第一章 空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷(一)-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

:厂+y-2x=0可取m=5,1.0. -4x=0. 设n=（p,q,r)为平面A1MN的一个法向量， n·MN=0, 则 |-√3q=0, n.AN=0.…{-p-2r=0. 可取n=(2,0,-1). 于是cos〈m,n)= m…n=2尽=正，所以平面 mn2×√5 5 AMA与平面MAN的夹角的正弦值为√四， 22.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方 体的棱长为2， 则O1,1,0),A(2,0,0),P(0, 0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2). 设Q(0,2,c), ∴.0A=(1,-1,0),OP=(-1, -1,1),BQ=(-2,0,c), BD1=(-2,-2,2). 设平面PAO的一个法向量为n=(x,y,), n·OA=0,,x-y=0, 则 n·OP=0,-x-y+2=0, 令x=1,则y=1,之=2， ∴.平面PAO的一个法向量为n=(1,1,2). 若平面D1BQ∥平面PAO,则n也是平面D1BQ的 一个法向量 ∴.n·BQ=0,即-2+2c=0,∴.c=1, 这时n·BD1=-2-2十4=0，符合题意. .故当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ∥平面PAO. 第一章空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（一） 1.D[由条件知AB=(5,-5,6),∴.1AB|= √25+25+36=√/86.故选D.] 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略)， 则M=名店=(-2，受1)， M=而=(-名-名-2 所以EF=MF-M正=(-2，-3，-3)，故选B.] 3B[由于子+g+g=1, .P、A、B、C四点共面.故选B.] 4.C[{DA,DC,DD}为单位正交向量，BE=BB1十 BE=-D元+DDi∴B正=(o,-子1] 5.D[AB=(-2,-6,-2),AC=(-1,6,A-3), 1 :AB⊥AC, ∴.AB·AC=-2×(-1)-6X6-2(A-3)=0, 解得入=-14.] 6.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(2,2,1), F(1,0,2), ∴.AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 设向量n=(x,y,x)是平面AEF的一个法向量， (n·AE=2y+之=0 则 n·AF=-x+2x=0 取y=1, 得x=-4,之=-2， ∴.n=(一4,1，-2)是平面AEF的一个法向量. 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故 选B.] 7.B[设D(x,y,2),则AD=(x+1,y-1,2-2), AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-z), x+1=2(1-x), x 3 :AD=2DB,y-1=-2y,解得 1 2-2=-2-22 y=3 =0. D分30)，Ci-(g--a-1-: :CD1A.Ci.Ai=2(行-x+入-3(-1-0 =0, 郎得入=吕] 8.D[如图，设AC与BD交于点 O,连接OF.以O为坐标原，点， OB,OC,OF的方向分别为x轴， y轴，之轴的正半轴，建立空间直 角坐标系Oxy之. 设PA=AD=AC=1,则BD=√5，所以O(0,0,0), B(9.00F(0.0…2.c(o,0)小 0C=(0,7,0小，易知0元为平面BDF的-一个法向量， 由B心-（名0）F店=（停0，）可得西 BCF的一个法向量为n=(1,w5,√3).所以cos(n,OC》 -sna.之-2，所以am0d-25故 7 三五角CBFD的正切维为」 9.ABC[选项A,B,C的命题显然是正确的.只有当a、 b不共线且a∥a,b∥a时，D才正确.故答案为ABC.] 10.ABCD[根据基底的概念，知空间中任何三个不共 面的向量都可作为空间的一个基底.显然B正确.C 中由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，知BA, BM,BN共面.又BA,BM,BN过相同点B,知A,B, M,N四点共面.所以C正确.下面证明AD正确：A 假设d与a,b共面，则存在实数入，，使得d=入a+ b,.d与c共线，c≠0，∴.存在实数k,使得d=c. d00.从而c=冬a+bc与a,b共面，与 条件矛盾，∴d与a,b不共面.同理可证D也是正 确的.于是ABCD四个命题都正确，故选ABCD.] 11.ABC[由于AP.AB=-1×2+(-1)×2+(-4)× (-1)=0,AP.AD=4X(-1)+2X2+0×(-1)=0,所 以A、B、C正确，又BD=AD-AB=(2,3,4). :AP=(-1,2,-1),不满足AP=入BD, .D不正确，故选ABC.] 12.AC[:AD=(0,1,0),AB⊥AD,AA⊥AD, 又AB∩AA1=A,.AD⊥平面ABB1A1,.A正确： CD=(-1,0,0),而(1,1,1)·CD=-1≠0， ∴.(1,1,1)不是平面B1CD的法向量， ∴.B不正确；C中易证AC1⊥平面BCD 且AC1=(1,1,1),.C正确，D中，因AB=(1,0,0), ∴.AB·(0,1,1)=0,又AD1=(0,1,1), 且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，.D不正确.] 13.平行[设G是AC的中点， 则E-i+G亦=2BC+2Ai=2(Ai+Bd) 所以2EF=AD+BC,从而EF∥(AD+BC).] 14.60°[AB=AC+CD+DB, ∴.CD·AB=CD·(AC+CD+DB)=1CD2=1, CD.A=C可.A店 21 CDIAB 12 .异面直线a,b所成角是60°.] 15.2a+b+c[因为在四面体0ABC中，Oi=a, OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，所 以0i=0i+0d)=20i+20i=a+号× 3oi+0d=a+}b叶e)=2a++.] 4 16.√2[AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC 的距离.由已知可知，AB,AD,AP两两垂直. 以A为坐标原，点，AB,AD,A的方为x轴，y轴， 之轴正方向建立空间坐标系（图略），则A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)则P=(2,0,-2), BC=(0,2,0. 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c), 则nLPi即2a-2x=0, nL砣.即 2b=0, 12 取a=1,得n=(1,0,1), 又AB=(2,0,0), 所以d=B:m=反.] n 17.解：在正交基底{AB,AD,AA)下， 1)A=2A店+Ai+AA,A花=Ai+2AA, AG=A店+AD, ∴A=(01,2）A=(分11 AG=(1,70): (2)E=AF-A龙-A+2AA, ∴E=(3,0,2) EC-AG-AE-AB-2AD-7AAI. 成=(13,2)： DG=A花-Ai=A店-2方， Dc-(1,-30 18.解：(1)如图， D1B=DD+DB=-AA+AB -AD-a-b-c, E求-EA+A求=DA+AC 之(AA+A市)+2(A店+AD= 2a-c. (2)DF=2(DD+D,i) 子(-A不+a证-AD) 名(-AA+A成-A方-DD =1 y=-=-1 19.解：1：BmM=BC+CM,BC=AD.CM=之Cp, CP-AP-AC.AC-AB+AD. BM=Ai+2(A护-AC AD+2AP-2(AB+AD)- -2A+2Ai+2Ai--2a+2b+2 (2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0). 6 a00.0.0(370),P(371), ∴e=-o-oi=(合号） -(1,0,0)+(0,1,0)+2(分， (子》小 20.解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h, 由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0), B(5,0,h),C1(0,1,h), 则AB1=(W3,1,h),BC1=(-√5,1，h), :AB1⊥BC1,.AB1·BC1=-3+1+h2=0, 解得h=√2. (2)由(1)可知AB1=(3,1W2),BC=(-√5,1,0)， ∴AB·BC=-3+1=-2. |AB1|=√6，BC=2, ∴cos(ABi,BC=-2=-6 2√6 6 所以异面直线AB与BC所成角的余弦值为E 6 21.解：AB,AD,AP的方向为x 轴，y轴，之轴的正半轴，建立空 间直角坐标系，如图，则P(0, 0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设 E(0,yz),则 PE=(0,y,之-1)， PD=(0,2,-1), :PE∥PD,y(-1)-2(x-1D=0,① :AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量， CE=(-1y-1,2), .由CE∥平面PAB,可得CE⊥AD, ∴.(-1，y-1,)·(0,2,0)=2(y-1)=0, y=1,代入①式得=子E是PD的中点， 即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 22.证明：(1)分别连接PE,PF,PG, PH并延长，交对边于点M,N, Q,R,连接MN,NQ,QR,RM, 如图. E,F,G,H分别是所在三角形的重心， ∴M,N,Q,R是所在边的中点，且P它=子Pi。 p庐-号p.P店-会P.Pi-号p成 由题意知四边形MNQR是平行四边形， Ma=M+M派=(P-P而+(P成-p=号 (P-P)+(P-P)=(E求+Ei. 又M成-P0-pM=P心-多Pi=号d :.E心=EF+Ei,由共面向量定理知，E,F,G,H四 点共面. (2)平行.证明如下： 由I)得MQ=号EGMa/E成. :.EG∥平面ABCD. m=P-PMi=P床-P成=， ∴.MN∥E市 即EF∥平面ABCD 又，EG∩EF=E, ∴.平面EFGH与平面ABCD平行. 第一章空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（二） 1.D[由oi-=oi+号oi+元 可得3OM=OA+OB+OC→OM-OA+OM-OB+ OM-OC-0, 即AM=-BM-CM 所以AM与BM,CM在一个平面上，即点M与，点A,B, C一定共面.] 2.D[如图，BA=BA+AA,BA =/Za.AC=AB+AD,lACl=/2a. ∴.BAi·AC=BA·AB+BA·AD +AA1·AB+AA·AD=-a2 .cos(BA1,AC)=- -a2 2a·√2a -21 ∴(BA,AC)=120.] 3.D[由于BM=BB+BM=BB+2(BA+BC a+b叶c,故选D.] 、1 4.B[y轴的一个方向向量s=(0,1,0),cos〈n,s)= :”=号甲y轴与平面。所成角的正猴值定 n·s 罗故果所成的角的大小是子故运B] 5.B[建立坐标系如图所示. 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2, 0),C1(0,2,2),BC1=(-1,0,2), AE=(-1,2,1).第一章 空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（一） (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.在空间直角坐标系中，点A(一3,4,0)与点B(2,一1,6)的距离是 A.2√43 B.2√21 C.9 D.√86 如 2.在空间四边形ABCD中，若向量AB=(-3,5,2),C方=(-7，-1，一4)，点E,F分别为 线段BC,AD的中点，则EF的坐标为 意 A.（2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 3.A,BC不共线，对空间内任意一点0，若O驴=Oi+日Oi+日0心，则P,A,B,C四点 ( 邻 A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断是否共面 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为1， B,E=子AB,则B它等于 帕 A.(o,子，- B(-,0,1) 湘 c(o,- D.(0,-1 5.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,),若AB⊥AC,则入等 于 ( A.28 B.-28 C.14 D.-14 17 6.如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，以D为原点建立空间直角坐 D 标系，E为BB1的中点，F为A,D1的中点，则下列向量中，能作为平 面AEF的法向量的是 A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 7.已知A(-1,1,2),B1,0,-1),设D在直线AB上，且Ai=2D成，设Ca,号+x,1+, 若CD⊥AB,则入的值为 A号 B号 c 1 D.3 8.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点，则二面角CBF-D的正切 值为 A号 B9 c. D.23 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是 A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果a、b与平面a共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量 18 10.给出下列命题，其中命题正确的是 A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a,b,d}也可以作为空间的 一个基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N四 点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a十c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 11.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,一1，一4)，AD=(4,2,0), A户=（一1,2，一1）.对于下列结论正确的是 A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.AP是平面ABCD的法向量 D.AP∥BD 12.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C,D1是棱长为1的正 方体，给出下列结论中，正确的是 A.平面ABB1A,的一个法向量为(0,1,0) A(0) B.平面BCD的一个法向量为(1,1,1) C.平面BCD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面ABCD1的一个法向量为(0,1,1) 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，则EF和AD+BC的关系是 .(填“平行”“相等”或“相反”) 14.已知a,b是异面直线，A,B∈a,C,D∈b,ACLb,BDLb,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 15.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE .(用a,b,c表示) 19 16.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC= 90°，PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,G D C 分别为棱DD1,D,C,BC的中点，以{AB,AD,AA}为正交基底，求下 列向量的坐标： G (1)AE,A立，AG: (2)EF,EG,DG. 20 18.(本小题满分12分)在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，设AB=a,AD=b,AA=c,E, F分别是AD1,BD的中点， (1)用向量a,b,c表示D1B,E; (2)若D,F=xa十3b十C,求实数x,y,之的值. 21- 19.(本小题满分12分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO=1,M是PC的中 点.设AB=a,AD=b,A户=c, D (1)用向量a,b,c表示BM. 0 (2)在如图的空间直角坐标系中，求BM的坐标. -22 20.(本小题满分12分)已知在正三棱柱ABCA1B,C1中，底面边长 z个 01 C AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A,C,的中点，建立如图 所示的空间直角坐标系， 0 y (1)求正三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. —23 21.(本小题满分12分)如图，在四棱推P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC= ∠BAD=90,PA=BC=号AD=1.问：在棱PD上是香存在一点E, 使得CE∥平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 22.(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是 G ABCD所在平面外的一点，连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分 D入 别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心. (1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断 24