第一章 空间向量与立体几何 A卷基础达标卷(一) 空间向量及其运算-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

参考 第一章空间向量与立体几何 A卷基础达标卷（一）空间向量及其运算 1.D [DA+CD-CB=DA+BD=BA. 2.A[AO+OB=Dò+O元，AB=DC .AB∥DC且|AB1=|DC1. ∴.四边形ABCD为平行四边形.] 3.A[a⊥b,∴.a·b=0,(3a+2b)⊥(a-b), .(3a+2b)·(a-b)=0, 即3a2+(2λ-3)a·b-2b2=0, 又：1a=2,=312以-18=0，解得入=号] 4.c[A花.A-2(Ai+A·合Ai=十(A店· Ai+A花.Ai)=是(axax合+axax合） 2.] 5.D[对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时，可 得AD1⊥AD,而AD∥B1C,可得AD1⊥BC,此时 有AD1·B1C=O;对于选项B,当四边形ABCD为正 方形时，AC⊥BD,易得AC⊥平面BB1D1D,故有 AC⊥BD1,此时有BD1·AC=0:对于选项C,由长方 体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1, 此时必有AB·AD1=0:对于选项D,由长方体的性 质，可得BC⊥平面CDDC1,可得BC⊥CD1,△BCD 为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可 能垂直，即BD1·BC≠0.故选D.] 6.C[若MA,MB,MC为空间一组基向量，则M,A,B, C回点不共面，选项A中，因为}十号十号=1，所以 点M,A,B,C共面；选项B中，MA≠MB+MC,但可 能存在实数A,使得MA=入MB+么MC,所以点M, A,B,C可能共面：选项D中，四点M,A,B,C显然共 面；故选C.] 7.B[MN=Mi+A店+BN=号Oi+O成-Oi+日 0d-0)=-号0i+2oi+20心=-号a+2b +c 8.A[在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，有AC1 AB+AD+CC=AB+AD+AA. 答案 所以有1AC=|AB+AD+AAi1,于是有1AC12 IAB+AD+AA12=1AB12+1AD12+1AA12+ 2AB·|AD1·cos60°+21AB1·|AAi·cos60 +21AD1|AA1|·cos60°=25，所以|AC1=5.] 9.BD[A中，AB+2BC+2CD+DC=AB+2BD+ DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC:B中，2AB+ 2 BC+3 CD+3 DA+AC=2 AC+3CA+AC=0;C 中，AB+CA+BD=AD+CA:D中，AB-CB+CD -AD=AB+BC+CD+DA表示A→B→C→DA 恰好形成一个回路，结果必为0.] 1O.BCD[根据共线向量的定义，若AB∥CD, 则AB∥CD或A,B,C,D四点共线，故A错误： 因为AB∥AC且AB,AC有公共，点A,所以A、B、C三 点共线，故B正确； 由于a=4e1-号e:=-4(-e1+eg)=-6:所以 a∥b,故C正确；易知D也正确.] 11.AB[如图，(AA1+AD+AB)2= (AA1+A1D1+D1C)2=AC2= 3AB2: A1C·(A1B1-A1A)=A1C·AB1 =0; AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C 与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°； 正方体的体积为AB|AA1|ADL.故选AB.] 12.AD[对于A,因为2a=号a-b)十号(a+20),得 2a、a一b、a十2b三个向量共面，故它们不能构成一个 基底：对于B因为2b=号（b-a)+号（b十2a),得 2b、b-a、b十2a三个向量共面，故它们不能构成一个 基底；对于C,因为找不到实数入、4，使a=入·2b十 (b一c)成立，故a、2b、b一c三个向量不共面，它们能 构成一个基底：对于D,因为c=号(a十c》-（a c),得c、a十c、a一c三个向量共面，故它们不能构成 一个基底，故选ABD.] 13.2[c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由(c-a)·2b =-2,得2(1-x)=-2,解得x=2.] 14.2[由M、A、B、C四点共面知：-2十1十入=1， 即1=2.] 15.+e [DiM-D:D+DM -AA+2(DA+DC)- c+2(-ADi+AB)- 202+ej 16.景a-+号e[国为G=2GD, 所以B底=号Bò xBD-BA+BC-PA-PB+PC-PB-a+c-2b. 所以P店=Pi+店=叶号a+e-2b)= a0+号] 17.解：，G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线， G成-B成 又2Ac=2Dc-Di) 2D心Di-Di-Di=F成. “AG+号B弦-2AC AG+G正-FE=AF(如图所示). 18.证明：A1B=AB-AA, A成=A可+D成=A亦-AA. AN=号AC-号A店+Ad. AIN-AN-AA-2(AB+AD)-AA- 3 号(A蓝-AA+号A方合AA 子A+号A. ∴.AN与A1B,A1M共面. 19.解：(1)M是PC的中点， “BM=(BC+B前)=[A方+(A市-A] =2b+(e-a]=-2a+2b+3c (2)由于AB=AD=1,PA=2,∴.a=b=1, |c=2,由于AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60, .a·b=0,a·c=b·c=2X1·cos60°=1， 由于BM=2(-a+b+c, BM2=(-a+b+c)2=1[a2+8+e2+2(-a b-a·c+b·c)]=4[12+12+22+2×(0-1+1)] 12 ∴1BM= 2 ·BM的长为 20.(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得a=b|=c, 且a·b=b·c=c·a=0. C正=b叶2cA方=-c+b-7a :.CE.XD-(o+zc).(-c+26-za)- 2e2+b2=0,∴C2LA方，即CELAD. (2)解：：AC=一a+c,∴AC1=√@a, -号a :ad.Ci=(-a+c)·(b+2c)=2c2=2a, .cos(ACCE)=- 2a3 10 xlaj: 10 并面直线CE与AC所成角的会孩值为 21.解：(1)0B=OB+BB=OA+0C+0d=a+b+c. AC=AC+CC=AB+AO+AA=0C+00-0A =b+c-a. (2)法一：连接OG,OH(图略)， 则GH=GO+OH=-OG+OH -20+0d)+20+0d)= 2(a+b+c+b)+2a+b+c+e)=2c-b). 法二：连接OC(图略)，易得GHL2C0, GH-c-7(00-00-7(c-. 22.解：连接AN,则MN=MA+AN. 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 AC=AB+AD=a+b, i=-子aC=-子a+b. 又A1D=A1D1+D1D=AD AA1=b-c, 故AN=Aò+D成=Ad-N方=A方-}AD b-子b-, 所以Md=M+A=-号a+b)+b-号(b-c) =子（-a+b叶c. 2第一章 空间向量与立体几何 A卷基础达标卷 (一)空间向量及其运算 (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.空间任意四个点A,B,C,D,则DA十CD-CB等于 A.DE B.AC C.AB D.BA 如 2.设有四边形ABCD,O为空间任意一点，且AO十OB=DO+OC,则四边形ABCD是 金邮 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 3.已知a⊥b,a=2,b=3,且(3a+2b)⊥（λa-b),则λ等于 ( C± D.1 4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中 邻 点，则AE·AF的值为 A.a2 c 08 高 5.已知长方体ABCD-A,B,C,D1,则下列向量的数量积一定不为0的是 ( 阳 A.AD·B,C B.BD·AC C.A店·AD D.BD·BC 湘 6.若向量MA,MB,MC的起点M与终点A,B,C互不重合，且点M,A,B,C中无三点共线， 满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA,MB,MC成为空间一个基底的关系是 A.OM-30A+0B+00 B.MA≠MB+MC C.OM-OA+OB+OC D.MA=2 MB-MC 7.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中 点，则M不为 .-2ab十8 C.zu+z6-ge D.号a+号bc 8.平行六面体ABCD-A,B,CD,中，向量AB,AD,AA两两的夹角均为60°，且AB=1,AD =2,1AA1=3,则AC等于 A.5 B.6 C.4 D.8 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是 A.AB+2 BC+2 CD+DC B.2 AB+2 BC+3 CD+3 DA+AC C.AB+CA+BD D.AB-C第+CD-AD 10.有下列命题，其中是真命题的是 A.若AB∥CD,则A,B,C,D四点共线 B.若AB∥AC,则A,B,C三点共线 C.若e1,e为不共线的非零向量，a=46-号e,b=一0十e,则a/0 D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1十k2e2十ke3=0,则k1=k2= k3=0 11.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列命题正确的有 A.(AA+AD+AB)*=3 AB B.AC·(A1B1-A1A)=0 C.AD,与A,B的夹角为60° D.正方体的体积为AB·AA,·AD 12.已知a,b,c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是 ( A.2a;a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a十c,a-c 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c一a)·2b=一2，则x= 14.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM=-2OA十OB+λOC确定的 点M与A,B,C共面，则入= 15.在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，M为AC与BD的交点，若A1B,=a,A1D,=b,A1A =c,用a,b,c表示DM,则D,M= 16.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O,G为BD上一点， BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,试用基底{a,b,c}表示向量PG= 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心， E,F分别为边CD和AD的中点，试化简AG+B它-2AC,并在图中标 B 出化简结果的向量. —3 18.(本小题满分12分)在长方体ABCD-A1B,CD1中，M为DD1的中点，点N在AC上， 且AN:NC=2:1,求证：AV与A1B,AM共面. 一4一 19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边 长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等 于60°，M是PC的中点，设AB=a,AD=b,A户=c. (1)试用a,b,c表示出向量BM; (2)求BM的长， 5 20.(本小题满分12分)如图，已知在直三棱柱ABCA'B'C‘中，AC=BC= AA',∠ACB=90°，D,E分别为AB,BB的中点. (1)求证：CE⊥AD; (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值. 6 21.(本小题满分12分)如图，在正方体OABGOA'B'C'中，OA=a, 0心=b.00=c. KB (1)用a,b,c表示向量OB,AC; (2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a,b,c表示Gi. 一7 22.(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C,D,中，MA= D }AC,ND=号AD,设A店=a,Ai=bAA=c,试用a,b,c表 D 示MV. —8—