25.2.3 因式分解法 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，通过基础达标、能力提升、微专题三级分层，实现从概念理解到综合应用再到技巧拓展的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|单一因式分解应用|直接解方程与方法选择题（如第4题分解因式）| |能力提升|跨知识综合应用|几何与代数结合（如第3题三角形周长）| |微专题|十字相乘法技巧|技巧性分解训练（如十字相乘示例）|

25.2.3　因式分解法 用因式分解法解一元二次方程 1.方程4x2=2x的根为 (　　) A.x1=0,x2=2 B.x1=2,x2=- C.x1=x2=　　 D.x1=0,x2= 2.已知一元二次方程的两个根为x1=3,x2=-4,则这个方程为 (　　) A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 3.方程(x-1)(2x+3)=0的根是　　　　.  4.用因式分解法解下列方程: (1)x2+5x=0. (2)4x2-49=0. (3)4x2-8x+4=0. (4)x(x-5)=2x. 用适当的方法解一元二次方程 5.解下列方程:①3x2-27=0;②x2-3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是 (　　) A.依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B.依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C.①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法 D.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 6.用适当的方法解下列方程: (1)x2+4x-1=0. (2)x2-3x+1=0. (3)4x(2x-1)=6x-3. (4)3(x-2)2=x2-4. 解方程时,方程两边同时除以含有未知数的代数式导致失根 7.下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程,请仔细阅读,并完成相应问题. 解一元二次方程:6x2-2x=1-3x. 解:原方程可化为2x(3x-1)=-(3x-1), 第一步 两边同时除以(3x-1),得2x=-1, 第二步 系数化为1,得x=-. 第三步 (1)小明的解法是不正确的,他从第　　　　步开始出现了错误,此题的正确结果是　　　　　　.  (2)用因式分解法解方程:3x2-6x=x-2. 1.用因式分解法解方程x2+px-6=0,若将左边分解因式后,有一个因式是x-6,则p的值是 (　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.-5　　　　D.5 2.若实数x,y满足(x2+y2+2)(x2+y2-2)=0,则x2+y2的值为 (　　) A.1 B.2 C.2或-2 D.-2 3.(2026陇南康县期中)三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为 (　　) A.10 B.12 C.14 D.12或14 4.先阅读例题,再解答问题: 例:解方程x2-|x|-2=0. 解:当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0,∴(x+1)(x-2)=0,解得x1=-1(不符合题意,舍去),x2=2; 当x<0时,原方程化为x2+x-2=0,∴(x-1)(x+2)=0,解得x1=1(不符合题意,舍去),x2=-2. 综上所述,原方程的解为x=2或x=-2. 依照上述解法解方程:x2-|x-3|-3=0. 微专题2　利用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解,我们把这种方法叫作十字相乘法,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 【阅读与理解】将x2+2x-35分解因式,我们可以按下面的方法解答: ①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7). x　　+7 x　　-5 ②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果需等于多项式中的一次项): 7x+(-5x)=2x ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x+7)(x-5). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0,方程x2+2x-35=0可以这样求解:方程因式分解得(x+7)(x-5)=0,则x+7=0或x-5=0,解得x1=-7,x2=5. 【解决问题】(1)试用上述方法和原理解下列方程: ①x2-10x+21=0; ②x2+5x+4=0; ③x2-6x-7=0. (2)直接写出方程2 026x2+2 021x-5=0的解. 【详解答案】 基础达标 1.D　2.A　3.x1=1,x2=- 4.解:(1)左边分解因式,得x(x+5)=0. 于是x=0,或x+5=0. 即x1=0,x2=-5. (2)左边分解因式,得(2x+7)(2x-7)=0. 于是2x+7=0,或2x-7=0. 即x1=-,x2=. (3)整理,得x2-2x+1=0, 左边分解因式,得(x-1)2=0. ∴x1=x2=1. (4)移项、合并同类项,得x2-7x=0. 左边分解因式,得x(x-7)=0. 于是x=0,或x-7=0. 即x1=0,x2=7. 5.D 6.解:(1)移项,得x2+4x=1, 配方,得x2+4x+4=1+4, (x+2)2=5, ∴x+2=±, 解得x1=-2,x2=--2. (2)∵a=1,b=-3,c=1, ∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5, ∴x==, 即x1=,x2=. (3)移项,得 4x(2x-1)-(6x-3)=0, 4x(2x-1)-3(2x-1)=0, (4x-3)(2x-1)=0, ∴4x-3=0或2x-1=0, 解得x1=,x2=. (4)移项,得 3(x-2)2-(x2-4)=0, 3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0, (x-2)[3(x-2)-(x+2)]=0, (x-2)(3x-6-x-2)=0, (x-2)(2x-8)=0, ∴x-2=0或2x-8=0, 解得x1=2,x2=4. 7.解:(1)二　x1=,x2=- (2)3x2-6x=x-2, 3x(x-2)=x-2, 3x(x-2)-(x-2)=0, (3x-1)(x-2)=0, 3x-1=0或x-2=0, ∴x1=,x2=2. 能力提升 1.C　解析:设左边分解因式后,另一个因式是x-a,则x2+px-6=(x-6)(x-a)=x2-(a+6)x+6a=0,∴p=-a-6,6a=-6,解得a=-1,∴p=-5.故选C. 2.B　解析:∵(x2+y2+2)(x2+y2-2)=0,∴x2+y2+2=0或x2+y2-2=0,∴x2+y2=-2(不符合题意,舍去)或x2+y2=2,∴x2+y2的值为2.故选B. 3.B　解析:∵x2-12x+35=0, ∴(x-7)(x-5)=0,∴x=7或x=5, 当x=5时,3+4>5,∴三角形存在, ∴三角形的周长为3+4+5=12; 当x=7时,3+4=7,∴三角形不存在. 故选B. 4.解:当x≥3时,原方程化为x2-x=0, ∴x(x-1)=0, 解得x1=1(不符合题意,舍去),x2=0(不符合题意,舍去); 当x<3时,原方程化为x2+x-6=0, ∴(x+3)(x-2)=0, 解得x1=-3,x2=2. 综上所述,原方程的解为x=-3或x=2. 微专题2 解:(1)①x2-10x+21=0, 方程因式分解,得(x-7)(x-3)=0, 则x-7=0或x-3=0, 解得x1=7,x2=3. ②x2+5x+4=0, 方程因式分解,得(x+1)(x+4)=0, 则x+1=0或x+4=0, 解得x1=-1,x2=-4. ③x2-6x-7=0, 方程因式分解,得(x-7)(x+1)=0, 则x-7=0或x+1=0, 解得x1=7,x2=-1. (2)原方程的解为x1=,x2=-1. 解析:2 026x2+2 021x-5=0, 方程因式分解,得(2 026x-5)(x+1)=0, 则2 026x-5=0或x+1=0, 解得x1=,x2=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $