精品解析：广东省广州市执信中学2025-2026学年九年级上学期9月开学学情调研数学

2025—2026学年度第一学期 初三级数学科开学考考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟． 第一部分选择题 (共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是（ ） A. y＝2x＋3 B. y＝2x－3 C. y＝2(x＋3) D. y＝2(x－3) 4. 下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A. 3，4，5 B. 30，40，50 C. 7，14，15 D. 5，12，13 5. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2023 9. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD各顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣3），C（4，﹣3），D（3，﹣1），若直线y＝﹣3x+b与▱ABCD有交点，则b的取值范围是（　　） A. 3≤b≤8 B. 2≤b≤8 C. 2≤b≤9 D. ﹣3≤b≤9 10. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第二部分非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知函数 是关于x 的二次函数，则m=_______． 12. 某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则方差为 _______． 13. 若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为______________． 14. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 15. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_____________________． 16. 如图， 在菱形中， ，． （）菱形的面积为 ______； （）若点 分别在 上， 且， 连接，则的最小值为______． 三、解答题(本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤) 17. 解方程： 18. 19. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2，若AC⊥BC，求证：AD∥BC． 20. 如图，平行四边形中，，点E，F分别在和的延长线上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 21. 某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示. （1）本次共抽查学生多少人？并将条形统计图补充完整； （2）请直接写出捐款金额的众数和中位数，并计算捐款的平均数； （3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？ 22. 若关于x的一元二次方程 一个根为1，且实数a，b满足 求： （1）求a，b，c的值； （2）抛物线 的顶点坐标为 ， （3）若抛物线 与x轴交于A、B两点，抛物线上是否存在点 P，使的面积等于7；若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 24. 某专卖店经销A、B两种型号平板电脑，A型平板电脑进价500元/台，售价700元/台，B型板电脑进价1000元/台，售价1300元/台，该商店准备投入3万元购进一批这两种型号的平板电脑，投入资金全部用完，其中B型平板电脑x台，这批电脑全部销售完毕后的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍． ①假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货? ②若市场行情有变化，实际销售中可将B型平板电脑售价每台上调m元（），A型平板电脑的售价不变，全部销售完毕可获得的最大利润是12780元，直接写出m的值． 25. 如图，正方形中，P为边上任一点， 于E，点F在的延长线上，且，连接，的平分线交于 G， 连接． （1）求的度数； （2）求证： （3）若， P为的中点， 求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 初三级数学科开学考考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟． 第一部分选择题 (共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用直接开平方法即可计算，按移项、化系数为1、开平方的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴， ∴，即． 3. 将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是（ ） A. y＝2x＋3 B. y＝2x－3 C. y＝2(x＋3) D. y＝2(x－3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：把直线y＝2x向下平移3个单位长度得到直线为y＝2x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减． 4. 下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A. 3，4，5 B. 30，40，50 C. 7，14，15 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】想要判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】A.，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意； B.，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意； C.，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意； D. ，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解题关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可得k﹤0，再根据一次函数的图象与性质即可做出选择． 【详解】解：∵正比例函数，且y随x的增大而减少， ∴k﹤0， 在中， ∵2﹥0，k﹤0， ∴直线经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与性质是解答的关键． 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 7. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集， 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：C． 8. 设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C 9. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD各顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣3），C（4，﹣3），D（3，﹣1），若直线y＝﹣3x+b与▱ABCD有交点，则b的取值范围是（　　） A. 3≤b≤8 B. 2≤b≤8 C. 2≤b≤9 D. ﹣3≤b≤9 【答案】C 【解析】 【分析】根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，然后与直线进行比较k的值，最后进行分析计算即可得到答案. 【详解】解:设直线AB解析式为 ∵A点坐标为（1，-1），B点的坐标为（2，-3） ∴ ∴解得 ∴直线AB解析式为 ∵ ∴直线的倾斜程度比直线的倾斜程度更厉害 即为下图所示的情况时，直线与平行四边ABCD有交点 当直线经过A（1，-1）时 ∴，解得 当直线经过C（4，-3）时 ∴，解得 综上所述 故选C. 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与图形的交点问题，解题的关键在于能够找到临界直线进行求解计算. 10. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，①先证得，进而再证得，由此得，据此可对结论①进行判断；②过点O作交于K，证得，进而得为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断；③证得，进而再证即可对结论③进行判断；④设的中点为M，连接，则，，假设，则，则，从而得，则为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，据此可对结论④进行判断；⑤根据可对结论⑤进行判断；⑥过点O作交于P，先证为等腰直角三角形，则，，证得，则，据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①如图1所示： ∵四边形为正方形，点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②过点O作交于K，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由结论①正确得， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即，故结论②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论③正确； ④设的中点为M，连接，如图3所示： ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾， ∴假设不正确，故结论④不正确； ⑤∵， ∴， 即，故结论⑤正确； ⑥过点O作交于P，如图4所示： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥，共5个． 故选：A． 第二部分非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知函数 是关于x 的二次函数，则m=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 12. 某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则方差为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，先根据平均数求出，再用方差的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， ， 故答案为：. 13. 若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移及交点式的应用，解题的关键是利用抛物线与轴交点设出交点式，结合平移性质确定二次项系数． 已知抛物线与轴交点，设出交点式，再根据抛物线由平移得到确定二次项系数，进而得出函数表达式． 【详解】抛物线与轴交于点和点， 设抛物线表达式为， 由于抛物线可由平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，的二次项系数是， ， 该抛物线的函数表达式为． 14. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 15. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_____________________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识．先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个矩形面积相等． 【详解】解：作于点M，交于点N，如图所示： 则四边形，，，都是矩形， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：9． 16. 如图， 在菱形中， ，． （）菱形的面积为 ______； （）若点 分别在 上， 且， 连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（）连接交于点，可得是等边三角形，得到，再利用勾股定理求出，进而得到的长，最后根据菱形的面积公式计算即可； （）作点关于直线的对称点，连接，与相交于点，则，可证四边形为平行四边形，得到，即得到，可知当三点共线时，最小，最小值为线段的长，证明，得到，，即得，即得到三点共线，即知当三点共线时，点重合，据此即可求解． 【详解】解：（）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，作点关于直线的对称点，连接，与相交于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 可知当三点共线时，最小，最小值为线段的长， 由（）知是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴三点共线， 即当三点共线时，点重合， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形的三边性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题(本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤) 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：利用平方差公式展开和二次根式的乘除法则运算；然后合并即可． 试题解析：原式=7-5+3-2 =2+1 =3. 19. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2，若AC⊥BC，求证：AD∥BC． 【答案】 证明：在中 根据勾股定理： ∵在中， ∴根据勾股定理的逆定理，为直角三角形， ∴AD∥BC． 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理求出的值，再在中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】略 20. 如图，平行四边形中，，点E，F分别在和的延长线上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，即是的中点，在直角中即可求得到的长，则求得，进而根据求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确得出的长是解题的关键． 21. 某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示. （1）本次共抽查学生多少人？并将条形统计图补充完整； （2）请直接写出捐款金额的众数和中位数，并计算捐款的平均数； （3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？ 【答案】（1）50人；（2）众数为10元，中位数为12.5元，平均数为13.1元；（3）132人. 【解析】 【分析】（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数； （2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数； （3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数． 【详解】解：（1）（人）：（人）， ∴本次抽查的学生有50人，补全条形统计图如图所示.（图略） （2）捐款金额的众数为10元，中位数为12.5元； ∴平均数为13.1元.. （3）捐款20元以上的大约有132人. 【点睛】本题考查平均数，解题关键在于熟练掌握计算法则. 22. 若关于x的一元二次方程 一个根为1，且实数a，b满足 求： （1）求a，b，c的值； （2）抛物线 的顶点坐标为 ， （3）若抛物线 与x轴交于A、B两点，抛物线上是否存在点 P，使的面积等于7；若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、二次函数的图象和性质等知识，求出二次函数的解析式是关键． （1）根据算术平方根的非负性求出，，根据关于x的一元二次方程 一个根为1得到即可； （2）根据（1）得到抛物线的解析式，求出顶点坐标即可； （3）求出，设，根据的面积等于7列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 解得， ∴， ∵关于x的一元二次方程 一个根为1， ∴， 解得， 【小问2详解】 由（1）得到抛物线为， ∵抛物线， ∴抛物线 的顶点坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 存在， 当时，， 解得， ∴A、B两点的坐标分别为， ∴， 设， ∵的面积等于7， ∴，即 当时， 解得， 当时， 解得， ∴点P 的坐标或或或． 23. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m取什么数，方程总有两个实数根； （2），2；（3）10 【解析】 【分析】（1）利用方程根的判别式求出△=进而得出答案； （2）利用菱形的性质得出，由两个根相等得出及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝3代入方程解得m＝2，进而得出x的值． 【详解】（1） 略 （2）解：∵是菱形， ∴， ∴当时， 即时，是菱形， 把代入已知方程可得：， 解得：； ∴这时菱形的边长为：2； （3）∵， ∴， 解得：， 把代入已知方程，可得：， 解得：，， ∴的周长是：． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 24. 某专卖店经销A、B两种型号平板电脑，A型平板电脑进价500元/台，售价700元/台，B型板电脑进价1000元/台，售价1300元/台，该商店准备投入3万元购进一批这两种型号的平板电脑，投入资金全部用完，其中B型平板电脑x台，这批电脑全部销售完毕后的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍． ①假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货? ②若市场行情有变化，实际销售中可将B型平板电脑售价每台上调m元（），A型平板电脑的售价不变，全部销售完毕可获得的最大利润是12780元，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）①A种平板电脑34台，B种平板电脑13台；②152 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键． （1）由“购进A型平板电脑的台数=（总投入-购进B型平板电脑台数×B型平板电脑进价）÷A型平板电脑进价”求出购进A型平板电脑的台数，根据“总利润=（A型平板电脑售价-A型平板电脑进价）×购进A型平板电脑的台数+（B型平板电脑售价-B型平板电脑进价）×购进B型平板电脑的台数”写出y与x的函数关系式即可； （2）①根据题意列关于x的一元一次不等式组并求解；根据（1）中得到的y与x的函数关系式的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时，y的值最大，并求出此时购进A型平板电脑的台数即可； ②B型平板电脑售价每台上调m元后的总利润为元，将（1）中得到的y与x的函数关系式代入并整理，讨论m的取值范围，根据函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y的值最大，求出其最大值，令其最大值为12780，列方程并求出m的值即可． 【小问1详解】 解：A种平板电脑的台数为：台 即y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 ①解：由题知： 又为整数 且x为整数 随x的增大而减小， 当时y有最大值，（台） 此时进货方案为：A种平板电脑34台，B种平板电脑13台． ②根据题意，得． 当时，， ∴y随x的增大而增大， ∵且x为整数， ∴当时，y的值最大，， ∴， ∴； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴y随x的减小而增大， ∵且x为整数， ∴当时，y的值最大，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，． 25. 如图，正方形中，P为边上任一点， 于E，点F在的延长线上，且，连接，的平分线交于 G， 连接． （1）求的度数； （2）求证： （3）若， P为的中点， 求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示， 过点C作，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 同理： ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据可得是的垂直平分线，进而得，然后根据“等边对等角”得，接下来根据“等角的余角相等”得，再结合可得，则此题可解； （2）过点C作，交于点H，根据“角角边”证明，可得，再根据可知，进而得出，最后根据可得答案； （3）过点F作交分别于点M，N，可知四边形是矩形，根据可得，进而得出，设，则，，接下来根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求出解. 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵， ∴. 在中，，平分， 即， ∴. 在中，， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点F作交分别于点M，N， ∵点P是的中点， ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴，设，则， 可知， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴. 在中，. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 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