2026-2027学年广东省广州市高三上学期开学考数学模拟卷

**基本信息** 2026-2027学年广州高三开学考数学模拟卷，以会员店满意度调查、知识问答比赛等现实情境为载体，融合集合、数列、概率统计等核心知识，通过基础巩固（如集合元素个数）、能力提升（如数列求和）、创新应用（如导数证明）的梯度设计，检测开学初数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11/58|集合（题1）、复数（题2）、立体几何（题9）|多选考正四棱台性质，体现空间观念| |填空题|3/15|圆的切线（题13）、双曲线离心率（题14）|双曲线题结合向量，考查数学抽象| |解答题|5/77|数列求和（题15）、概率分布（题16）、导数证明（题19）|15题三选一条件，19题逻辑推理，发展理性精神|

2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷 （广东省广州市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．若，其中是虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．已知数列满足，，则数列前2025项和为（   ） A．1013 B．-1011 C．1014 D．-1012 【答案】C 【分析】由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果. 【详解】由题意可知，当为偶数时，， 因此，数列前项和为. 故选：C. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 5．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 6．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（   ） A．72 B．84 C．96 D．108 【答案】B 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 7．假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 【答案】A 【分析】根据题意，结合正余弦定理，得出，尝试代数即可得出答案. 【详解】在中，不妨设，角，，所对的边分别为，，， 则，即，得， 整理得， 由题意知，可得，则. 而三角形三边长为连续的三个正整数，结合题意可知， 若，则，，此时，或，，此时，不满足三角形的定义； 所以，若，则，与为整数矛盾， c不可能为1，因此，，代入解得，因此该三角形的三边长为，，. 故选：A 8．定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得，令，，利用导数求得，，根据二次函数性质结合题意计算即可求解. 【详解】设点的坐标为， 则， 令，， 则， 令，则， 当时，，所以， 所以在区间上单调递增， 因为，，，， 由零点存在性定理可知，，使得，即， 即，，，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 因为， 所以，令，， 则，， 由二次函数性质可知，在上单调递减， 所以，即， 因为，，所以，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则正确的是（    ） A．它的表面积为 B．侧棱与下底面所成的角为 C．它的外接球的表面积为 D．它的体积比棱长为的正方体的体积大 【答案】ABD 【分析】根据正四棱台的面积公式和体积公式、正方体体积公式计算即可判断AD，侧棱与下底面的所成角放到直角三角形中计算判断B，先找到正四棱台的外接球的半径，再结合球的表面积公式计算判断C. 【详解】    对于A，由题意得，上底面的面积，下底面的面积， 侧面为等腰梯形，过､分别作的垂线，垂足为､， 如图所示，所以.则，所以， 所以梯形的面积为， 所以正四棱台的表面积，故A正确；    对于B，连接，，且交于点，连接，交于点，连接， 则垂直底面，过作于，则底面，则四边形为矩形， 由题意得，所以，同理， 又，所以，在中，， 所以，即侧棱与下底面所成的角为，故B正确； 对于C，.连接，在中， ，所以点到､､､､､､､的距离相等，均为， 所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径. 所以外接球的表面积，故C错误； 对于D，正四棱台的体积为 ， 棱长为的正方体的体积，所以， 所以，所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确. 故选：ABD. 10．在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AC 【分析】先根据证明，利用勾股定理可判断A选项；由已知条件得出，结合、诱导公式、二倍角的正弦公式可求出、的值，可判断B选项；由可判断C选项；由正弦定理求出，，结合以及勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】先证明，由题意，，得， 即，即， 即， 所以，可得， 即， 若，则，上式可转化成， 令，则可知矛盾，从而. 对于A选项，由于，根据勾股定理得，此时， 而右边为， 因左边右边，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 因为，所以，故， 所以，可得， 因为，所以，所以或，故或， 所以，B错； 对于C选项，， 因为为锐角，所以，， 则，故，C对； 对于D选项，由A选项可知，为直角，则，， 所以， 所以，， 所以，可得， 故的面积为，D错. 故选：AC. 11．设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（   ） A．l始终与圆P相离 B．无最值 C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3 【答案】AB 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项. 【详解】 对于A，因抛物线的准线，则，解得，故． 设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确； 对于B，设点，则， 因，则四边形AMPN的面积为， 可得，故B正确； 对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为， 两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误； 对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取， 则，由已知，且，可得O，M，P三点共线， 由，可得， 此时PM斜率为，而AM的斜率为， 此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误． 故选：AB． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为________． 【答案】255 【分析】通过赋值，可得，再由求出项的系数即可. 【详解】由， 令，可得， 又， 上式二项展开的通项为：．令，可得． ∴． 故答案为:255. 13．已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 14．已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________． 【答案】 4 -15 【分析】首先根据题意得到，从而得到，代入双曲线方程得到，从而得到；设，由题知：，根据得到，再计算即可得到答案. 【详解】设，如图所示： 因为，所以. 所以，，即. 所以，整理得：， ，即，解得或. 因为，所以，即. 设，由题知：， 因为，所以，即， 所以 又因为， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）若选择条件①，； 若选择条件②，； 若选择条件③，. 【分析】（1）设等差数列的d，根据求和公式可得，又，即可得解； （2）根据为等差数列，为等比数列，则： ，分组求和即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，又因为， 且，所以，故， 所以； （2）由（1）可知，，又，所以. 若选择条件①，可得， ； 若选择条件②，可得， ； 若选择条件③，可得， . 16．（15分） 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 P 数学期望为 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； （2）易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 17．（15分） 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分小王题都答错，或答对题答错题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答道题后积分小于，则小王题都答错，或答对题答错题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 由题意知，所以， 所以． （3）（i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有，即， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以 ， 又，所以． 所以 . 18．（17分） 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. (1)求的方程； (2)点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) （i）设点，且， 由题意得，，故，，， 则直线，直线， 则，则， 则，，故； （ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设点，求出，再求出直线的方程，得出点坐标，再计算即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过导函数研究其最值即可求出. 【详解】（1）由题意得，，，解得， 故的方程为； （2）（i）略 （ii）记的面积为，则， 因 再令， 则， 令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故的最大值为. 19．（17分） 已知函数（为自然对数的底数） (1)求函数在点处的切线方程； (2)若记，若，有，求的取值范围； (3)设，且，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明：由（2）知，当且时，，即， 令，得， 因为，所以， 当时，，当时，， ， 以上不等式相加得 ，证毕. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为对时恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可. 【详解】（1）由，则， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）若对，有， 即为：对时恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于， 即为恒成立， 设，则， 设，，则， 因为，所以， 所以在为减函数，则， 所以在为减函数，即， 所以，则的取值范围为. （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷 （广东省广州市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 2．若，其中是虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知数列满足，，则数列前2025项和为（   ） A．1013 B．-1011 C．1014 D．-1012 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 6．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（   ） A．72 B．84 C．96 D．108 7．假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 8．定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则正确的是（    ） A．它的表面积为 B．侧棱与下底面所成的角为 C．它的外接球的表面积为 D．它的体积比棱长为的正方体的体积大 10．在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 11．设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（   ） A．l始终与圆P相离 B．无最值 C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为________． 13．已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 14．已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和. 16．（15分） 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 17．（15分） 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 18．（17分） 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. (1)求的方程； (2)点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 19．（17分） 已知函数（为自然对数的底数） (1)求函数在点处的切线方程； (2)若记，若，有，求的取值范围； (3)设，且，证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $