25.2.2 公式法&25.2.3 因式分解法-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习 知识点①一元二次方程根的判别式 1.（3分)关于x的一元二次方程x2-2x-5=0,根 的判别式b2-4ac中的c表示的数是() A.1 B.-2C.-5D.5 2.（3分)关于x的一元二次方程3x2-4x+2=0 中，根的判别式b2-4ac的值为() A.8 B.12C.-8 D.-12 知识点②用公式法解一元二次方程 3.（3分)用公式法解方程4x2+12x+3=0, 得() A.x=-3±6 2 B.x=3±V6 2 C.x=3±23 3±23 2 D.x= 2 4.(3分)若一元二次方程的根为x= -3±√32-4×2×1 ，则该一元二次方程可以 2×2 为() A.2x2+3x+1=0 B.2x2-3x+1=0 C.2x2+3x-1=0 D.2x2-3x-1=0 5.(9分)用公式法解方程：3x2-4x-8=0. 易错点)未对方程进行分类讨论导致漏解 6.(3分)关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1= 0有实数根，则飞的取值范围是( A.k>4且k】 B.k≥且k≠1 4 1 C.k74 D.k≥4 1 15分钟同步练习，精炼高效机 5.2.2 公式法 7.(9分)已知关于x的一元二次方程a2x2+bx-2 =0(a≠0). (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式8a2+4b 的值. 8.学科内融合(9分)已知关于x的方程b(x2 1)+2ax+c(x2+1)=0,其中a,b,c分别为 △ABC三边的长， (1)若x=-1是方程的根，试判断△ABC的 形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状 考点RJ九年级数学上册 5 高效同步练习25. 第 知识点①用因式分解法解一元二次方程 章 1.(3分)一元二次方程x2-2x=0的两根分别 为() A.x1=x2=0 B.x1=x2=4 C.x1=0,x2=2 D.x1=2,x2=-2 2.（3分)关于x的一元二次方程的两根为x1=-1, x2=2,则这个一元二次方程可能是() A.(x+1)(x+2)=0B.(x-1)(x-2)=0 C.(x+1)(x-2)=0D.(x-1)(x+2)=0 3.(3分)如图，根据小明与DeepSeek的对话， DeepSeek在深度思考后，给出的答案是( 有没有这样的数，先算这个数的平方，再 减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果 和这个数相同？ A.1 B.2 C.-2 D.2或-2 4.新定义(3分)定义新运算：对于任意实数 m,n都有m☆n=m2-mn+n,等式右边是常用 的加法、减法、乘法及乘方运算.例如：-3☆2 =(-3)2-(-3)×2+2=17.若x☆4=1，求x= 知识点②用合适的方法解一元二次方程 5.(3分)解方程5x2-9x+1=0最适当的方法 是() A.直接降次法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 易错点)忽略方程成立的条件致错 6.（3分)若关于x的方程x2+2x-3=0与 +3 1有一个解相同，则a的值为( x- A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3 6 15分钟同步练习，精炼高效机 2.3因式分解法 7.(9分)下面是小明用因式分解法解一元二次 方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的 问题. 解一元二次方程：6x2-2x=1-3x. 解：原方程可以化为：2x(3x-1)=-(3x-1)… 第一步 两边同时除以(3x-1)得：2x=-1…第二步 系数化为1，得：=}第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的 正确解题过程 8.数学思想·整体思想(9分)为解方程(x2-1)2 -5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个 整体，然后可设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方 程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,则x2=2,.x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,则x2=5,.x=±√5. ∴.原方程的根为： x1=2,x2=-√2，x3=√5，x4=-√5. 根据以上材料解方程：x4-x2-6=0. 考点RJ九年级数学上册答案详解详 高效同步练习25.1一元二次方程的概念 1.D 【归纳总结】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程：2整理后的方程只含有一个未知数：3整理后的方程未知 数的最高次数是2. 2.A【解析】2x2=x+3化为一般形式为2x2-x-3=0,二次项系 数、一次项系数、常数项分别是：2，-1，-3.故选A. 3.B4.C5.D6.B 7.1【解析】：关于x的方程(m+1)xm+1+x-3=0是一元二次 方程，∴.Iml+1=2且m+1≠0，解得m=1. 8.解：将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0:又.b=√Ja-2 了a-2≥0 +√2-a-1,{2-2≥0，解得a=2,6=-1;则c=-a-b=-1, .此一元二次方程为2x2-x-1=0. 9.解：(1)是美妙方程.a=2,b=-1,c=-8,∴.3a-2b+c=6- （-2)+(-8)=0.故此方程为美妙方程. (2)将x=-1代入原方程得，a-2+c=0①，.此方程为美妙方 程，3a-4+c=0②，联立①②解得{8引，这个美妙方程为 +2x+1=0. 高效同步练习25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 1.C2.C3.B4.D 5.x,=-3+5,x2=-3-√3【解析】方程的两边都乘3，得(x+3)2 =3,由此可得x+3=±√3.∴.x=-3±√3.∴.x1=-3+√3，x2=-3 -√3. 6.解：(1)移项，得(x+3)2=121.由此可得x+3=±11，x+3=11,或 x+3=-11,即x1=8,x2=-14; (2)方程两边都除以3，得(2x-6)2=6.由此可得2x-6=±V6, 266 2x-6=6,或2x-6=-6,即x=6+6, 2 7.解：(1)一 （2)方程两边都除以4，得(2x-1)2=9.由此可得2x-1=±3,2x -1=3或2x-1=-3,即x=2或x=-1. 8.解：解方程(x-5)2-4=0,得x1=3,x2=7.根据三角形的三边关 系，得3,6,3不能构成三角形；3,6,7能构成三角形.则该三角 形的周长为3+6+7=16. 9.解：(1)由题得x☆4=4x2+4=40,解得x1=-3,x2=3; (2)由题意得(x-5)☆1=(x-5)2+1=17,解得x1=1,x2=9 第2课时配方法 3 1.c2.(1)42(2)±10±5(3)±3±2 3.B4.B 5.解：(1)移项，得x2-4x=3.配方，得x2-4x+22=3+22,（x-2)2= 7.由此可得x-2=±7，x1=2+√7，x2=2-√7； (2)移项，得x2-2x=5.配方，得x2-2x+1=5+1,(x-1)2=6.由 此可得x-1=±√6，x1=√6+1，x2=-6+1. 6.B 7解：()移项，得2-3=6二次项系数化为1，得-子x=3 配方，得23 3 2*( 6由此可得x 4心-573+57-3-57 4光 4 (2珍项，得号2二次项系数化为1.得 23. 配方，得+x 宁=3（.(+-8由轮可得 2x+( 17 3 +4=±46=2-2 8.A9.B 同步练习，精炼高效抓考 斤·易错剖析 10C【解析：配方可得子-名+（各）2=()2- 2,(x 11.解：(1)完全平方公式 (2)二正确过程如下：移项，得：3x2+8x=3,二次项系数化为 1得+号1，配方，得2+管+（台）'1（台）+ 8 4 )2=25.由此可得x+4-5 1 -91 3 3x3七=-3. 12.解：(1)x(x+5)=14(x+5)x (x+x+5)2=4×14+52x1=2,x2=-7 2x+52x （2)由题意，先变形为2x(2x+5)=6,如 2x6☐ 图，每个小长方形的长为2x+5,宽为22x+56 52 62x+5 .利用图形的面积关系得配方后的方程 6☐2x 为(2x+2x+5)2=4×6+52,即(4x+5)2= 2x2x+5 49.解得x1=-3,x2=2 (3)由题意，先变形为x(x-7)=-2,设x=a,x-7=b, {a-b=7.(a+b)2=4x(-2)+7,.(x+x-7)2=41.(2x ∫ab=-2 7)=41.解得x,=7+④x,=7-V④ 2,2= 21 高效同步练习25.2.2公式法 1.C2.C3.A4.A 5.解：因为a=3,b=-4,c=-8,所以△=b2-4ac=(-4)2-4×3× （-8)=112>0.方程有两个不相等的实数根，x=-b:-4a =4牡I122生27 2+2W72-2w7 ,即x,=1 6 3 3 ,X2= 3 6.D【解析】当k-1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程. 关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根，.△=(2k+ 1)2-4×(k-1)2×1=12k-3≥0，解得k≥4；当k-1=0,即k=1 时，方程为3x+1=0,显然有解.综上，k的取值范围是k≥ 4 故选D 【易错分析】看到有实数根的条件，就直接运用一元二次方程根 的判别式得出参数的取值范围，而忽视含有参数的二次项系数 不能为0的前提条件」 7.（1)证明：△=b2-4a2×(-2)=b2+8a2>0,∴.方程总有两个不相 等的实数根； (2)解：由题意可知4a2+2b-2=0,即2a2+b=1,.8a2+4b= 4(2a2+b)=4×1=4. 8.解：(1).x=-1是方程b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0的根，∴.- 2a+2c=0,.a=c,.△ABC为等腰三角形； (2)b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0,.(b+c)x2+2ax+(c-b)=0, .方程有两个相等的实数根，∴.△=4a2+4(b+c)(b-c)=0,. a2+b2=c2,△ABC为直角三角形. 高效同步练习25.2.3因式分解法 1.C2.C 3.B【解析】设这个数为x,则x2-3x+4=x,x2-4x+4=0,(x-2)2 =0,所以x1=x2=2,则这个数为2.故选B. 4.1或3【解析】x2-4x+4=1,整理得x2-4x+3=0,因式分解得 （x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3. 5.C6.C 7.解：(1)二 (2)原方程可化为2x(3x-1)+(3x-1)=0.左边分解因式，得 (2x+1)(3x-1)=0.于是2x+1=0或3x-1=0,即x=-2,x2 1 1 RJ九年级数学上册 69 8.解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0,因式分解得(a- 3)(a+2)=0,解得a=3或a=-2..a≥0，.a=-2舍去，则a= 3,x2=3,1=3,x2=-√3. 高效同步练习25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B3.A4.C5.6 2,2 6.-5【解析】由题意得x1+x2=-2m+3,x1x2=m2+1.二+ 1,.2(x1+x2)=x1x2,.2(-2m+3)=m+1,解得m=1或m= -5.由条件可知根的判别式△=(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5 5 ≥0，解得m≤2六m=-5, 7.2027【解析】.a,b是方程x2+2025x-2026=0的两个实数 根，∴.a2+2025a-2026=0,ab=-2026,a+b=-2025,则a2+ 2025a=2026,∴.a2+2026a+b-ab=a2+2025a+a+b-ab=2026+ (-2025)-(-2026)=2027. 8.解：(1)由题意得，：△=(-4)2-4m≥0，.m≤4； (2)由题意得，x1+x2=4,x1x2=m.(x1x2)2=x1+x2+21,m2= 4+21=25,解得：m=-5或m=5(舍)，∴.m=-5. 9.解：(1)原方程分解因式可得：(x-2)(x-1)=0,x-2=0或x-1 =0,所以x1=2,x2=1.x1=2x2,.方程x2-3x+2=0是“倍根 方程”. (2)解方程(x-2)（x-m)=0,得x1=2,x2=m,由条件可知2= 2m或m=2×2,∴.m=1或m=4,当m=1时，m+2m+2=1+2+2 =5;当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26.综上所述，代数式m +2m+2的值为26或5. (3)m的值为13或-11.【解析】设方程的两根分别为a、2a, 由根与系数的关系得a+2a=m-1,a·2a=32,解得a=4,m=13 或a=-4,m=-11,所以m的值为13或-11. 高效同步练习25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形与传播问题 1.B 【解题通法】巧妙平移，转化图形，通过平移将图形进行转化，列 一元二次方程求解是解决面积类问题的常用方法，其核心思想 是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据 规则图形的面积公式列一元二次方程求解 2.x2-31x+40=03.244.A 5.解：（1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=(72-2x)m.根据 题意列一元二次方程得，x(72-2x)=640.解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40 32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m2的羊圈： (2)不能，理由如下：由题意列一元二次方程得，x(72-2x)= 650.整理得，x2-36x+325=0.,△=(-36)2-4×325=-4<0，. 一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m2 6.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，2+2x+(2+2x)x= 128,解得：x1=7,x2=-9(舍去)，答：每轮传染中平均一个人传 染了7个人. 第2课时增长率与循环问题 1.D2.B 3.解：（1)设平均下降率为x,由题意可得一元二次方程：144(1- )2=100,解得：x= 6>1(不符合题意，舍去)，=6 16.67%,.平均下降率为16.67%； (2)设单价应降低y元，由题意可得一元二次方程：(140-100 y)(20+号×10)=1200，整理可得：y2-30y+200=0,解得1= 10,y2=20,为了减少库存，∴.y=20,∴.单价应降低20元. 4.B 5.解：(1)2(x-1)=40根据题意列一元二次方程得，2(x 0,整理得产二80=0，解得-1生)风，不是整数，方 程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法 正确： (2)10. 6.10(1+x)2=14.47.30 8.解：(1)设下载量的日平均增长率为x,根据题意列一元二次方 70 同步练习，精炼高效抓考 程得，100(1+x)2=121,解得：x,=10%,x,=-210%(舍去)，答： 所使用平台前三天下载量的日平均增长率为10%： (2)猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：设一 段铁丝的长度为ycm,另一段为(32-y)cm,根据题意列一元二 方程得，(X)2+(4)2=30,即y2-32y+272=0,4 （-32)2-4×1×272=-64<0,∴.方程无解，∴.这两个正方形的面 积之和不能等于30cm2,答：人工智能平台回复的结果是“不 能” 追梦第二十五章章末复习一元二次方程 1.A【解析】由题意得m2+m=0,解得m=0或-1，.m≠-1， m=0.故选A. 2.B3.A 4.B【解析】原方程可化为(mx-n)(x-2)=0,.x-2=0或mx- n=0,即x1=2,=几，关于x的一元二次方程mx2-(2m+n） m x+2n=0是“倍根方程”，分两种情况：当2=2·几时，即m= n,此时2m-”=2=2,当2×2=一时，即n=4m,此时2n m m+2n _2m-4m= 2 2 综上所述，代数式m+2n的值3或一9·故 m+2n 选B. 5.106.17.2x(x-1)=45 8.解：(1)移项，得x(x-2)-4(x-2)=0.左边分解因式，得(x-2)》 (x-4)=0,于是x-2=0,或x-4=0,即x1=2,x2=4; (2)方程化为3x2+10x+5=0,此时a=3,b=10,c=5,所以△=b2 -4ac=102-4×3×5=40>0.方程有两个不相等的实数根x= -10±而=-5而，即x,=5+ 6 3 ,南2=5-0 3 9.解：(1)由条件可知：△=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m-1)= (m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2-2m+13=(m-1)2+ 12>0,∴.无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2)设AB,CB的长分别为x1,x2,则x1,x2是方程x2-(m+3)x+ 2m-1=0的两个实数根，根据根与系数的关系得： {x名=2m-i△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC= x1+x2=m+3 √35，∴.x2+x2=AC2,又.x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2,AC2= (√35)2=35，.(m+3)2-2(2m-1)=35,解得m=-6或m=4, :4B,CB是三角形的边长2>0，解得m>)当m= 4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 10.解：(1)设AB=x米，则BC=2x米，根据题意，得2x+x+x= 120,解得x=30,..AB=30米，BC=60米，答：长方形ABCD花 圃的长为60米，宽为30米； (2)设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得(60-m)·4 m+m2=60×30-1728,解得m1=4,m2=-24(舍去)，.4×4=16 (平方米).答：网红打卡点的面积为16平方米 11.解：(1)设该款迷你无人机的月平均增长率为x,由题意得 1125(1+x)2=1620,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答： 该款迷你无人机的月平均增长率为20%； (2)设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售(20+2y)架 由题意得(100-y-60)(20+2y)=1200,解得y1=10,y2=20.. 需要尽量减少库存，∴·y=20.答：每架迷你无人机的售价应降 低20元. 高效同步练习26.1二次函数的概念 1.C 2.A【变式】(1)a≠2(2)a=2且b≠-2 3.D 【归纳总结】确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项 时，需要先把函数关系式化为一般形式，并且系数与常数项一 定要包含它们前面的符号 4.B 5.B【解析】由题可知m-1≠0，且m2+1=2,则m=-1.故选B. 6.C7.B8.A9.C RJ九年级数学上册