第一章 空间向量与立体几何 A卷基础达标卷(二) 空间向量的应用-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 A卷 基础达标卷（二）空间向量的应用 (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.空间两点A,B的坐标分别为(x,一y,之)，（一x,一y,一），则A,B两点的位置关系是 铷 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于z轴对称 D.关于原点对称 意 2.已知三点A(1,5,一2)，B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上，那么 A.a=3,b=-3 B.a=6,b=-1 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=1 3.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=2x-2a,则x等于 A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.( 邻 4.若直线l的方向向量为a,平面a的法向量为n,则能使l∥α的是 A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 5.已知平面a和平面3的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则 A.a⊥3 B.a∥B 好 C.a与3相交但不垂直 D.以上都不对 翻 6.=(2,一2,2)是平面α的一个法向量，v=(1,2,1)是平面3的一个法向量，则下列 命题正确的是 A.a,B平行 B.a,3垂直 C.a,3重合 D.a,B不垂直 7.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若a=6,且 l1⊥l2,则x十y的值是 ( A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 9 8.如图，已知在长方体ABCD-A1B1CD1中，AD=AA1=1,AB=3, C E为线段AB上一点，且AE=}AB,则DC与平面D,EC所成 角的正弦值为 A.335 B.27 35 c 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列各命题正确的是 A.点(1，一2,3)关于平面xOx的对称点为(1,2,3) B点（合1，一3关于y轴的对称点为（一13 C.点(2，一1,3)到平面yOz的距离为1 D.设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底，若m=3i-2j十4k,则m=(3,一2,4) 10.若向量a=(1,2,0),b=(一2,0,1)，则下列结论正确的是 A.cosa,b〉= 2 B.a⊥b C.a∥b D.a=b 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M,P,Q分别为棱AB, CD,BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是 A.AM∥D,P B.A,M∥B,Q C.A,M∥平面DCC1D D.A,M∥平面D1PQB 12.如图，ABCD-A,B,C,D1为正方体，下面结论正确的是 A.BD∥平面CB1D B.AC⊥BD C.AC1⊥平面CB1D D.异面直线AD与CB,所成的角为60 10 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.在空间直角坐标系中，已知点P(1,√2，√3)，过点P作平面Ox的垂线PQ,则垂足Q的坐标 为 14.若直线l的方向向量为a=(1,一2,3)，平面a的法向量为n=(2,x,0),若l∥a,则x的 值等于 15.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则AB与CA的夹角0的大小是 16.两平行平面a,3分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n= (一1,0,1)，则两平面间的距离是 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知在三棱柱ABCA1B,C,中，侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长 都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标. 11 18.(本小题满分12分)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB, b=AC. (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值； (2)若ka十b与ka一2b互相垂直，求实数k的值. -12 19.(本小题满分12分)如图，已知在正方体ABCD-A1B1C,D1中，M, D N,P分别是AD1,BD,BC的中点，利用向量法证明： A1 M (1)MN∥平面CC,D,D; D (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 一13一 20.(本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的 E 平面互相垂直，AB=√2，AF=1,M是线段EF的中点.求证：AM 平面BDF. C B -14 21.(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形， B AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的 中点. N M (1)求证：MN∥平面C,DE; D必 (2)求平面AMA,与平面MA,N的夹角的正弦值. -15 22.(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面 C ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，当点Q在什么 P B阶、 位置时，平面D,BQ∥平面PAO? D. 0 16第一章空间向量与立体几何 A卷基础达标卷（二）空间向量的应用 1.B[纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故 两点关于y轴对称.] 2.C[根据题意AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4), :AB与AC共线，.AC=入AB,.(a-1,一2，b十4) (入，入，3λ)， a-1=λ， a=3, .-2=-入，解得b=2,故选C.] (b+4=3x, (λ=2. 3.B[由题a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2), 设x=(,y,z) 则由6=2x-2a,可得(-4，-3，-2)=名（0） -228-0-(日，2日)-4.6，-80-（日 w-4,2y-6,7+8）, 解得=0，y=6,之=-20，即x=(0,6,-20).] 4.D[若l∥a,则a·n=0. 而A选项中a·n=-2,B选项中a·n=1+5=6,C 选项中a·n=-1,只有D选项中a·n=-3+3=0. 故选D.] 5.B[因为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),所以有 n=一2m,即m与n共线（平行），可知平面a和平面B 相互平行.故选B.] 6.B[u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2× 1=0, ∴u⊥v,∴.平面a⊥平面B.] 7.A[由条件可知a√/4+16+x2=6,且a·b=4+4y+ 2x=0,解得=4 /x=-4 y=-3或6=1x+y=1或-3.] 或 8.A[以D为原点，DA,DC,DD1的方向分别为x轴，y 轴，之轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）， 则C(0,3,0),E(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,3,1), D(0,0,0),DC1=(0,3,1),D1E=(1,1,-1) D1C=(0,3,-1), 设平面D1EC的法向量为n=(x,y,2), (D1E·n=0, 则 可得平面DEC的一个法向量为n= D1C·n=0, (2,1,3), 所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为 sin0=cos〈DC1,n〉 n·DC |nl·lDCl √14×√/10 35 11 9.ABD[“关于谁对称谁不变”，.A正确，B正确，C中 (2,一1,3)到面yOg的距离为2，.C错误.根据空间 向量的坐标定义，D正确.门 10.AD[.向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴.|a=√5，|b=√5， a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, saw=。。号=-子 由上知A正确，B不正确，D正确.C显然也不正确.] 11.ACD[连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD 的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行 且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以 PMA]D1为平行四边形，故A正确.显然A1M与 B1Q为异面直线.故B错误. 由A知A1M∥DP.由于D1P既在平面DCC1D1 内，又在平面D1PQB1内.且A1M既不在平面 DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内.故CD正确.] 12.ABC[由于BD∥B1D1,BDt平面CB1D1,B1D1C 平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正确；因 为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC=C,所以BD⊥平 面ACC1,故B正确；同理可证AC1⊥B1D1,AC1⊥ B1C,B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故 C正确；由于AD∥BC,所以∠BCB1是异面直线AD 与CB1所成的角，易知∠BCB1=45°，故D错误.] 13.(0√2，√3)[过点P的垂线PQ⊥平面yO2,则Q点 横坐标为0，其余与P点相同，故Q(0√2,3).] 14.1[由l∥a可知a·n=0,即2-2x=0,所以x=1.] 15.120°[AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2), cos(AB.CA) =-2)×(-1)+(-1)X3+3×(-22=-1 14·14 2 ∴.0=AB,CA)=120°.] 16号 [两平行平面QB分别经过坐标原点0和点 A(2,1,1),OA=(2,1,1), 且两平面的一个法向量n=(一1,0,1)， ·两平面间的距离d=n,0-2+0+1山 n √2 17.解：如图所示，取AC的中点O和 A1C1的中点O1,可得BO⊥AC, OO1⊥AC,分别以OB,OC,OO1所 在直线为x轴、y轴、之轴，建立空间 直角坐标系. ,三棱柱各棱长均为1， 0A=0C=0G=0A1=2,0B- 21 A,B,C均在坐标轴上， 3 ∴A(0.-0B(9.00).C,7) 点A1与C在yOe平面内， ∴A(0,-21).G(0,21)片 ,点B1在xOy平面内的射影为B,且BB1=1, ∴B(50,1即各点的坐标为A(0,-合0） B(50C(0,0A(0,-z1 B(501G(0,2,1片 18.解：(1)：a=(1,1,0),b=(-1,0,2), .a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又|a=12+12+02=√2 |b1=√-1+02+22=√5， cos(a,b)=0:b=-1 a 6 10 、 /10 10,即向量a与 向量b的夹角的余弦值为一四 101 (2)法一：：ka十b=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4),且ka十b与ka-2b互相 垂直， ∴.(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2 -8=0解得友=2或及=-号 ,∴.当a十b与ka一2b互相垂直时，实数k的值为2 成 法二：由(1)知a=2,b=√5，a·b=-1, ∴.(k知+b)·(k知-2b)=k2a2-k知·b-2b2=2k2+k -10=0,解得友=2或A=一号 ∴.当k知十b与ka一2b相互垂直时，实数k的值为2 或- 19.证明：(1)以D为坐标原点， DA,DC,DD1的方向分别为x 轴，y轴，之轴的正方向，建立空 间直角坐标系，并设正方体的 棱长为2，则A(2,0,0), C(0,2,0),D(0,0,0), M1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1) 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D, 所以DA=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于MN=(0,1,-1),则MN.DA=0×2+1×0+ (-1)×0=0,所以MN⊥DA. 又MNt平面CCD1D, 所以MN∥平面CCD,D. (2)易得MN=(0,1,-1),MP=(0,2,0), 124 设平面MNP的法向量为n=(x,y,之)， n·Mp=0'中2y=0,故y==0,取x=1, n·MN=0my-=0 →，即 则n=(1,0,0).又由于平面CCD1D的法向量为 DA=(2,0,0).由于DA=2n,故DA∥n, 故平面MNP∥平面CCDD. 20.证明：以C为坐标原点，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,√2,0)，B(0,2,0), D(2,0,0),F(√2,2,1)， M停 DA 所以-（号竖小 DF=(0,√2,1)，BD=(W2,-√2,0). 设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量， 则n⊥BD,n⊥DF, nB时=E,-=0. n.DF=2y+x=0 6 取y=1,得x=1,之=-√2.则n=(1,1,-√2). =(号-9) ∴n=-EAM,得n∥AM ∴.AM⊥平面BDF. 21.(1)证明：连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC 的中点，所以ME/BC,且ME=2BC 又因为N为AD的中点，所以ND=AD, 由题设知A1B1LDC,可得B1CLA1D,故MEL ND,因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED. 又MN平面EDC1,所以MN∥平面C,DE. (2)解：由已知可得DE⊥DA.以 D为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，DE为y轴正方向， DD1为之轴正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系Dxyz,则 A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1, √3,2)，N(1,0,2), A1A=(0,0,-4),A1M=(-1W5,-2), A1N=(-1,0,-2),MN=(0,-3,0). 设m=(x,y,之)为平面A1MA的一个法向量， m·A1M=0, 则 m·AA=0. :厂+y-2x=0可取m=5,1.0. -4x=0. 设n=（p,q,r)为平面A1MN的一个法向量， n·MN=0, 则 |-√3q=0, n.AN=0.…{-p-2r=0. 可取n=(2,0,-1). 于是cos〈m,n)= m…n=2尽=正，所以平面 mn2×√5 5 AMA与平面MAN的夹角的正弦值为√四， 22.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方 体的棱长为2， 则O1,1,0),A(2,0,0),P(0, 0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2). 设Q(0,2,c), ∴.0A=(1,-1,0),OP=(-1, -1,1),BQ=(-2,0,c), BD1=(-2,-2,2). 设平面PAO的一个法向量为n=(x,y,), n·OA=0,,x-y=0, 则 n·OP=0,-x-y+2=0, 令x=1,则y=1,之=2， ∴.平面PAO的一个法向量为n=(1,1,2). 若平面D1BQ∥平面PAO,则n也是平面D1BQ的 一个法向量 ∴.n·BQ=0,即-2+2c=0,∴.c=1, 这时n·BD1=-2-2十4=0，符合题意. .故当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ∥平面PAO. 第一章空间向量与立体几何 B卷单元综合提升卷（一） 1.D[由条件知AB=(5,-5,6),∴.1AB|= √25+25+36=√/86.故选D.] 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略)， 则M=名店=(-2，受1)， M=而=(-名-名-2 所以EF=MF-M正=(-2，-3，-3)，故选B.] 3B[由于子+g+g=1, .P、A、B、C四点共面.故选B.] 4.C[{DA,DC,DD}为单位正交向量，BE=BB1十 BE=-D元+DDi∴B正=(o,-子1] 5.D[AB=(-2,-6,-2),AC=(-1,6,A-3), 1 :AB⊥AC, ∴.AB·AC=-2×(-1)-6X6-2(A-3)=0, 解得入=-14.] 6.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(2,2,1), F(1,0,2), ∴.AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 设向量n=(x,y,x)是平面AEF的一个法向量， (n·AE=2y+之=0 则 n·AF=-x+2x=0 取y=1, 得x=-4,之=-2， ∴.n=(一4,1，-2)是平面AEF的一个法向量. 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故 选B.] 7.B[设D(x,y,2),则AD=(x+1,y-1,2-2), AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-z), x+1=2(1-x), x 3 :AD=2DB,y-1=-2y,解得 1 2-2=-2-22 y=3 =0. D分30)，Ci-(g--a-1-: :CD1A.Ci.Ai=2(行-x+入-3(-1-0 =0, 郎得入=吕] 8.D[如图，设AC与BD交于点 O,连接OF.以O为坐标原，点， OB,OC,OF的方向分别为x轴， y轴，之轴的正半轴，建立空间直 角坐标系Oxy之. 设PA=AD=AC=1,则BD=√5，所以O(0,0,0), B(9.00F(0.0…2.c(o,0)小 0C=(0,7,0小，易知0元为平面BDF的-一个法向量， 由B心-（名0）F店=（停0，）可得西 BCF的一个法向量为n=(1,w5,√3).所以cos(n,OC》 -sna.之-2，所以am0d-25故 7 三五角CBFD的正切维为」 9.ABC[选项A,B,C的命题显然是正确的.只有当a、 b不共线且a∥a,b∥a时，D才正确.故答案为ABC.] 10.ABCD[根据基底的概念，知空间中任何三个不共 面的向量都可作为空间的一个基底.显然B正确.C