠0) C．＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 【答案】C 【详解】依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得，即 ，将其代入得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．故选：C 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例2】如图3.1-5，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图3.1-5 分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 【解析】设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为， 由点M是线段的中点，得，．因为点在圆上，所以①． 把，代入方程①，得，即．所以点M的轨迹是椭圆． 参数法求轨迹方程 例．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为，设，则由动点满足， 故选：A 例、设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 【答案】，. 【详解】配方得，若该方程表示圆，则有，得. 由标准方程知圆心的轨迹方程为，消去m，得.由， 得.故所求的轨迹方程是，. 例．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程。 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）由题列方程组求出即可得解；（2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； 【详解】（1）由题可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得，则，解得， 所以，设弦中点， 则，消去，得，而，所以点的轨迹方程为； 例、已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且．由韦达定理，得． 所以，．由消去k，得． 由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或． 交轨法求轨迹方程 例．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】向量坐标化得结合即可得点C的轨迹方程． 【详解】设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为.故选D. 例、已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线与直线的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，则，则，因为，，当时，所以直线的方程为：直线的方程为：，所以，又，所以，即，当时，也符合上式，所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是. 例、【人教A版选择性必修一第3.3.2节例6】如图3.3-6,已知定点轴于点是线段上任意一点,轴于点于点与相交于点,求点的轨迹方程. 图3.3-6 解:设点,其中,则点的坐标为. 由题意,直线的方程为(1)，因为点在上,将点的坐标代人(1),得(2) 所以点的横坐标满足(2).直线的方程为(3) 因为点在上,所以点的坐标满足(3). 将(2)代人(3)，消去，得即点的轨迹方程. 例、已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过作一条斜率存在且不为0的直线交于两点. （i）证明：直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）若直线与直线交于点，求的轨迹方程. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可； （2）（i）设，，直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii）设直线，直线，联立方程组得，，采用代入法可得的轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，，因为椭圆离心率为，所以， 所以，，所以椭圆的方程为； （2）（i）设，，直线的方程为， 联立方程，消去y得：， 则，即，由韦达定理得，，， 当时，，，不合题意，故， 所以直线和直线的斜率均存在，， 所以 ， 即直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）由（i）知，且，可设直线， 直线，设，则，整理得①， 由题意知，由①知，所以由①知，，②， 将②代入得，化简得，又因为，所以， 所以的轨迹方程为. . 跟踪练习： 1．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】因为A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足|PA|+|PB|＝6＞|AB|＝4，所以动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆，所以2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，b2＝a2﹣c2＝5，所以所求轨迹方程为． 2.长为10的线段的两个端点，分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，若，则，∴设，即，有，∴，得.故选：D. 3．点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得. 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得，故选：B． 4．已知O为坐标原点，长为3的线段AB，端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，若动点P满足，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C．x2+y2＝4 D．x2+y2＝9 【答案】A 【解答】设点P（x，y），A（a，0），B（0，b），因为，所以，即， 又|AB|＝3，所以a2+b2＝9，即9x29，整理得．故选：A． 5．已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据结合椭圆的几何定义，判断出轨迹为椭圆得解. 【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，，由可知圆内含于圆，设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得，故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，所以，，所以椭圆方程为，故选：D. 6．已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【分析】我们先将已知等式进行变形，使其符合上述公式的形式，然后判断动点的轨迹. 【详解】已知，将等式右边的变形为，即.此时原等式变为，两边同时除以得到. 表示点到点的距离，表示点到直线的距离.所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上，根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，故动点的轨迹是抛物线.故选：C. 7．一动圆与圆x2+y2+4x＝0外切，同时与圆x2+y2﹣4x﹣60＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】圆x2+y2+4x＝0可化为（x+2）2+y2＝4，则圆心O1（﹣2，0），半径为2．圆x2+y2﹣4x﹣60＝0可化为（x﹣2）2+y2＝64，则圆心O2（2，0），半径为8．如图所示：设动圆圆心为点P，半径为r， 圆P与圆O1外切于点M，则P，M，O1三点共线，且|PO1|＝|PM|+|MO1|＝2+r，圆P与圆O2内切于点N，则N，P，O2三点共线，且|PO2|＝|O2N|﹣|PN|＝8﹣r，|MO1|＝2，|O2N|＝8，|PM|＝|PN|＝r，所以|PO1|+|PO2|＝（2+r）+（8﹣r）＝10＞|O1O2|，所以点P的轨迹为以O1，O2为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝2， 所以，所以点P的轨迹方程为．故选：C． 8．在锐角三角形PMN中，|MN|＝2，PQ⊥MN，垂足为Q，2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2，则点P的轨迹为（　　） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【解答】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 不妨令M（﹣1，0），N（1，0），设P（x，y），则Q（x，0），因为△PMN是锐角三角形， 所以x∈（﹣1，1），则|QM|＝1+x，|QN|＝1﹣x，|PQ|＝|y|，因为2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2， 所以2（1+x）（1﹣x）＝4﹣y2，即2﹣2x2＝4﹣y2，整理得（﹣1＜x＜1），其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为，离心率为，故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分．故选：D． 9、（多选）已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（    ） A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【详解】分以下几种情况讨论：设定圆的半径为，①当点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上，由中垂线的性质可知．又因为点是线段的中垂线与的公共点，此时点与点重合，此时，点的轨迹为圆心；故A正确； ②当点在圆内，且点不与圆心重合，连接，由中垂线的性质可得，所以，，此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为的椭圆，故C正确；③当点在圆外：连接，由中垂线的性质可得，所以，，此时，点的轨逬是以点A，O为焦点，且实轴长为的双曲线．故D正确．故选：ACD． 10．（多选）已知点和，直线，相交于点，则（   ） A．若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B．若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C．若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D．若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 【答案】AC 【解析】设出点坐标，表示出直线，的斜率后逐项计算可得点轨迹方程，即可得解. 设，由题意可得直线，的斜率都存在，故，有，； 对A：，化简得，故点的轨迹是双曲线（除，两点），故A正确； 对B：，化简得，且有，故点的轨迹是（），故B错误； 对C：，化简得，又，故点的轨迹方程是（），故C正确；对D：，化简得（）， 又，故点的轨迹方程是（），故D错误.故选：AC. 11.（多选）已知线段的长度为4，线段的长度为，点、满足，，且点在直线上，若以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆 B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为 C．当时，点的轨迹为双曲线，该双曲线的离心率为 D．当时，点的轨迹为双曲线，该双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】根据题意可知：点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，点为线段的中点，点为线段的中垂线与直线的交点，则，当时，线段为圆的弦，则的中垂线过圆心，点即点，故A错误；当时，如图1，点在线段上，连接， 则，点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆，即， 则椭圆的离心率，故B正确；当时，过点作圆的切线，切点为，， 若点在劣弧（不包括端点，上，如图2，点在的延长线上，连接， 则，点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的双曲线的右半支； 若点在优弧（不包括端点，上，如图3，点在的延长线上，连接， 则，点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的双曲线的左半支， 则点的轨迹为双曲线，，则双曲线的离心率为，故C正确；当时，过点作圆的切线，切点为，，若点在劣弧（不包括端点，上，如图4，点在的延长线上，连接， 则，点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的双曲线的右半支； 若点在优弧（不包括端点，上，如图5，点在的延长线上，连接， 则，点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的双曲线的左半支， 则点的轨迹为双曲线，，渐近线方程为，D正确；故选：BCD． 12.已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______. 【答案】 【详解】解：方法一：由题意知，设，则，， 解得. 方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，则动点M到的距离与到的距离相等，根据抛物线的定义，为准线，为焦点，设抛物线为，，，故.故答案为：. 13．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是　 ． 【答案】x2． 【解答】连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点，∴MF2＝2，∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PM＝PF1，∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，c＝2，a＝1，则b．所以所求双曲线方程为：x2． 14.已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.则点的轨迹的方程为 ; 【答案】； 【详解】如图，. ，，即 ， 当互换位置时，，当直线 与轴重合时无法作出，故不在轴上， 点在以为焦点的双曲线上，且，故点的轨迹的方程为； 15、已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________. 【答案】或 【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.由可得，故，故在处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为，联立，即.联立直线与抛物线方程：，消去得，由题或.由韦达定理，，得，其中或，故点的轨迹方程为：或.故答案为：或 16.已知抛物线：，直线过点.若与交于，两点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为 . 【答案】，（且） 【详解】解法一：设，，，不妨令， ∵直线与抛物线有两个交点，∴，∴，且，，. 由，得，∴，∴，∴. ∵，且，∴，且，∴点的轨迹方程为（，且）. 解法二：设，，，不妨令， ∵直线与抛物线有两个交点，∴，∴，且，，. ∵点在线段上，设，则，， ∴，∴，∴，∴. ∵，且，∴，且，∴点的轨迹方程为（，且）. 17．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以，所以直线的方程为．由，得， 所以圆心，半径，所以圆的方程为． （2）设点．因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 18．（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）连接QF，此时|QP|＝|QF|， 则，所以动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点， 长轴长为4的椭圆．设椭圆的方程为，因为a＝2，， 所以b2＝a2﹣c2＝1，则点Q的轨迹Γ的方程为； （2）因为椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， 所以F1（﹣2，0），F2（2，0），设M（x0，y0），N（x，y）， 此时，，因为， 所以，解得，因为点M（x0，y0）在椭圆C上运动， 所以，整理得．则点N的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $