精品解析：广东深圳市中荟高级中学2027届高三8月调研考试数学试题

深圳市中荟高级中学2027届高三8月调研考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，求解即可. 【详解】 因为，，所以. 2. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为是的内角，且，所以. 因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，. 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件. 3. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三条侧棱两两互相垂直的三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，求其对角线即得球的直径. 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 4. 中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，且必为锐角，则， 对于可能为锐角，也有可能为钝角，则，均满足题设， 由， 若时，， 若时，， 综上，为或. 5. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 6. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用共面向量定理求出，再由三角形面积求得，结合向量数量积的运算律与基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因，，可得， 因三点共线，故，解得，故. 又因的面积为，，则，解得. 由两边取平方， 可得， 因，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为. 7. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 8. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设，，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则 C. 当时，的最小值是 D. 若：，，则：， 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合充分必要条件判定、不等式性质、基本不等式求最值、特称命题的否定四个知识点，逐一分析选项即可得出结论. 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 10. 已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式，从而判断A、B；由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出的范围，即可判断C，最后求出、，从而判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算公式和向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得且， 因为，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 14. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； 【小问2详解】 由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 16. 已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可； （ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 （ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. ， ， 两式相减，得 ； （ⅱ）， 因为 所以，所以数列是单调递增数列， 所以数列的最小项为， 要想对恒成立， 只需， 所以参数的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【小问1详解】 由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：对任意，都有. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为；单调递减区间为， （3）证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程；（2）利用求出单调递增区间，利用求出单调递减区间；（3）先证明，接着可得，两个等号不能同时成立，所以. 【小问1详解】 由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; 【小问2详解】 的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市中荟高级中学2027届高三8月调研考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 6. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设，，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则 C. 当时，的最小值是 D. 若：，，则：， 10. 已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_______． 13. 已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 14. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $