第一章 空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷(二)-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（二） (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A, B,C一定共面的是 铷 A.OM-OA+OB+OC B.OM=2 0A-OB-OC C.OM-0A+70B+300 D.oi=号oi+号O+号0d 意 2.在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C,D,中，向量BA1与向量AC所成的角为 A.60 B.1509 C.90° D.120° 3.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B,=a, AD=b,AA=c,则BM可表示为 邻 26+c 郑 C.- 2a- D.-jo a+b+c 高 4.已知平面a的一个法向量为n=(1,一1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( 阳 A否 B至 c D. 翻 5.在长方体ABCD-A1B1C,D1中，AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点， D B 则异面直线BC,与AE所成角的余弦值为 A.0 10 B.30 10 C.25 D.30 10 25 6.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(一1,0,5)，C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD 的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 7.如图是一平行六面体ABCD-A1B,CD,E为BC延长线一点，BC- 2C龙，则D,= A.AB+AD+AA B.AB+AD-AA C.AB+AD-AA D.AB+A市-AA 8.如图所示，ABCD-A,B,C,D1是棱长为6的正方体，E,F分别是棱AB, D BC上的动点，且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时，平面ADE与 平面C,DF所成锐二面角的余弦值为 C. D.26 5 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的中心为O,则下列结论中正确的有 A.OA+OD与OB,+OC是一对相反向量 B.O-OC与OA1-OD,是一对相反向量 C.OA+OB+OC+OD与OA,+OB,+OC+OD是一对相反向量 D.OA-OA与OC-OC是一对相反向量 —26 10.在以下命题中，不正确的命题是 A.a一b=a十b是a,b共线的充要条件 B.若a∥b,则存在唯一的实数入，使a=b C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,则P,A,B,C 四点共面 D.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a十b,b十c,c十a}构成空间的另一个基底 11.在正方体ABCD-A,B,CD1中，若E为A,C1的中点，则与直线CE不垂直的直线是 A.AC B.BD C.A D D.AA 12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,的棱BC的中 A 点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d,直线DE与 B 面AED1所成的角为O,面AED,与面AED的夹角为a,则( A.DF⊥面AED Bd=告 C.sin=45 15 D.cos a= 23 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量，且a=2e1一e2十e3,b=-e1十4e2一2e3,c= 11e1+5e2+e3,若向量a,b,c共面，则入= 14.如图，在长方体ABCD-A1B,CD1中，AB=BC=2,AA,=√2，E,F D 分别是面A,B,C,D,、面BCC,B,的中心，则E、F两点间的距离为 15.已知在正四棱台ABCD-A1B,C,D1中，上底面A1B,C1D,的边长为1，下底面ABCD的 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B,C所成角的余弦值为 27 16.点P是底边为2√3，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直 径，则PM·PN的取值范围是 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,一1)，c=(3,一2，z),a∥b,b⊥c,求： (1)a,b,c; (2)a十c与b+c夹角的余弦值. —28 18.(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD C D A1BCD1,底面ABCD是正方形，CC1=3,CD=2,且∠C,CB= ∠C1CD=60°. (1)设CD=a,CB=b,CC=c,试用a,b,c表示A,C; (2)已知O为四棱柱ABCD-A,B,C1D1的中心，求CO的长. 19.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C,D1中，已知AB=2, D C AA1=5,E、F分别为D1D、B,B上的点，且DE=B1F=1. B E (1)求证：BE⊥平面ACF; B 29 (2)求点E到平面ACF的距离. 20.(本小题满分12分)如图，已知点P在正方体ABCD-A'BC'D的对角 D 线BD上，∠PDA=60°. P (1)求DP与CC所成角的大小； (2)求DP与平面AAD'D所成角的大小. 30 21.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩 形ABCD所在的平面，BC=2√2，M为BC的中点. D (1)证明：AM PM; (2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小； (3)求点D到平面AMP的距离. 31 22.(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条 侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD. B (2)若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面ACD的夹角大小. (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在，求SE: EC的值；若不存在，试说明理由. -32a00.0.0(370),P(371), ∴e=-o-oi=(合号） -(1,0,0)+(0,1,0)+2(分， (子》小 20.解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h, 由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0), B(5,0,h),C1(0,1,h), 则AB1=(W3,1,h),BC1=(-√5,1，h), :AB1⊥BC1,.AB1·BC1=-3+1+h2=0, 解得h=√2. (2)由(1)可知AB1=(3,1W2),BC=(-√5,1,0)， ∴AB·BC=-3+1=-2. |AB1|=√6，BC=2, ∴cos(ABi,BC=-2=-6 2√6 6 所以异面直线AB与BC所成角的余弦值为E 6 21.解：AB,AD,AP的方向为x 轴，y轴，之轴的正半轴，建立空 间直角坐标系，如图，则P(0, 0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设 E(0,yz),则 PE=(0,y,之-1)， PD=(0,2,-1), :PE∥PD,y(-1)-2(x-1D=0,① :AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量， CE=(-1y-1,2), .由CE∥平面PAB,可得CE⊥AD, ∴.(-1，y-1,)·(0,2,0)=2(y-1)=0, y=1,代入①式得=子E是PD的中点， 即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 22.证明：(1)分别连接PE,PF,PG, PH并延长，交对边于点M,N, Q,R,连接MN,NQ,QR,RM, 如图. E,F,G,H分别是所在三角形的重心， ∴M,N,Q,R是所在边的中点，且P它=子Pi。 p庐-号p.P店-会P.Pi-号p成 由题意知四边形MNQR是平行四边形， Ma=M+M派=(P-P而+(P成-p=号 (P-P)+(P-P)=(E求+Ei. 又M成-P0-pM=P心-多Pi=号d :.E心=EF+Ei,由共面向量定理知，E,F,G,H四 点共面. (2)平行.证明如下： 由I)得MQ=号EGMa/E成. :.EG∥平面ABCD. m=P-PMi=P床-P成=， ∴.MN∥E市 即EF∥平面ABCD 又，EG∩EF=E, ∴.平面EFGH与平面ABCD平行. 第一章空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（二） 1.D[由oi-=oi+号oi+元 可得3OM=OA+OB+OC→OM-OA+OM-OB+ OM-OC-0, 即AM=-BM-CM 所以AM与BM,CM在一个平面上，即点M与，点A,B, C一定共面.] 2.D[如图，BA=BA+AA,BA =/Za.AC=AB+AD,lACl=/2a. ∴.BAi·AC=BA·AB+BA·AD +AA1·AB+AA·AD=-a2 .cos(BA1,AC)=- -a2 2a·√2a -21 ∴(BA,AC)=120.] 3.D[由于BM=BB+BM=BB+2(BA+BC a+b叶c,故选D.] 、1 4.B[y轴的一个方向向量s=(0,1,0),cos〈n,s)= :”=号甲y轴与平面。所成角的正猴值定 n·s 罗故果所成的角的大小是子故运B] 5.B[建立坐标系如图所示. 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2, 0),C1(0,2,2),BC1=(-1,0,2), AE=(-1,2,1). cos(BCi,AE)=- AE.BC =30 EI·|BC 10 所以异面直线BC与AE所成角的余弦值为 10.故 选B.] 6A[空间直角坐标系中， A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3), ∴.AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1), AB=-2CD,.直线AB与CD平行.故选A.] 7.B[取BC的中点F,连接A1F(图略)， 则A1D1LFE,所以四边形A1D1EF是平行四边形， 所以A1FLD1E,所以A1F=D1E 又AF=A1A+AB+B示=-AA+AB+AD, 所以D正=A+2AD-AA,故选B] 8.B[如图，以D为原点，DA、DC、 D DD1的方向分别为x轴、y轴、之 轴的正半轴，建立空间直角坐标 系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0) 时，A1、E、F、C1共面，设平面 A1DE的一个法向量为n1=(a,b,c), DE·n1=6a十3b=0 由题意得 DA1·n1=6a+6c=0 可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法 向量为n2=(2,-1,1), 故平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角余弦值为 因时-合故选 9.ACD[0为正方体的中心，.OA=-OC,OD -OB1,故OA+OD=-(OB1+OC),同理可得OB+ OC=-(OA+OD )*A+0B+0C+OD= -(OA]+OB+OC1+OD), ∴.A,C正确；：OB-OC=CB,OA1-OD1=D1A1, .OB-OC与OA1-OD1是两个相等的向量， ∴B不正确； 0A-0A=AA,OC-OC=CIC=-AA1, :.0A-OA=-(OC-0C),D正确.] 10.ABC[A.a-|b|=|a+b→a与b共线，但a与b 共线时.a一b|=a十b不一定成立，故不正确： B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2-2-1≠1，由共 面向量定理知，故不正确：D.由基底的定义知正确.] 11.ACD[建立如图所示的空间直角 坐标系.设正方体的棱长为1. 则A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),D(0,0,0), A11.0D.C010E(321 c成-（合合小 AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0), A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1). :Ci.aC-合-号+0=-10. .Bi=2+2+0=0, c2.Ai=-名+0-1=-音≠0 CE.A1A=0+0-1=-1≠0. ∴.与CE不垂直的有AC、A1D、A1A,故选ACD.] 12.BCD[以A为坐标原点，AB,AD,AA1的方向为x 轴，y轴，之轴的正方向，建立空间直角坐标系（图 略)，则A(0,0,0),E(2,1,0), D(0,2,0),D1(0,2,2),A1(0,0,2),F(2,0,1), 所以AE=(2,1,0),AD1=(0,2,2), DE=(2,-1,0),DF=(2,-2,1). 设平面AED1的一个法向量为m=（x,y,), m·AE=0 则由 。,得 2x十y=0,令x=1 m·AD1=0 2y+2z=0, 则y=-2,之=2，故m=(1,-2,2). DF=(2,一2,1)，不存在入使m=入DF, 即DF与m不共线，∴.DF与面AED1不垂直， 故A不正确；又DD1=(0,0,2), :.d-DD:m4 4 m十4干3，故B正确： 又DE=(2,-1,0) .sin0=|cos(DEm1=12+2+01=45 √/1+4+4/4+T15 故C正确；又AA1=(0,0,2)为平面AED的一个法 向量， AA1·m ∴.cosa A4肌一2X3子，故D正确，故应 选BCD.] 13.1[因为a,b,c共面，所以存在实数m,n,使得c= ma+b,则11e1+5e2+ae3=(2m-n)e1+(-m+ 4n)e2+(m-2n)e3, 2m-n=11 (m=7 则 -m+4n=5,解得n=3.] m-2n=入 (λ=1 :[以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD所在方 向为x轴、y轴、之轴的正半轴，建立空间直角坐标系 (图略).由条件知E(1,1②，F(1,2,号） 28 ∴求-(01，-号）) E,F两点同的距高为√6+1十-] 15. [设上、下底面中心分别为 O1、O,则OO1⊥平面ABCD,以 O为原，点，BD、AC、OO1的方向 分别为x轴、y轴、之轴的正半 轴，建立空间直角坐标系 AB=2,A1B1=1,.AC=BD=2√2，A1C1= B1D1=√2， :平面BDD1B1⊥平面ABCD,∴∠B1BO为侧棱与 底面所成的角， .∠B1BO=60°，设棱台高为h, 则tan60°= h 1 h=6 40,-E0.D(号o9）a(号9） C(0√2,0)， ∴Adi-(9)Bc-(-号，-)： dasad.nd-:c- 1 故异面直线AD与BC所成角的余弦值为子.] 16.[0,4][由题意知内切球的半径为1，设球心为， 则PM·P=(Pò+OMi)·(Pò+ON)=PO+ Pò.(OM+O)+OM.ON=|Pò12-1， 1≤1OP1≤5 .PM.Pi∈[0,4].] 17解：1)周为a/,所以气=号= 解得x=2,y=-4, 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c, 所以b·c=0, 即-6十8-之=0， 解得之=2，于是c=(3,一2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 设a十c与b十c夹角为0， 因此cos9=5-12+3 =2 /38·√38 19 18.解：(1)由CD=a,CB=b,CC1=c, 得CA1=a+b+c, 所以AC=-a-b-c. (2)O为四棱柱ABCD-A1B1CD1的中心，即O为线 12 段AC的中点. 由已知条件得a=b|=2,c=3,a·b=0,〈a,c) =60°，b,c〉=60. 由(1)得CA1=a+b+c, 则1CA12=CA12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a· b+2b·c+2a·c=22+22+32+0+2×2×3×cos60°+2 ×2×3×cos60°=29. 所以A1C的长为V2,所以C0的长为四 2 19.(1)证明：以D为原点，DA、DC DD1的方向分别为x轴、y轴、之 轴的正半轴，建立如图所示空间 直角坐标系，则D(0,0,0)、 A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、 D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4). AC=(-2,2,0),AF=(0,2,4,B正=(-2，-2,1)， AE=(-2,0,1D. :BE·AC=0,BE.AF=0, ∴.BE⊥AC,BE⊥AF, 且AC∩AF=A. ∴.BE⊥平面ACF. (2)解：由(1)知，BE为平面ACF的一个法向量， 小点E到平面ACF的距离d=AE:BE=5 BE 3 故点E到平面ACF的距离为 5 20.解：(1)如图，以D为原点，DA,DC,DD的方向分别 为x轴，y轴，之轴正方向，建立空间直角坐标系，设 DA=1. 则DA=(1,0,0),CC=(0,0,1). 连接BD,BD' 在平面BB'D'D中，延长DP交 B'D'于H.设DH=(m,m,1) (m>0), 由已知〈DH,DA)=60°， 由DA.Di=1DA1Di1cos(Di,DA),可得 2m=√/2m2+1. 部得m, 所以Di=(停号，小 因为cos(Di,CC)=2 ×0+号×0+1X1 √2×1 2 所以(Di,CC)=45°，即DP与CC'所成的角为45°. (2)平面AA'DD的一个法向量是DC=(0,1,0), 因为cos(DH,DC x0+号×1+1x0 2 1 1X√2 2 所以(DH,DC)=60°， 可得DP与平面AA'DD所成的角为30°. 21.(1)证明：以D为原点，分别以 DA,DC的方向为x轴、y轴的正 半轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，依题意，可得D(0,0,0), P(0,1wW3),C(0,2,0), A(2√2,0,0)，M√2,2,0) PM=(W2,1,-√5)，AM=(-√2,2,0)， ∴.PM·AM=(W2,1,-3)·(-√2,2,0)=0， 即PM⊥AM,.AM⊥PM. (2)解：设n=(x,y,2)为平面PAM的一个法向量， n·PM=0, 则 n·AM=0, W2x+y-3x=0, 即 -√2x+2y=0, 取y=1,得n=(W2,1w3).取p=(0,0,1), 显然p为平面ABCD的一个法向量， ap=治-得-号 结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角 为45. (3)解：设，点D到平面AMP的距离为d,由(2)可知 n=(√2,1W5)与平面PAM垂直，则 d=DA,m=12E.0,0)·(E,11-26 n √/（√2）2+12+（√5）2 3 即点D到平面AMP的距离为2y 3 22.(1)证明：连接BD,设AC交 BD于O,由题意知SO⊥平面 ABCD.以O为坐标原点，OB, O心，O5的方向分别为x轴、y 轴、之轴正方向，建立空间直角 坐标系Oxy之如图. 设底面边长为a, 别南S0- 于是soo.号a)D(-号0.o）.co,号o） 0-(,osi=(0,-) :0元.sD=0, 故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 1 (2)解：由题设知，平面PAC的一个法向量DS= (停.0，a)半面DAC的-个法向量0 (00,5)设所求角为6：则 c0s0= OS·DS 10S1·1DS2 .平面PAC与平面ACD的夹角为30° (3)解：在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC 由(2)知DS是平面PAC的一个法向量， 1Ds=(停o.).=(0.） 设CE=tCS,刚B正-BC+C元=BC+1CS= (-.号.1-w.9）】 6B驼，D店=0=1寸 即当SE:EC=2:1时， BE⊥DS, 而BE不在平面PAC内， 故BE∥平面PAC. 第二章直线与圆的方程 A卷基础达标卷（一）直线的方程 1.A[因为斜率k= √3-√2 =1,所以倾斜角 -√2-(-√5) 为45°.] 2.D设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则有k1·k2=-1, 从而直线11与l2垂直.] 3.B[由方程y-2=-3(x+1)得y=-5.x十2-3， ∴斜率k=一√5，在y轴上的截距为2一√5，倾斜角 为120°.] 4.A「，点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两 点式方程得号-多即2十y一8=0.】 5.C[.两直线平行，.a(a-1)-2=0,解得a=-1 或a=2,当a=2时，两直线重合，舍去，当a=一1时 两直线平行.故选C.] 6.A[由题意知，直线MN过点M(0,一1)且与直线x +2y-3=0垂直，其方程为2x-y-1=0.直线MN 与直线x一y十1=0的交点为N,联立方程组 2.x-y-1=0, 即N点坐标为(2,3).] x-y+1=0, 解得=2， y=3, 7.C[直线l:y=2x一1可化为2x-y-1=0,依题意得 21+士0》-1-5整2得1=1，所以1=1或 VW22+(-1)z -1.当t=1时，点P的坐标为(2,4)；当t=一1时，点 P的坐标为(0，一2)，故选C.] 0