精品解析：广东实验中学越秀学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

广东实验中学越秀学校2025学年第一学期开学测试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合A,B的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案. 【详解】∵ ，，, 故， ∴， 故选：C． 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】原式可变为，利用基本不等式求解. 【详解】由， 当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4， 故选：A. 5. 在△中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角互化，求得；再根据三角形等腰，求得，结合勾股定理即可求得结果. 【详解】，即，也即，即； 又，，故或；又，故，显然，则，△为等腰直角三角形， 故，解得. 故选：B. 6. 曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值. 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 7. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得； 【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有 所以，所以 所以 所以数列的前20项和为 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题. 8. 已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】依次算得，的一个周期为4，进一步结合已知得，由此得，然后利用周期性即可求解. 【详解】由题意，令，得，又不是常函数，所以， 再令，得，即， 则，即， 所以函数的一个周期为4，由，令， 得， 所以， 所以 . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，则， 因此，故A正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，因此 ， 即，故D正确． 故选：ABD． 10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则（ ） A. 平面 B. 四面体是鳖臑 C. 是四面体外接球球心 D. 过A、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证平面，可得，然后结合线面垂直判定定理可判断A；求出各棱长，利用勾股定理即可判断B；由可判断C；利用直角三角形性质可判断外接球球心，然后利用等体积法求出O到平面的距离，然后可得小圆半径，可判断D. 【详解】因为，为的中点，所以， 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，A正确； 因为平面，所以，为直角三角形， 由勾股定理得， 因为，所以， 因为，， 所以为直角三角形，所以四面体是鳖臑，B正确； 由上知，，所以，故不可能为四面体外接球球心，C错误； 记的中点为O，由上知，和都是以为斜边的直角三角形， 所以，，即O为四面体外接球球心， 因为分别为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 因为， 所以，， 所以， 记点O到平面的距离为d，则，得， 所以的外接圆半径， 所以，过A、、三点的平面截四面体的外接球的截面的面积为，D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ） A. B. C. 直线与相切 D. （为坐标原点）有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】求出焦点坐标与准线方程，即可判断A，设，利用判断B，得到直线的方程，联立直线与抛物线，消元，由判断C，设，，：，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据，判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，所以，故A错误； 设，则， 所以，则直线的方程为， 令，得，即， 所以，则，故，故B正确； 因为，所以直线的方程为， 由，消去整理得，显然，所以直线（）与相切，故C正确； 设，，：，由，可得， 显然，所以，， 所以，， 所以 ， 所以当时有最大值，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，，，若为纯虚数，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可； 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 13. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据向左平移得出的解析式，再求函数值即可. 【详解】由已知得， 所以. 故答案为：1. 14. 一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定的值，分别求出对应的概率，进而求出. 【详解】由题意得：， 总的选取可能数为， 当时，三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式， 故， 当时，恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能， 故事件的可能情况有种， 故， 当时，三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，为的中点，. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，再根据中位线得出，最后应用线面平行判定定理证明平面； （2）求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为： ． 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），140.5 （2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法可求回归直线方程，进而可得的预测值； （2）计算卡方值可得结论. 【小问1详解】 画出散点图(如图所示)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合. ，，又的方差为， ， ，故， 当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. 【小问2详解】 零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： 因为，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关，此推断犯错误的概率不大于. 17. 设数列满足 （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． （3）求 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化为，即可利用等差数列的定义证明即可； （2）先求出的通项公式，代入函数并利用导数的运算法则求出导函数，当且时函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数，当时利用等差数列求和求解，再求出，即可求解函数表达式； （3）将代入（2）中的导函数求解即可. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， 所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1，所以，即， 在中，， 所以，所以， 当且时，两式相减得， 所以； 当时，； 当时，； 综上，； 【小问3详解】 当时， . 18. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析过程 （2）答案见解析过程 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可； （3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； 【小问2详解】 由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时，上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； 【小问3详解】 问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于 在上的最小值与在上的最小值的差大于， 当时，则有，由（2）可知在上的最小值为， 由（1）可知在上的最小值为， 所以有； 当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为， 所以当时，， 此时有； 当时，， 则有， 综上所述：实数m的取值范围为. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ， 把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ；②是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，求解即可； （2）①设切线的方程为，由圆O的圆心到直线的距离公式可得，将直线的方程代入双曲线方程，由韦达定理即向量数量积的运算可得，同理可得，进而得到Q，O，R三点共线，由双曲线的对称性即可得证； ②由，可得，再利用向量数量积的运算及圆的性质即可得解. 【小问1详解】 由双曲线C的渐近线方程，可知，即. 把点带入双曲线C的方程得，由，解得， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②是定值，证明如下： 连接，，，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. 【点睛】关键点睛：将直线方程代入双曲线方程，借助韦达定理推出是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学越秀学校2025学年第一学期开学测试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 在△中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 8. 已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2026 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则（ ） A. 平面 B. 四面体是鳖臑 C. 是四面体外接球球心 D. 过A、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是 11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ） A. B. C. 直线与相切 D. （为坐标原点）有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，，，若为纯虚数，则__________． 13. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________. 14. 一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望_______________． 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，为的中点，. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设数列满足 （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． （3）求 18. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $