2026-2027学年九年级上学期开学考数学模拟卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 聚焦开学学情诊断，以劳动课调查、南宋哥窑八方杯等真实情境融合二次根式、统计量、多边形内角和等知识，体现数学眼光与文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、众数、平行四边形性质|基础巩固，如第2题以劳动课调查考统计量，培养数据意识| |填空题|6/24|方差稳定性、新定义运算、矩形动态问题|能力提升，如第15题新定义运算考查运算能力，第16题结合几何直观| |解答题|9/86|一元二次方程应用、正方形综合证明、函数探究|创新应用，如第22题利润问题建立模型，第24题正方形综合培养推理能力与空间观念|

2026-2027学年九年级上学期开学考数学模拟卷 （广东省广州市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】被开方数不含有开得尽方的因数或因式，且被开方数不含有分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意 ． 2．劳动课要开展传统点心制作活动，老师对该年级的全体学生最爱吃哪种传统点心进行调查，以此决定本次劳动课的制作品类．下面的调查数据最值得关注的是（    ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，需结合调查目的判断最值得关注的统计量，通过分析各统计量的含义，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：∵本次调查的目的是选出喜爱人数最多的传统点心，以此确定劳动课的制作品类， 又∵方差反映数据的波动程度，平均数反映数据的平均水平，中位数反映数据的中等水平，众数反映一组数据中出现次数最多的数据，对应人数最多的选择， ∴最值得关注的统计量是众数． 3．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 4．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：八边形的内角和为． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 6．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 【答案】D 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 7．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 8．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 9．如图，在平行四边形中，点在上，，平分，，则的面积为（     ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义得到，进而证得是等腰三角形，求出的长．最后过点作边上的高，利用含角的直角三角形性质求出高，即可计算面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 如图，过点作于点， 在中，，， ， ． 10．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为，则其中较小内角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 设相邻两个内角分别为，，由平行四边形的相邻内角互补求出即可． 【详解】解：设相邻两个内角分别为，， 由平行四边形的相邻内角互补，可得， ， 其中较小的内角为． 故答案为：． 12．甲乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩相等，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差越小越稳定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平均成绩相等， ∴成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】此题考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 13．在中，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 14．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 16．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】①证明是的中位线得，，进而得，进而可判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据和全等，得，由此可对结论②不正确；③当时，则，再根据得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可对，结论③进行判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在矩形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③当时，则， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故结论③正确； ④当时， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故结论④正确， 综上所述：正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则、完全平方公式和平方差公式． （1）先利用乘法分配律进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，最后把二次根式化成最简二次根式即可； （2）把x的值代入所求代数式，再根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴ ． 18．（6分） 用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 19．（8分） 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌． 20．（8分） 已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 21．（8分） 如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点 (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 22．（10分） 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 23．（12分） 在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 24．（14分） 如图，在正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的右侧作正方形．连接，过点D作交边于点H． (1)求证：； (2)连接，延长，交于点O，猜想的度数，并证明； (3)在正方形内部有一点P，连接，若，求的最大值． 【答案】(1) 证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：，证明如下： 如图，连接， 由（1）可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定定理即可得证； （2）连接HF，根据全等三角形的判定与性质及正方形的性质，证得四边形是平行四边形，进而证得是等腰直角三角形，即可解答； （3）过点E作，且，连接，利用勾股定理求出，根据正方形的性质证明，得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点E作，且，连接， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 25．（14分） 在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4． 根据信息解答下列问题： （1）求直线l1的表达式． （2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积． （3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y1＝x+2；（2）9；（3）存在，D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）． 【分析】（1）结合题目信息，利用数形结合思想确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组，求得C点坐标，然后利用三角形面积公式计算求解； （3）设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0），然后分当AC，DE为平行四边形的对角线时，当AD，CE为平行四边形的对角线时，当AE，CD为平行四边形的对角线时三种情况列方程组求解． 【详解】解：（1）∵当x＞2时，；当x＜2时，， ∴点B的横坐标为2， 当x＝2时，， ∴直线，的交点坐标为B（2，3）， ∵当时，x＜﹣4， ∴直线与x轴的交点坐标为A（﹣4，0）， 将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）联立， 解得：， ∴直线，的交点坐标为C（，）， ∴； （3）存在， ∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点， ∴设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0）， 又∵A（，0），C（，）， 在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中， ①当AC，DE为平行四边形的对角线时， ，解得， ∴此时D点坐标为（2，0）， ②当AD，CE为平行四边形的对角线时， ，解得， 此时D点坐标为（2，0）， ③当AE，CD为平行四边形的对角线时， ，解得， 此时D点坐标为（﹣10，0）， 综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）． 【点睛】本题考查了一次函数，平行四边形的性质，解题的关键是掌握与一次函数相关的知识点和平行四边形的性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期开学考数学模拟卷 （广东省广州市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．劳动课要开展传统点心制作活动，老师对该年级的全体学生最爱吃哪种传统点心进行调查，以此决定本次劳动课的制作品类．下面的调查数据最值得关注的是（    ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 7．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 8．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，点在上，，平分，，则的面积为（     ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 10．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为，则其中较小内角的度数是______． 12．甲乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩相等，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 13．在中，，，，则________． 14．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 16．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 18．（6分） 用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 19．（8分） 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 20．（8分） 已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 21．（8分） 如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点 (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求四边形的面积． 22．（10分） 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23．（12分） 在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 24．（14分） 如图，在正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的右侧作正方形．连接，过点D作交边于点H． (1)求证：； (2)连接，延长，交于点O，猜想的度数，并证明； (3)在正方形内部有一点P，连接，若，求的最大值． 25．（14分） 在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4． 根据信息解答下列问题： （1）求直线l1的表达式． （2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积． （3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $